Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ft'—3—п

I t “

ft'—4

(k' — n — j — l)2

26-3

(£' — я —2)2X

y=i

;

л=1

ГT 2]

k' — я —2

k' — и — / —1

/=i

lt'—З—п

k' — n —2 \ 2

(k' — n — j —l)2

ft' - 4

22 (2я2 —6)

2 j

(Ä'k'— n —2)2

2G•3

я 2

h= i

я 2(2я2—6)

ft'—4

я2 (2я2 —6)

2M 8

/i=i

h T

(k' — и —2)2

~ 2b-9 (k' —3)2 X

[-f] ->

f t ' - 4

------ L _

k' — 3

n = 1

я2

\ k' — и —2

. - J

(k' -

n —2)2

[41]

k' —3

V21

я 2 (2я2 —6)

22 (2я2 —6)

25-9(k' —3)2

я2 (2я? — 6)2

432 (k' —3)2

ft_

1 _

я®

При нахождении оценок учитывалось,

что lim

и V—

-ХХ

я2

ft-*«

/і=і

Подставив полученные оценки в (2-25), получим

а ^,(т = А )<

я2

, я2 (2я2 —6)

я2 (2я2 —6)?

[2 (Х -1 )]2

2 (k’ —I)2

~Г 18 (А' —I)2

432 (k' —З)2

(2k'y-

(2-26)

Несложные вычисления показывают, что начиная с

числитель правой части

(2-26)

меньше единицы и,

• следователь-

но, а <	1	. Поскольку выше показано, что для	k 5

(2/г')2

соотношение это также выполняется, мы доказали таким образом, что при любом k

a9i. (m = 4) <	------ .		(2-27)
2t	(2 kf		K '
И, наконец, мажорирование ряда (2-24)		при z = 1	сходящимся
рядом
\Ѵ=1 л----- 1— 1.	V	- i —	(2-28)
22		(2/е)2	V
дает право утверждать, что радиус сходимости			рядов (2-23)

и (2-24) для т = 2, 3, 4 во всяком случае не меньше единицы, причем эти ряды равномерно сходятся при |х |^1, положи тельны и непрерывны вместе со всеми своими производными в указанной области.

Пусть далее отрезок [0, /] — область существования по ложительного и непрерывного вместе с первой и второй про изводными решения уравнения

и" (л-) ~ — и’ (л-) + ит(л-) = 0,	(2-29)
удовлетворяющего начальному условию н(0) = 1	(второе ус

ловие ц '(0)= 0 вытекает из специфики рассматриваемого диф ференциального уравнения). Упомянутая область—не пустое

множество, что легко видеть из вышеизложенного.					имеет
Покажем, что уравнение (2-29) на отрезке				[0, /]
единственное решение указанного класса.			Предположим сна
чала противное, т. е. наличие у уравнения			(2-29) хотя бы двух
гладких, не совпадающих на отрезке [0,			/] решений ut (x) и
іі2(х), но таких, что ііі(0 )= и2(0) = 1. В силу различия решении
предположим также, что при		О ^ х ^ х і	(О^ХіС/)		Ыі(х) =
= и2(х),	а в некоторой окрестности е>0 точки Xt (хі<х<Х[-\|-
+ е</)	Ui(x) ф и 2{х). Условие	гладкости	и	непрерывности

решений «і(х)	и и2(х) предполагает отсутствие в окрестности
е бесконечно	большого, числа колебаний хотя бы одного из

решений, ибо в противном случае, исходя из физического смысла рассматриваемой задачи, необходимо было бы отбро сить оба решения и заключить, что при х>хі задача не имеет решения вообще. Последнее неверно, ибо ранее мы установи ли область существования решения на отрезке [0, /], вклю чающем значение ац.

Следовательно, хотя бы одно из решений уравнения (2-29) должно быть гладким в окрестности е точки ад. Негладкое, колеблющееся решение мы отбрасываем как не удовлетворяю-

щее условиям задачи и заключаем, что полученное решение единственно.

В случае же наличия, согласно предположению, двух глад ких решений будем считать, что е выбрали так, что разность

і і і ( х )	— Uz(x) одного знака при хі< х < хі + е,	например
іц(х)	—1г/2(-ѵ)>0 (общность рассуждений от такой	определен

ности не теряется). Факт существования такого е следует из

непрерывности и различия решений «і(х), iiz(x).						0 ,< х		хх
Согласно	предположению, их(х)— «З(х)=0при
и, значит, и\	(х) — м'(х) =0 также.
Поскольку, далее, в некоторой окрестности е точки хх							и1(х)—
— и%(х) > 0,	существует в силу непрерывности производных и\ (.ѵ)
и и'2 (х) окрестность б > 0 точки xL такая, что и[ (х) —							(х) > 0
при хх < . г <	Ay -j~ б < I. Равенство и\ (х) — м' (х) =				0	для		0 ■<
-.< х < х х влечет за собой и равенство			и"(х) — иЦх)		=0. Учиты
вая же, что	в окрестности б точки хх		(хх <	х < хх		б) и\ (х) —
— Щ(х) > 0	в силу непрерывности	вторых		производных				и" (х)
и и" (х) найдется такое £ > 0, что и”(х) — и„ {х) > 0 для хх<								х <
<С хх -\|- £ < /• Тогда для значений х,		принадлежащих				интервалу
(хх, хх -г 1-0,	где (л — наименьшее из чисел е, б и £					(можно по
казать, что в общем случае р. = £), должно				выполняться				соот
ношение

(х) — »" (.ѵ) - Ь -j- [ и\ (х) — «' (х)] + и»1(х) — uf (х) > 0

(т — целое, больше нуля).

С другой стороны, подстановка сначала решения щ(х) в

уравнение (2-29), а затем подстановка и2(х) и вычитание			из
первого получившегося	равенства второго дает	на отрезке
[0, /] тождество
и'{(х) — (х) -f	[ и\ (х) — «' (х)\| -f и”‘(х) — iq (х) - 0.
Поскольку интервал	(xj, Хі+ р.) принадлежит	отрезку	[0,

Z], остается заключать, что предположение о наличии у урав нения (2-29) на отрезке [0, /] двух различных положительных и гладких решений с одинаковыми начальными условиями не верно, т. е. такое решение единственное.

§ 3. Решение обобщенного дифференциального уравнения Бесселя с полиномом в правой части [26]

Методика, по которой в § 1 было получено решение диффе ренциального уравнения Бесселя нулевого порядка без возму щающего члена, оказывается в некоторых частных случаях

применимой и для решения уравнения е возмущающими чле нами.

Пусть имеется дифференциальное уравнение

и" (х) -|- — и'(х) ± ит (х) = Ь0+ Ьгх + b2x2-f ... -f- bLxl (2-30)

с полиномом в правой части {т—целое, больше нуля). Будем искать решение уравнения (2-30), удовлетворяющее началь ному условию и(0) = 1, причем представим его опять в виде бесконечного степенного ряда

и (х) = 1 + 2

	*=1
Подстановка и(х) в (2-30) приводит к			следующему уравнению:
оо	со		оо	/
2 k(k — l) ahxk	2 kahxk 1 ±	2 ahx'k+1=		2 ЬІ>Х'!+1’
k=2	k=l		k=0	/;=П

(2-31)

где ah определяются формулой (2-14). Используя метод неопре деленных коэффициентов, находим

ах =0; й.	+ 1	а,,=	h i- 2 + ^ k - 2
	22		k2

т. е. коэффициенты искомого ряда определяются по рекур рентной формуле, как и в случае однородного дифференциаль ного уравнения.

«Пусть все коэффициенты, кроме Ь о , в правой части (2-30) равны нулю. В таком случае будем иметь

ах =	0; а2 =		ак- 2
ах =	0; а2 =	22	+
		22	к2
	k =3,	4,	5, . . .
Рассуждениями,	аналогичными		рассуждениям в § 1, легко
показать, что	ö2ft+i=°>		, 1, 2, ...
	ö2ft+i=°>	Ь = 0	, 1, 2, ...

Кроме того, выкладки и результаты, полученные в § 2, дают право утверждать, что радиус сходимости в данном случае при т = 1, 2, 3, 4 также не меньше единицы, если только

Значит, для знака «+» в (2-30) должно выполняться соотношение

0 < Ь0<2,

а для знака «—»

— 2 О „ < 0 .

Таким образом, удается получить в виде бесконечного сте пенного ряда решение обобщенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка, если в правой части сто ит полином.

§ 4. Применение теории обобщенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка

к более широкому классу уравнений Эмдена—Фаулера

Полагая в уравнении Эмдена—Фаулера

—	(х р A L )		+ хРи'п= 0	(2-32)
dx	у	dx )
а = р, после соответствующих преобразований получаем
All\|_jl Al+ =о.				(2-зз)
dx-	X	dx	-

Легко видеть, что к данному классу уравнений относится и исследованное выше обобщенное уравнение Бесселя нулевого

порядка (р=1).	удовлетворяющего на
Поиск решения уравнения (2-33),	удовлетворяющего на
чальным условиям w(0) = l и ц'(0)=0,	в виде	бесконечного
степенного ряда
00
и (х) = 1+ У акхк		(2-34)
А=1

при пг целом и положительном приводит к следующим рекур рентным формулам для определения коэффициентов ряда:

	я =0; а, = +		---------- ; Lh+l		О,
			2 ( 1 + Р)
*2к	+	____ °+і—2 _		£ = 1 ,	(2-35)
		2k (2k +-р — 1)			2, 3,

где ак, как и ранее, определяется формулой					(2-14).
Очевидно,	что при р>1		коэффициенты полученного ряда

по абсолютной величине меньше соответствующих коэффици ентов ряда, полученного при р= 1, поэтому для случая р>1 также справедливо утверждение о равномерной сходимости рядов на отрезке [О, 1] для т = 1, 2, 3 и 4.

Решение дифференциального уравнения типа (2-33) с полиномом в правой части

A i l . + A . È			L ± ит=		ь	+ Ъх		/,оЛ-2	ь,х‘,(2-36)
dx-		X	dx
удовлетворяющее			начальным		условиям			я(0) = 1 и п'(0)=0,
также можно получить в виде ряда							(2-34). В этом случае ре
куррентные формулы для определения								коэффициентов ряда
будут такими:
		Ь0± 1				Jk-2		а*
а1 — 0;	я..					Jk-2		/,'_2
а1 — 0;	я..	2 ( 1 - Р)				k (/е 4- р —1)			*=з.4.... /+о
		2 ( 1 - Р)				k (/е 4- р —1)			*=з.4.... /+о
		я,, =			а Й -2				(2-37)
		я,, =		Ä(Ä Ч- Р —1)			/;>/—2		(2-37)
				Ä(Ä Ч- Р —1)			/;>/—2
Уместно заметить, что для уравнения Эмдена, описывающего
равновесие сферы из полптропного газа [10]:
		d-u	. 2	du	.	...	_	оч	(2-38)
		— — - — —			+	=0,		(р —2),	(2-38)
		dx1	X	dx
существование положительного						и ограниченного			решения с

начальными условиями я(0) = 1 и я'(0)= 0 доказано для лю бого т из интервала О ^ т ^ б иОЧЧ=£Чо, где х0 положитель

но и конечно и я(х0)= 0 .	Расчет значений хо(яг) (яг=0, 1, 2,
3), проведенный согласно	(2-37), представляющему решение

уравнения Эмдена для полптропного газа, дают полное совпа дение с таблицей Эмдена, приведенной'в [35].

Таким образом, интервал равномерной сходимости рядов (область существования непрерывных и ограниченных реше ний), приведенных в этой главе, может быть существенно больше отрезка [0, 1]. Кроме того, очевидно, что наложенное ограничение на параметр т (т — целое) не должно ограни чить область применения полученных решений, поскольку, ис пользуя метод интерполяции, можно продолжить решения и на нецелые т.

ГЛАВА III

ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕССЕЛЯ

Введение

Полученные в предыдущей главе решения уравнений типа Эмдена—'Фаулера (как уже было показано, обобщенные бесселевские уравнения принадлежат к этому классу) кажутся несколько громоздкими, но наличие аналитически представи мых решений упрощает исследование процессов, описываемых дифференциальными уравнениями этого класса.

Рассматриваемый нами тип уравнений ((2-7), (2-33))

* і - + ± , * і ± і Г = 0 dx2 X dx

имеет особенность в точке х=0, в которой, конкретизируя класс исследуемых решений, задаются начальные условия. Это обстоятельство несколько затрудняет получение числен ных значений решений на ЭВМ з отсутствие аналитического представления этих решений. Поэтому наличие решения в аналитическом виде для данного уравнения весьма полезно.

Сложность полученных рекуррентных формул для опреде ления коэффициентов степенных рядов искомых решений не является препятствием при качественном анализе и использо вании аналитических представлений, так как она в значитель ной степени искупается сравнительно хорошей сходимостью на отрезке [0, 1] (табл. а 'ік ).

Поскольку для получения достаточно точных решений тре буется такое количество членов ряда, которое, вообще говоря, исключает возможность проведения расчетов без использова ния ЭВМ, то авторами были рассчитаны и составлены таблицы.

Наличие аналитических представлений решений в виде не которых функций в сочетании с таблицами значений этих функций существенно упрощает задачу исследования указан ного класса уравнений и облегчает использование полученных результатов в инженерных приложениях.

			Т а б л и ц а	u2k
				u2k
				Р
тп	к	1	о		3	4
		1	о		3	4
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000	0,1000000
	2	0,0156250	0,0083333		0,0052083	0,0035714
	3	0,0004340	0,0001984		0,0001085	0,0000661
	4	0,0000068	0,0000028		0,0000014	0,0000008
	5	0,0000001	<Ю"7		< 1 0 '7	< ю - 7
	6	< ю - 7
	7
	8				—	—
	9
	10
	11
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000	0,1000000
	2	0,0312500	0,0166667		0,0104167	0,0071429
	3	0,0034722	0,0014550		0,0007595	0,0004497
	4	0,0003526	0,0001176		0,0000515	0,0000265
	5	0,0000342	0,0000091		0,0000033	0,0000015
	6	0,0000032	0,0000007		0,0000002	0,0000001
	7	0,0000003	< ю - 7		< !0 - 7	< ю - 7
	8	< ю - 7 .	—		—	—
	9		—		—	—
	10
	И
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000 .	0,1000000
	2	0,0468750	0,0250000		0,0156250	0,0107143
	3	0,0091146	0,0037698		0,0019531	0,0011508
	4	0,0017700	0,0005686		0,0002441	0,0001236
	5	0,0003436	0,0000858		0,0000305	0,0000133
	6	0,0000667	0,0000129		0,0000038	0,0000014
	7	0,0000130	0,0000020		0,0000005	0,0000002
	8	0,0000025	0,0000003		0,0000001	< 1 0 '7
	9	0,0000005	< ю -?		< ІО"7	—
	10	0,0000001	—		—	—
	11	< іо - 7	—		—	—
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000	0,1000000
	2	0,0625000	0,0333333		0,0208333	0,0142857
	3	0,0173611	0,0071429		0,0036892	0,0021693
	4	0,0049913	0,0015800		0,0006727	0,0003389
	5	0,0014627	0,0'03560		0,0001248	0,0000538
	6	0,0004340	0,0000812		0,0000234	0,0000086
	7	0,0001299	0,0000187		0,0000044	0,0000014
	8	0,0000391	0,0000043		0,0000008	0,0000002
	9	0,0000118	0,0000010		0,0000002	< іо-?
	10	0,0000036	0,0000002		< ю - 7	—
	11	0,0000011	0,0000001		—	—

§ 1. Характер сходимости полученных функциональных рядов, поведение решений

Было показано (см. § 4 гл. II), что область сходимости рядов (2-34), определяющих решения уравнения Эмдена — Фаулера (2-33) (в частности при р = 1— обобщенных функ

ций Бесселя нулевого порядка Д 1(z), ^"о (2)). по крайней мере не меньше отрезка [0, 1], внутри которого обеспечивается рав-

различных т (здесь и далее номера кривых со ответствуют значению т)

номерная сходимость. Расчет коэффициентов (2-35) рядов (2-34) убеждает и в достаточно быстрой их сходимости на этом отрезке. Таким образом, характер убывания величины коэффициентов позволяет во многих случаях ограничиться сравнительно небольшим числом членов ряда для получения инженерных решений и аналитической оценки исследуемого явления, а также установления функциональной зависимости между основными параметрами процессов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ