- •12. Кратные интегралы
- •12.1. Двойной интеграл
- •Решение. Непосредственное вычисление данного интеграла было бы затруднительным. Однако простая замена переменных
- •Решение. Применив формулу (12.4), перейдем к полярным координатам:
- •Решение. Область представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой, справа прямой. Решая систему уравнений
- •Решение. Данное тело ограничено двумя параболоидами (рис. 12.9). Решая систему уравнений
- •Решение. Уравнение поверхности имеет вид , областьесть круг, ограниченный окружностью. Находим производные
- •Решение. Находим массу и статические моменты:
- •Решение. Момент инерции относительно начала координат равен
- •12.2. Тройной интеграл
- •Решение. Область проецируется на плоскостьв треугольник, ограниченный прямыми,,. По формуле (12.5) имеем
- •Решение. Данное тело ограничено сверху плоскостью , снизу – параболоидом(рис. 12.18). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:
- •Решение. Найдем массу рассматриваемого тела:
- •12.3. Задачи
Решение. Область проецируется на плоскостьв треугольник, ограниченный прямыми,,. По формуле (12.5) имеем
.
Замена переменных в тройном интеграле производится по формуле
,
где - область, в которую преобразовалась областьпри отображении,,;-подынтегральная функция, преобразованная к новым переменным ,,;- якобиан функций,,по переменным,,:
.
В частности, при переходе от прямоугольных координат ,,кцилиндрическим координатам ,,(рис. 12.14), связанным с,,формулами
, ,(,,),
якобиан преобразования , поэтому
. (12.6)
Рис. 12.14 |
Рис. 12.15 |
При переходе от прямоугольных координат ,,ксферическим координатам ,,(рис. 12.15), связанным с,,формулами
, ,
(,,),
якобиан преобразования , поэтому
. (12.7)
Пример 11. Вычислить тройной интеграл , где областьограничена параболоидоми плоскостью(рис. 12.16).
Рис. 12.16
Тройной интеграл удобнее вычислять в цилиндрических координатах. Уравнение параболоида при этом запишется следующим образом: , т.е.. В областикоординаты,иизменяются так:,,; подынтегральная функция. Таким образом, по формуле (12.6) находим
.
Рис. 12.17
Решение. Поскольку - область, ограниченная верхней полусферой и конусом (рис. 12.17), удобно перейти к сферическим координатам. Уравнение полусферы при этом запишется как, а конуса -. В областикоординаты изменяются следующим образом:,,. Таким образом, по формуле (12.7) находим
.
Объем тела, занимающего область , определяется по формуле
.
Рис. 12.18
Решение. Данное тело ограничено сверху плоскостью , снизу – параболоидом(рис. 12.18). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:
.
Масса тела, занимающего область , вычисляется по формуле
,
где - плотность тела.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей ,,вычисляются по формулам
, ,
.
Координаты центра тяжести определяются по формулам
, ,.
Моменты инерции относительно координатных осей ,,; моменты инерции относительно координатных плоскостей,,и момент инерции относительно начала координат вычисляются соответственно по формулам
, ,
;
, ,
;
.
Рис. 12.19
Решение. Найдем массу рассматриваемого тела:
.
Статические моменты:
;
;
.
Тогда координаты центра тяжести:
, ,.
12.3. Задачи
Начертить области интегрирования и изменить порядок интегрирования в следующих двойных интегралах:
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
Вычислить двойные интегралы:
7. |
. |
8. |
. |
Вычислить двойные интегралы по областям , ограниченным указанными линиями:
, где - область, ограниченная прямыми,и.
, где - область, ограниченная параболамии.
, где - область, ограниченная прямыми,и гиперболой.
, где - область, ограниченная линиями,,.
Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:
, где область - круг.
, где область ограничена полуокружностьюи осью.
, где область ограничена линиями,.
, где область ограничена окружностью.
, где область ограничена линиями,,,.
Вычислить двойной интеграл
, .
Найти площади плоских фигур, ограниченных заданными линиями
19. |
, ,. |
20. |
, . |
, ,,.
, ,,.
С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
Плоскостями координат, плоскостями ,и параболоидом вращения.
Цилиндром и плоскостями,,.
Плоскостями координат, плоскостью и цилиндром.
Цилиндром , параболоидоми плоскостью.
Вычислить площадь:
Части плоскости , находящейся вI октанте (,,).
Части поверхности , вырезанной цилиндроми расположенной вI октанте.
Найти массу плоской пластинки с плотностью распределения массы , ограниченной заданными линиями:
, ,,().
, ,,,(,).
Определить центр тяжести однородной пластинки, ограниченной заданными линиями:
31. |
, ,,. |
|
|
32. |
, . |
|
|
Вычислить моменты инерции фигуры, ограниченной заданными линиями, относительно осей и:
33. |
, ,. |
|
|
34. |
, ,. |
|
|
Вычислить тройные интегралы по областям , ограниченным указанными поверхностями:
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,,.
, ,,,.
С помощью замены переменных вычислить тройные интегралы по областям , ограниченным указанными поверхностями:
, ,.
, ,,,.
, ,,.
, часть шара , находящаяся вI октанте.
, .
, ,.
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
, ,,.
, .
, ,.
Найти массу куба ,,, если плотность в точке.
Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного заданными поверхностями:
, ,,,.
, ,,(,).
Найти момент инерции относительно оси однородного тела, ограниченного поверхностями,,,,.
Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат однородной пирамиды, ограниченной плоскостями ,,,.
Задание 12.1. Начертить области интегрирования и изменить порядок интегрирования в следующих двойных интегралах:
1. |
а) |
. |
|
б) |
. |
2. |
а) |
. |
|
б) |
. |
3. |
а) |
. |
|
б) |
. |
4. |
а) |
. |
|
б) |
. |
5. |
а) |
. |
|
б) |
. |
6. |
а) |
. |
|
б) |
. |
7. |
а) |
. |
|
б) |
. |
8. |
а) |
. |
|
б) |
. |
9. |
а) |
. |
|
б) |
. |
10. |
а) |
. |
|
б) |
. |
11. |
а) |
. |
|
б) |
. |
12. |
а) |
. |
|
б) |
. |
13. |
а) |
. |
|
б) |
. |
14. |
а) |
. |
|
б) |
. |
15. |
а) |
. |
|
б) |
. |
16. |
а) |
. |
|
б) |
. |
17. |
а) |
. |
|
б) |
. |
18. |
а) |
. |
|
б) |
. |
19. |
а) |
. |
|
б) |
. |
20. |
а) |
. |
|
б) |
. |
21. |
а) |
. |
|
б) |
. |
22. |
а) |
. |
|
б) |
. |
23. |
а) |
. |
|
б) |
. |
24. |
а) |
. |
|
б) |
. |
25. |
а) |
. |
|
б) |
. |
Задание 12.2. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями. Областьизобразить на чертеже:
а) ,,,.
б) ,,,,.
а) ,,,,.
б) ,,,.
а) ,,,,.
б) , , ,.
а) ,,,,.
б) , , ,.
а) ,,,,.
б) , ,, .
а) ,,,,.
б) , ,,.
а) ,,,,.
б) , ,().
а) , , .
б) ,,,,.
а) ,,,,.
б) , ,().
а) ,,.
б) , ,,.
а) ,,,.
б) , , ,.
а) , , ,.
б) ,,,.
а) ,,, .
б) ,,,,.
а) ,,,,.
б) , ,.
а) , ,.
б) ,,,.
а) ,,,.
б) , ,.
а) ,,,().
б) , , .
а) ,,,.
б) , ,.
а) , ,,.
б) ,,,.
а) ,,,.
б) ,,,.
а) , ,.
б) ,,,.
а) ,,,,.
б) , ,, .
а) ,,,,.
б) , ,.
а) ,,,,.
б) , , ,.
а) ,,,.
б) , ,.
Задание 12.3. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями, с помощью перехода к полярным координатам. Сделать чертеж области:
а) , ,.
б) , ,,.
а) ,,, .
б) , ,.
а) ,,.
б) , ,.
а) ,,.
б) , ,.
а) , ,.
б) , .
а) , ,.
б) , ,,.
а) ,.
б) , ,.
а) ,,.
б) , ,.
а) , ,.
б) , ,.
а) ,,,.
б) , ,, ,.
а) , ,,.
б) , ,, ,.
а) , ,.
б) , ,, .
а) , ,,.
б) , ,, .
а) , ,, .
б) , .
а) ,.
б) , ,,.
а) , ,.
б) , ,.
а) , ,.
б) , .
а) , ,, ,.
б) , ,, .
а) , ,.
б) , .
а) , .
б) , .
а) , ,, ,.
б) , .
а) , .
б) , ,,.
а) , ,.
б) , ,,,.
а) , ,.
б) , ,.
а) , ,.
б) , .
Задание 12.4. С помощью двойного интеграла вычислить площадь области , ограниченной указанными линиями; сделать чертеж:
1. |
, ,. |
|
2. |
, ,. | ||
3. |
, ,,. |
|
4. |
, . | ||
5. |
, . |
|
6. |
, . | ||
7. |
, . |
|
8. |
,,. | ||
9. |
,,,. |
| ||||
10. |
,,. |
|
11. |
,,. | ||
12. |
,. |
|
13. |
,,,. | ||
14. |
,,,. |
|
15. |
, | ||
16. |
, ,. |
|
17. |
, ,. | ||
18. |
, (). |
|
19. |
, (). | ||
20. |
, (). |
|
21. |
, (). | ||
22. |
, (). |
|
23. |
, ,. | ||
24. |
, ,. |
|
25. |
, ,. |
Задание 12.5. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
, ,,.
, ,,.
, ,,,.
, ,.
, .
, ,,.
, .
, ,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,.
, ,.
, ,.
, .
, ,,.
, ,,.
, ,,,.
, ,.
, ,,.
, ,, ,.
, ,.
, ,(,,).
, ,,().
, ,(,).
, (,,).
Задание 12.6. Вычислить площадь:
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Части плоскости , лежащей вI октанте.
Части плоскости , отсекаемой плоскостями,,,.
Поверхности цилиндра , отсеченной плоскостями,,.
Части плоскости , вырезанной цилиндром.
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Поверхности цилиндра , вырезанной цилиндроми плоскостью.
Части цилиндра , вырезанной цилиндром().
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Части конуса , заключенной внутри цилиндра.
Части сферы , заключенной внутри цилиндра().
Поверхности , вырезанной цилиндром.
Части сферы , заключенной внутри цилиндра().
Поверхности конуса , отсеченной плоскостями,(, ,).
Поверхности конуса , расположенной внутри цилиндра.
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Боковой поверхности конуса , заключенной между плоскостямии.
Части параболоида , вырезанной цилиндром(, ,).
Части сферы , заключенной внутри конуса().
Поверхности , расположенной внутри цилиндра.
Части конуса , вырезанной цилиндром().
Части сферы , вырезанной цилиндром().
Поверхности параболоида , расположенной внутри цилиндра.
Части плоскости , вырезанной цилиндром.
Поверхности конуса , расположенной внутри цилиндра().
Задание 12.7. Найти массу пластинки плотности , ограниченной заданными линиями:
1. |
, ,,(). |
2. |
, ,,,. |
3. |
, ,(,). |
4. |
, ,(). |
5. |
, ,(,). |
6. |
, ,(,). |
7. |
, ,,. |
8. |
, ,,. |
9. |
, ,,(). |
10. |
, ,(,). |
Найти момент инерции относительно начала координат однородной пластинки, занимающей область, ограниченную заданными линиями:
11. |
. |
| ||
12. |
, ,. |
|
|
|
13. |
, ,. |
|
|
|
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, занимающей область, ограниченную заданными линиями:
14. |
, ,. |
|
15. |
, . |
16. |
, . |
|
17. |
, ,. |
18. |
, ,,. |
|
19. |
(,). |
20. |
(). |
|
21. |
, . |
22. |
, ,,. |
| ||
23. |
, ,. |
|
24. |
, . |
25. |
, (,). |
|
Задание 12.8. Вычислить тройные интегралы по областям, ограниченным указанными поверхностями:
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,,,.
, ,,.
, ,,,,,.
, ,(,).
Задание 12.9. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
, .
, .
, ,(внутри цилиндра).
, .
, ,(внутри цилиндра).
, .
, .
, .
, ,,.
, ,,.
, ,,,.
, ,,.
, .
, ,(вне цилиндра).
, .
, ,.
, ,.
, ,(внутри цилиндра).
, .
, (внутри параболоида).
, .
, .
, .
, ,,.
, ,,,.
Задание 12.10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, занимающей область, ограниченную заданными поверхностями:
1. |
,,,. |
|
|
| |
2. |
,. |
|
|
| |
3. |
,. |
|
|
| |
4. |
,,,. |
|
| ||
5. |
,(,). |
|
| ||
6. |
,,,,. | ||||
7. |
,,,,,. | ||||
8. |
,,,,. | ||||
9. |
,,,. | ||||
10. |
,,,,. |
Найти момент инерции относительно оси однородного тела, ограниченного заданными поверхностями:
11. |
,,,,. |
|
|
12. |
,,. |
|
|
Найти момент инерции относительно оси однородного тела, ограниченного заданными поверхностями:
13. |
. |
|
|
Найти массу тела с объемной плотностью , ограниченного заданными поверхностями:
, ,,,,,.
, ,,.
, ,,,,.
, ,,,,.
, ,,,,.
, ,,,(,).
, ,,(,).
, ,(,).
, ,,(,).
, ,,(,).
, ,().
, ,(,).
Диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области