Лабораторная работа №6 Иcследование прохождения прямоугольных импульсов через простейшие линейные четырехполюсники

Список условных обозначений

- емкость;

- активное сопротивление (резистор);

- комплексное сопротивление;

- угловая частота;

- передаточная функция цепи по напряжению;

- комплексная амплитуда выходного напряжения;

- - комплексная амплитуда входного напряжения;

- мгновенное значение входного напряжения;

- мгновенное значение выходного напряжения;

- амплитуда импульса напряжения;

- функция Хэвисайда;

- изображение напряжения по Лапласу;

- операторная передаточная функция;

- длительность импульса;

- постоянная времени цепи.

Цель работы: изучение прохождения прямоугольного импульса напряжения через простейшие линейные четырехполюсники.

Темы, знание которых необходимо для выполнения работы:

1. Методы анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.

2. Основы теории линейных четырехполюсников.

6.1 Теория

а) Отклик четырехполюсников на воздействие одиночного импульса.

Во многих электронных устройствах используются электрические сигналы, форма которых отличается от гармонической. Для анализа прохождения таких сигналов через систему часто используются методы, основанные на понятиях амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик системы. Однако, зачастую удобнее пользоваться временным подходом и исследовать отклик системы на одиночный прямоугольный импульс или на периодическую последовательность прямоугольных импульсов. Полученная при таком исследовании информация дает возможность определить реакцию системы на импульсный сигнал произвольной формы.

В настоящей работе исследуется прохождение периодической последовательности прямоугольных импульсов через два распространенных варианта обращенного Г- образного четырехполюсника, схемы которого приведены на рис.6.1.

Рис.6.1. а) четырехполюсник вида ,б) четырехполюсник вида.

Передаточная функция по напряжению такого двухэлементного четырехполюсника, состоящего из комплексного сопротивления в последовательной ветви и комплексного сопротивленияв параллельной ветви, равна:

(6.1) Если и , то передаточная функция по напряжению равна:

(6.2) где - постоянная времени цепи.

Этот четырехполюсник широко используется в радиоэлектронике для связи между каскадами в усилителях, для коррекции частотных характеристик в качестве фильтра верхних частот, а также для дифференцирования сигналов. В последнем случае должно выполняться неравенство для всех частот спектра сигнала, подлежащего дифференцированию, а сам четырехполюсник при этом называютдифференцирующим. Его передаточная функция приближенно равна .

Математический анализ прохождения одиночного прямоугольного импульса через данную схему удобно выполнить с помощью функции Хэвисайда и преобразования Лапласа. Действующий на входе цепи импульс напряжения можно представить в виде

(6.3) где - длительность импульса и - его амплитуда.

Используя операторный метод расчета переходных процессов, изображение напряжения на выходе четырехполюсника можно записать в виде

(6.4)

где и - изображения выходного и входного напряжений, а - операторная передаточная функция по напряжению.

Изображение функции (6.3) в соответствии с таблицей преобразований Лапласа имеет вид

(6.5) и из формулы(6.2)

(6.6) т.е.

(6.7) и

(6.8) Графики функции (6.3) и отклика (6.8) для различных значений отношения приведены на рис.6.2.

Рис.6.2. Отклик - цепи на прямоугольный импульс напряжения.

Нетрудно видеть, что для неискаженной передачи импульса напряжения следует использовать цепь, удовлетворяющую условию , тогда как для приближенного дифференцирования необходимо выполнить обратное неравенство. При этом реакцией цепи на входной импульс прямоугольной формы будет совокупность двух разнополярных экспоненциальных импульсов, соответствующих во времени переднему и заднему фронтам входного импульса.

Из формулы (6.8) видно, что в интервале времени напряжениеизменяется по закону

(6.9) Достигнув при значения , напряжение в области следует зависимости

(6.10) Таким образом, величина «спада» напряжения на вершине импульса равна

(6.11) и, следовательно, постоянную времени можно определить, измерив значения и подставив их в формулу

(6.12)

Аналогично решается задача и в случае, когда схема четырехполюсника имеет вид рис.6.1-б (-цепь). В этом случае

(6.13) и при воздействии на входе одиночного прямоугольного импульса (6.3) изображение выходного напряжения имеет вид

(6.14) Таким образом, при нулевых начальных условиях

(6.15) Графики функции для различных соотношениях между и приведены на рис.6.3.

Рис.6.3. Отклик - цепи на прямоугольный импульс напряжения.

Из них видно, что искажение формы импульса тем меньше, чем меньше постоянная времени по сравнению с длительностью импульса. Если же, цепь такой конфигурации может рассматриваться как интегрирующая, а выходное напряжение будет иметь вид пилообразного импульса с точкой перелома, соответствующей обратному фронту входного импульса.

Из формулы (6.15) следует, что в интервале времени напряжениеизменяется по закону

(6.16) Достигнув при значения, в областионо следует зависимости

(6.17) а постоянную времени можно найти из соотношения

(6.18) Если же , и заряд емкости практически заканчивается за время действия импульса, то постоянную времени можно определить стандартным образом как интервал времени, в течение которого напряжение на выходе возрастает от нуля до значения или уменьшается в раз от значения по заднему фронту импульса.

б) Отклик четырехполюсников на воздействие периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Полученные выше выражения правильно описывают процессы в рассматриваемых цепях лишь в том случае, когда на их входе действует одиночный импульс прямоугольной формы. При экспериментальном исследовании удобнее пользоваться входным сигналом, представляющим собой непрерывную периодическую последовательность прямоугольных однополярных импульсов, так как при этом значительно облегчается визуализация сигнала с помощью осциллографа. Приведенные ранее соотношения могут быть непосредственно использованы лишь в том случае, если период повторения входных импульсов значительно больше постоянных времени исследуемых цепей. В противном случае периодизация входного сигнала вносит погрешность в измерения постоянной времени за счет того, что переходные процессы затухают не полностью, и к моменту прихода очередного импульса в схеме будут иметь место начальный ток и начальный заряд емкости, влияющие на характер переходных процессов. Для аналитического исследования реакции рассматриваемых цепей на периодический входной сигнал можно использовать различные методы. Все они основаны на суммировании токов и напряжений, порождаемых отдельными импульсами. Рассмотрение этих методов в рамках методического пособия оказывается излишне громоздким, поэтому ниже будет сделано лишь приближенное преобразование полученных выше результатов с учетом периодичности входного сигнала.

Сначала рассмотрим четырехполюсник -типа (рис.6.1-а). Благодаря наличию емкости в последовательной ветви данная цепь не пропускает на выход постоянную составляющую входного напряжения, в результате чего на выходе цепи всегда будет формироваться сигнал, имеющий симметричную относительно оси времени форму. При этом соотношения между значениями выходного сигнала в моменты времени, соответствующие переднему и заднему фронтам входных импульсов придолжны принимать вид (рис.6.4)

(6.19) При этом следует иметь в виду, что и связаны между собой и с амплитудой входного импульса формулами, непосредственно вытекающими из рис.6.4

(6.20)

(6.21) где - «спад» напряжения за время действия импульса.

Рис.6.4. Отклик -цепи на периодическую последовательность прямоугольных импульсов.

Элементарный расчет дает следующее соотношение между постоянной времени цепи и измеряемыми параметрами выходного сигнала

(6.22) Если , то измерение постоянной времени можно выполнять на основе стандартного определения.

В отличие от рассмотренного ранее четырехполюсник вида пропускает постоянную составляющую однополярного сигнала, вследствие чего на выходе схемы должно присутствовать напряжение, обусловленное остаточным зарядом конденсатора. Естественно, что этот эффект будет иметь место лишь в случае, если. Вид выходного напряжения при различных соотношениях между и приведен на рис.6.5.

Рис.6.5. Отклик -цепи на периодическую последовательность прямоугольных импульсов.

Если , то переходные процессы в цепи успевают закончиться к моменту прихода очередного импульса, и, следовательно, постоянная времени цепи может быть измерена стандартным образом. Если же имеет место обратное неравенство, значениеможно связать со значениями выходного напряжения в моменты времени, соответствующие переднемуи заднемуфронтам входного импульса

(6.23) и, следовательно,

(6.24) При этом следует иметь в виду, что величины и должны отсчитываться от линии нулевого потенциала, совпадающей с ходом луча осциллографа в отсутствие сигнала на входе цепи.