- •Министерство образования и науки российской федерации
- •1.2. Условия равновесия системы сил, линии действия которых расположены в одной
- •1.3. Основные виды связей
- •1.4. Учёт пары сил при составлении уравнений равновесия
- •1.6. Распределённая нагрузка
- •2. Статический расчёт кунструкций
- •2.1. Равновесие составных тел
- •2.2. Расчёт ферм
- •3. Сила трения
- •1. Сила трения действует в общей касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и противоположна тому направлению, в котором активно действующие силы стремятся сдвинуть тело.
- •4. Система сил в пространстве
- •1. Кинематика точки
- •1.2. Естественный способ задания движения точки
- •1.3. Определение радиуса кривизны траектории по заданным уравнениям движения точки
- •2. Кинематика твёрдого тела
- •2.1. Простейшие движения твёрдого тела
- •2.2. Вычисление скоростей точек тела, совершающего плоскопараллельное движение
- •3. Сложное движение точки
- •3.1. Вычисление ускорения Кориолиса
- •3.2. Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
- •1. Первая и вторая задачи динамики материальной точки
- •2. Относительное движение материальной точки
- •3. Линейные колебания точки
- •Применение общих теорем динамики
- •4.1. Теорема об изменении количества движения и теорема о движении центра масс
- •4.2. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси
- •4.3. Совместное использование теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента
1.3. Определение радиуса кривизны траектории по заданным уравнениям движения точки
Рассмотрим алгоритм решения такой задачи. Пусть движение точки задано в координатной форме:
Для определения радиуса кривизны траектории необходимо вычислить квадрат скорости точки и её нормальное ускорение:
Квадрат полного ускорения точки вычисляем по формуле:
Учитывая, что нормальная и касательная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, находим
Отсюда: .
Квадрат скорости точки определяем по формуле:
Для определения касательного ускорения продифференцируем по времени последнее соотношение:
или
Здесь – проекция вектора ускорения на направление вектора скорости. Заметим, что.
Пример 1.7
Движение точки задано уравнениями
Определить радиус кривизны траектории для любого момента времени.
Вычислим квадрат скорость точки: .
Вычислим квадрат ускорения точки: .
Равенство принимает вид:.
Отсюда:
.
Нормальное ускорение равно
.
Определяем радиус кривизны траектории
Пример 1.8
Определить радиус кривизны траектории снаряда, движение которого описано в примере 1.2.
Применительно к задаче о движении снаряда получаем:
Заметим, что направление движения снаряда по траектории со временем не изменяется. Направим орт касательной по направлению вектора скорости. Тогда проекция вектора скорости на направление орта касательной к траектории положительна в любой момент времени.
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 10.4; 12.1; 12.6; 12.7; 12.9; 12.10.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-17;
СР-18: СР-19.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
2. Кинематика твёрдого тела
2.1. Простейшие движения твёрдого тела
Пример 2.1
Угол наклона полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу . Касательное ускорение этой точки в данный момент времениНайти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянииРадиус махового колеса
|
Рис. 2.1 |
Отсюда:
Используя формулы,
получаем:
;
Пример 2.2
Вал радиуса приводится во вращение гирей, прикрепленной к концу троса, намотанного на вал. Определить модуль ускорения точки обода вала, если ускорение гири(Рис.2.2). В начальный момент вал находился в покое.
|
Рис. 2.2 |
Поскольку трос не проскальзывает по поверхности вала, скорости точек троса и вала совпадают.
Используя формулу Эйлера, находим угловую скорость вала
и его угловое ускорение
Теперь определяем составляющие ускорения любой точки обода вала:
Остается определить модуль ускорения точки
Заметим, что если скорости точек троса и вала совпадают, то их ускорения различны: точкавала имеет нормальную составляющую ускорения, поскольку движется по криволинейной траектории.
Пример 2.3
Стрелка гальванометра длиной колеблется вокруг неподвижной оси по законуОпределить ускорение конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, если период колебаний, а угловая амплитуда
Прежде всего, зная закон вращения, определим угловую скорость и угловое ускорение тела:
Используя формулы (2.3), определяем касательное и нормальное ускорения точки:
Период связан с круговой частотой соотношением 2.
Для среднего положения стрелки имеем:
Для крайних положений стрелки имеем:
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 13.6; 13.14; 13.17; 13.18; 14.4; 14.5; 14.10.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 4-5