- •Лекция 6. Непрерывность функции одной переменной
- •6. 1 Непрерывность функции в точке
- •6.2 Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в точке
- •6.3 Классификация точек разрыва. Примеры
- •6.4 Свойства непрерывных функций
- •6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями
- •6.6 Теорема о непрерывности сложной функции
- •6.7 Непрерывность элементарных функций
- •Лекция 7. Функции непрерывные на отрезке
- •7.1 Непрерывность функции на множестве
- •7.2 Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)
- •7.3 Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)
- •7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции теорема 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)
- •7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •7.5 Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема Кантора
- •Глава 3
- •§3.1 Производная функции
- •Бесконечные производные
Лекция 7. Функции непрерывные на отрезке
Непрерывность функции на множестве
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)
Теоремы о корнях непрерывной функции:
теорема Больцано - Коши о нуле непрерывной функции
теорема о прохождении непрерывной на отрезке функции через любое промежуточное значение
Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
Непрерывность обратных тригонометрических функций. Непрерывность показательной и логарифмической функции. Графики.
Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема Кантора
7.1 Непрерывность функции на множестве
Определение. Функция называетсянепрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества:
.
Пусть ,.
Определение. Точка называетсявнутренней точкой , если.
Определение. Множество называетсяоткрытым, если каждая его точка внутренняя.
Определение. Множество называетсязамкнутым, если – открыто.
–открыто - замкнутые множества.
Приведем без доказательства теорему.
ТЕОРЕМА. Множество замкнуто(все предельные точки принадлежат).*
* – замкнуто. Пусть– предельная точка. Доказательство проведём от противного. Предположим, что. Тогда,, следовательно, не является предельной точкой множества .
Пусть . Докажем, что– открыто..
–внутренняя точка , следовательно, открыто, поэтому замкнуто.
7.2 Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)
Пусть .
Определение. Будем говорить, что непрерывна на (запись: ), еслинепрерывна в любой точке, в точкесправа и вслева.
ТЕОРЕМА 1 (Первая теорема Вейерштрасса)
Функция непрерывная на отрезке, ограничена на нём.
Доказательство. Теорему докажем от противного. Предположим, что не является ограниченной на, то есть
Пусть .
,
,
………………………………
То есть для существует точкадля которой.
Последовательность ограничена, так как все точки. Тогда по теоремеБольцано – Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , причем. По теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей:, т. е..
Функция непрерывна в точке, поэтому
(1)
(предел по Гейне). Но так как , то
. (2).
Мы пришли к противоречию (сравните (1) и (2)), которое и завершает доказательство теоремы.
Замечание. Для функций, непрерывных на интервале, утверждение предыдущей теоремы, вообще говоря, не верно. В этом легко убедиться, на примере функции . Эта функция непрерывна, но не ограничена на (0,1).
7.3 Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)
Пусть , ограничена на множестве и пусть
, .
Тогда для .
Определение. Будем говорить, что функция достигает своей точной верхней грани (нижней грани) на , если.
Пример 1. Здесь,.
Пример 2. ,
Здесь , но нет числатакого, что.
Пример 3. ,
Здесь ,, то естьдостигает точной верхней грани на.
ТЕОРЕМА 2 (Вторая теорема Вейерштрасса)
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своей точной верхней и точной нижней граней, то естьтакие, что .
Доказательство. Доказательство проведём от противного. Предположим, что .
Рассмотрим функцию . Так как, то функциянепрерывна на отрезке. Тогда попервой теореме Вейерштрасса , то есть, то естьне является наименьшей верхней границей, то есть супремумом.
Всамом деле, если, то нет, таких, что .
Для точной нижней грани доказательство аналогично.
Таким образом, для непрерывной на отрезке функции можно говорить о максимальном (минимальном) значении:
, .