Практикум_по_математическому_анализу

функции f(х,у) в этой точке равны нулю.

Замечание 1. Необходимые условия экстремума могут быть сформулированы в следующем виде: если в точкеМ0(х0,у0)функция z=f(х,у) имеет экстремум, то полный дифференциал функции f(х,у), вычисленный в точке М0, равен нулю.

Замечание. Точки, в которых обе частные производные функции z=f(x,у) обращаются в 0, называются (так же, как и в случае функций одной переменной) стационарными точками.

Однако дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в стационарной точке (так же, как и в случае функций одной переменной). Иначе говоря, необходимые условия экстремума не являются условиями, до- статочными для наличия экстремума у функции в точке М0.

Условия, достаточные для наличия экстремума у дифференцируемой функции двух переменных в стационарной точке, формулируются следующим образом (Критерий Сильвестра).

Если в стационарной точке М0(х0;у0) выполняется неравенство

Наибольшее и наименьшее значении функции двух

переменных на области

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области (D) задана дифференцируемая функция z=f(х,у)и требуется найти наибольшее и наименьшее значение этой функции в области (D).

Очевидно, что наибольшее или наименьшее значение функции во внутренних точках области могут достигаться только в точках экстремума. Поэтому нужно найти все точки, подозрительные на экстремум внутри области, и, не занимаясь вопросом о том, есть ли в этих точках экстремумы и если есть, то какие, вычислить значения функции во всех найденных стационарных точках. Но функция может принимать наибольшее или наименьшее значение и на границе области (D). Поэтому надо еще отдельно искать наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. При этом можно использовать уравнения границы области для уменьшения числа независимых переменных у функции и свести дело к исследованию функции одной переменной. Сравнивая все полученные таким образом значения функции, выбираем из них самое большое и самое маленькое.

Практическая часть:

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+y2-9xy+27, 0≤x≤3, 0≤y≤3.

Решение Сделаем чертеж

4

3

2

1

1

Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.

Точка O(0;0) принадлежит границе области D. Исследуем значения функции на границе области.

1) Отрезок OA. Его уравнение х=0, 0≤у≤3. Подставим х=0 в функцию z=у2+27. z′=2y=0. y=0. Найдем значения функции при у=0, у=3.

z1=z(0)=z(O)=27.

z2=z(3)=z(A)=36.

2) Отрезок AВ. Его уравнение у=3, 0≤х≤3

z=х2-27х+36. z′=2х-27=0,х=27/2 [0,3]. Найдем значения в точке х=3 (при х=0 получится точка А, в которой значение посчитано).

z3=z(3)=z(B)=9-81+36=-36.

3) Отрезок BС. Его уравнение х=3, 0≤у≤3. Подставим х=3 в функцию z=у2-27y+36. z′=2y-27=0,y=27/2 [0,3].Найдем значение функции при у=0.

z4=z(0)=z(C)=36

4) Отрезок OC. Его уравнение у=0, 0≤х≤3

z=х2+27. z′=2х=0,х=0.Значения в точках О и С посчитаны. Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее Ответ: zнаим=z(3,3)=-36.

zнаиб=z(0,3)=z(3,0)=36.

2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+2y2+1, x≥0, y≥0,x+y≤1.

Решение Сделаем чертеж

1

0.5

Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.

Внутри области стационарных точек нет (найденная точка лежит на границе).

Исследуем значения функции на границе области.

5) Отрезок OВ. Его уравнение у=0, 0≤х≤1. Подставим у=0 в функцию z=x2+1. z′=2x=0,x=0. Найдем значения функции при х=0,x=1.

z1=z(0)=z(O)=1.

z2=z(1)=z(B)=2.

6) . Отрезок OA. Его уравнение x=0, 0≤y≤1. Подставим x=0 в функцию z=2y2+1. z′=4y=0,y=0. Найдем значения функции при y=1 (при у=0 получается точка О, в которой значение уже посчитано).

z3=z(1)=z(A)=3.

7) Отрезок АВ. Его уравнение х+у=1 или y=1-x, 0≤х≤1. Подставим z=x2+2(1-x)2+1=3x2-4x+3, z′=6x-4=0, x=2/3. Вычислим z при этом значении х (при х=0 и х=1 получатся точки А и В).

z4=z(2/3)=3 4/9-4 2/3+3=5/3

Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее Ответ: zнаим=z(0,0)=1.

zнаиб=z(0,1)=3.

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=3-2x2-xy-y2, x≤1, y≥0,y≤x.

Решение Сделаем чертеж

2

1

Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.

Внутри области стационарных точек нет (найденная точка лежит на границе).

Исследуем значения функции на границе области.

8) Отрезок OВ. Его уравнение у=0, 0≤х≤1. Подставим у=0 в функцию z=3-2x2. z′=-4x=0,x=0. Найдем значения функции при х=0,x=1.

z1=z(0)=z(O)=3.

z2=z(1)=z(B)=1.

9) . Отрезок AB. Его уравнение x=1, 0≤y≤1. Подставим x=1 в функцию z=1-y-y2. z′=-1-2y=0,y=-½ [0,1]. Найдем значения функции при y=1 (при у=0 получается точка B, в которой значение уже посчитано).

z3=z(1)=z(A)=-1.

10)Отрезок OА. Его уравнение у=x , 0≤х≤1. Подставим

z=3-2x2-x2-x2=3-4x2, z′=-8x=0, x=0.При х=0 и х=1 получатся точки О и В, в которых значения посчитаны.

Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее Ответ: zнаим=z(1,1)=-1, zнаиб=z(0,0)=3.

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+3y2+x-y, x≥1, y≥-1,x+y≤2.

2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x2+xy, -1≤x≤1,0≤y≤2.

Производная функции по направлению

1.Производная функции по направлению.

2.Градиент скалярного поля, его свойства.

Производная по направлению есть скорость изменения ф-ции u(M) по

∂u(M 0 )

∂l

направлению Ī в точке М0.

Найдем формулу для вычисления производной по направлению.

Пусть в прямоугольной системе координат задана ф-ция u=u(x,y,z), которая имеет непрерывные частные производные в ( )М0(x0,y0,z0), рассмотрим ( )М(x0+ x,y0+ y,z0+ z), М0М=ρ и пусть вектор Ī образует с

осями координат углы α,β,γ.

Тогда x=ρcosαΔy=ρcosβΔz=ρcosγ В силу непрерывности частных производных в ( )М0 функция u(M) дифференцируема в ( )М0 и ее приращение в этой точке можно представить в виде:

Свойства градиента

Обозначим Ī 0=(cosα;cosβ;cosγ) единичный вектор направления Ī. Тогда:

1. Производная скалярного поля u(M) в точке М0 в данном направлении

=| (grad u)M 0 | * | l0 | cos ϕ = Пр(grad u)M 0

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда cosϕ=1, т.е ϕ=0. Это наибольшее значение равно |(gradu) М0|.

2 Таким образом, градиент |(gradu) М0| есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. В этом физический смысл градиента.

3. (gradu) М0 направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку М0.

Практическая часть:

1. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор а(ах , ау ). Найти: 1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора а .

z=x2+xy+y2), A(1,1), а (2,-1).

Решение 1) Градиент функции найдем по формуле

grad z = ∂z i + ∂z j.

∂x ∂y

Найдем частные производные

∂z = 2x + y; ∂z = x + 2y.

∂x ∂y

Вычислим их в точке А(1,1)

Таким образом

grad z = 3 i + 3 j.

2)Производную в точке А по направлению вектора а найдем по формуле

2. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор а(ах , ау ). Найти:

1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора а .

z=2x2+3xy+y2, A(2,1), а (3,-4).

Решение 1) Градиент функции найдем по формуле

grad z = ∂z i + ∂z j.

∂x ∂y

Найдем частные производные

∂z = 4x + 3y; ∂z = 3x + 2y

∂x ∂y

Вычислим их в точке А(2,1)

1)Производную в точке А по направлению вектора а найдем по формуле

∂z = ∂z cosα + ∂z cos β .

Таким образом

∂z = 11 3 − 8 4 = 1 .

Ответ:

grad z =11 i + 8 j.

∂z = 1 . ∂a 5

3. Даны функция z=f(x,y), точка А(х0,у0) и вектор а(ах , ау ). Найти: 1)gradz в точке А;

2)производную в точке А по направлению вектора а .

z=ln(5x2+3y2), A(1,1), а (3,2).

Решение 1) Градиент функции найдем по формуле

grad z = ∂z i + ∂z j.

∂x ∂y

Найдем частные производные

grad z = 5 i + 3 j. 4 4

2)Производную в точке А по направлению вектора а найдем по формуле

Ответ:

4. Даны функция z=f(x,y), точка М0(х0,у0) и вектор s = x i + y j. Найти градиент функции и производную по направлению вектора а в точке М0.

z=-5x2+xy+2y2-x+4y+1; M0(2; 1); s = i + j .

Решение 1) Градиент функции найдем по формуле

Вычислим их в точке М0 (2,1)

Производную в точке А по направлению вектора а найдем по формуле

Ответ: grad z = −20 i + 10 j.

Задания для самосоятельного решения: