книги из ГПНТБ / Бовбель, Е. И. Элементы теории информации

Если линия связи задана, т. е. заданы полоса частот и условная плотность вероятности w(x/y), то, варьируя в (5.5) w(x), можно найти такую функцию распределения входных сообщений, при которой скорость передачи бу­ дет максимальна. Поэтому для пропускной способности непрерывного канала можем записать:

Если в липши связи на сообщения наложены некоторые ограничения, при отыскании максимума в (5.6) их сле­ дует учитывать.

§ 2. Пропускная способность стационарной гауссовой линии связи

Предположим, что шум, действующий в линии связи, стационарный гауссов, а выходное сообщение y(t) явля­ ется суммой полезного сообщения инезависимого от него шума: y(t) = x(t)-\-n(t). Условная плотность веро­ ятности w ( у / х ) = w(y — х) = w(n). Поэтому

— OO

где H(n) — энтропия шума. Так как заданный шум нор­ мален, на основании формулы (1.40)

Н{п) = log \]2г,е ап,

где о- — дисперсия шума. Выражение

7 = 2 \ V [ H ( Y ) — Н(п)] ' (5.6а)

максимально, когда максимальна энтропия принятых

100

Так как передаваемые сообщения и шум независимы, то

Подставив (5.8) в (5.7), получим

Cc = r io g ^ l +

Если u(f) и n(t) соответственно напряжения принима­ емого сигнала и шума, то з2 и а2— соответственно сред­ ние мощности принимаемого сигнала и шума. Обозначнв через Р среднюю мощность принимаемых сооб­ щений, а через N — среднюю мощность шума, из (5.9), будем иметь

ная способность может быть получена, во-первых, расшн-- реиием полосы частот W и снижением за счет этого иеоб-- ходимого отношения сигнала к помехе, что ведет к сни-- жению необходимой мощности сигнала; во-вторых, суже­ нием необходимой полосы за счет повышения отношения сигнала к помехе (этот путь может быть использован там, где требуется сузить полосу частот).

Щ

§ 3. Зависимость скорости передачи информации от распределения сигнала и шума по спектру частот

Получим выражение для скорости передачи / через спектральные плотности мощности передаваемого сигна­ ла x(t) и шума n(t).

Если сипнал и шум статистически независимы и адди­ тивны, мощность принятого сигнала y(t), приходящаяся на элементарную полосу частот df,

4rf/) = ѴЗДМ-ь sn\f)df,

где Sx(f) и Sn(f) — соответственно спектральные плот­ ности мощности передаваемого сигнала и шума.

І01

В предположении, что распределения вероятностей сиг­ нала x(t) и шума n(t) нормальны, энтропия ti\=2dfT независимых отсчетов сигнала у(і), взятых по теореме Котельникова,

H {df)(Y) =* 2d/Г log \/2Vea{df) =

тете ростом спектральной плотности мощности передава­ емого сигнала х(і) и убывает с увеличением спектраль­ ной плотности мощности шумов.

Задача 1. Используя формулу (5.13), вычислить ско­

102

Подставляя (5.15) и (5.16) в (5.14), получаем

Т = u 7 io g (i + - £ - l

Задача 2. При заданных спектральной плотности мощ­

[5,(01 = f log§ л л ± М І І df

S„U)

при дополнительном условии

Если соотношение (5.20) выполняется, то говорят, что сигнал согласован с помехой.

103

П Р И Л О Ж Е Н И Я

1. Модель сигналов по Котельникову

Решение задач теории информации существенно упро­ щается, если представить сигнал x(t) счетным множест­ вом некоторых чисел х'ь’Для такого представления выби­ рают систему функций {%(/)) такую, что

в котором коэффициенты разложения являются числами

известным рядом Фурье, рядом Котельникова (см. ниже) и т. д.

Модель Котельникова позволяет существенно упрос­ тить определение коэффициентов х&- После соответству­ ющего выбора совокупности ортонормированных функций {<?*(£)} коэффициенты будут просто определяться зна­ чениями x(t) в некоторые моменты времени.

Теорема. Произвольная функция x(t), имеющая преоб­ разование Фурье, ограниченное полосой частот W, можетбыть тождественно представлена счетным числом отсче­

тов, взятых через интервалы времени А / ==~^г-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Функцию x(f), найденную пу­ тем обратного преобразования Фурье,

‘ 104

'2- \F

• x ( t ) = ± - j' x ^ ) e i m t d ü), (4>

—2-V

определим для дискретных моментов времени, равных

t = к = ± 1, ± 2, ± 3, ...» (5)‘

и расположенных последовательно на оси времени через

Тогда

Поскольку по условию теоремы спектр Фурье задан на конечном отрезке (—2^W1 2nW), он может быть раз­ ложен в ряд Фурье

' Подставляя *(10) в (8), получаем

Іі=—00

Это значение спектра подставим в (4):

105.

Таким образом, произвольная функция x(t), имеющая ограниченный спектр, может быть представлена в виде ряда Котельникова:

sin 2г. Wit — 2\Ѵ

2г. W it — 2W

где Xk = — отсчеты функции x(t) в моменты вре­

мени k/2W. Простым интегрированием легко проверить, что функции отсчетов

sin 2т, W

(О

2к W

ортонормированье т. е. удовлетворяют условию (2).

произвольной линейной системы на входной сигнал в ви­ де о (t) определяется по формуле

_ і_

4 0 6

Таким образом, функцию времени (13) можно рас­ сматривать как реакцию фильтра с частотной характери­ стикой (15) на совокупность дельта-функций с площадя­ ми, равными отсчетам исходного сигнала x(k/2W) и сле­ дующими друг за другом через промежутки времени

лярной функцией времени

График |1К( ш) I пред­ ставлен на рис. 7. Так как функция | Х ( ш) | . имеет неограниченный спектр, теорема Котельникова не­ применима. Однако если ограничиться полосой W0 (см. рис. 7), погрешность

в определении энергии бу­ дет равна

со

I 2d со =

Wo = - A - tg (0,495 • -) Äc 5 (Гц).

‘ié'*

Тамим образом, отсчеты сигнала следует брать с. темпом И?о=5Гц.

1 0 8

2. Значения функции — p \ o g 2P

Тысячные доіи р

109