Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математическому_анализу

.pdf

Скачиваний:

152

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

4.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Решение:

Радиус сходимости найдем по формуле

R =

n | a

R = lim

n n 2 +1

n . Предел знаменателя- это второй замечательный

n →∞

предел, равный е. Найдем предел числителя. Для этого рассмотрим функцию

ln(x

2 +1)

ln(x 2

+1) ∞

f (x) = (x

+1) x , ln f (x)

lim

(по правилу

x →∞

∞

Лопиталя)

lim

= lim

= 0 .

x →∞

x →∞ x 2 (1 +

)

x →∞ x(1 +

)

x 2

Следовательно функция стремится к 1. Таким образом

lim n 2 +1 =1Следовательно искомый предел равен 1/е.Таким образом

n →∞

		1		1		1
радиус сходимости	R =		. Интервал сходимости −		;		.
		e
				e		e

Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала сходимости.

1. х=1/е. Подставим в ряд.

∞	n +1		n 2
∑
∑		n
n =1		n
n =1

n +1

n n

∞

= ∑

n =1

•	131
•

сn

Пусть

Покажем,

отличный

от

нуля

предел

cn при

n + 1

ln cn = n

− ln e

= n

ln 1

− n .

разложением в ряд Маклорена.

что существует конечный,

n→∞. Прологарифмируем

Воспользуемся табличным

ln(1 + x) = x −

x 2

−

+ ...(−1 < x ≤ 1).

Подставим х=1/n Получим

ln(1 +

) =

−

+ ...Следовательно

2n 2

3n 3

n n

4n 4

ln cn = n −

−

+ ... − n = −

−

+ ...

4n 2

−

; lim c

lim ln c

= −

= e 2

n →∞

∞

Известно,

что ряд

∑

сходится при s>1 и расходится при s≤1.

n =1

Поэтому ряд

∞

∑n12 сходится. Применим предельный признак сравнения. Пусть

n =1

даны два ряда

а1+а2+а3 +…+ аn +…	(1)
b1+b2+b3 +…+ bn +…	(2)
Тогда если существует конечный	и отличный от нуля предел

lim a n = k , то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно

n →∞ bn

расходятся. Положим

•	132
•

n + 1

n n

, тогда

a n

; b n =

2 + 1

2 + 1 n

a n

−

lim

= lim c

= e

2 ≠ 0.

n →∞ bn

n →∞

n 2 +1

Следовательно ряд сходится.

2. х=-1/е. Подставим в степенной ряд. Получим

	n + 1		n n
	n + 1
∞					n
∞
	n			(−1)
∑	n			(−1)
∑		e		n 2 + 1 . Ряд из абсолютных величин членов этого ряда
n =1		e		n 2 + 1 . Ряд из абсолютных величин членов этого ряда
n =1

совпадает со сходящимся рядом, рассмотренным в пункте 1. Следовательно, он сходится и, причем, абсолютно.

				1		1
Ответ: Область сходимости степенного ряда			−		;		.
Ответ: Область сходимости степенного ряда			−		;		.
				e		e
2. Найти область сходимости степенного ряда.
∞
∑	5n	x n .
∑	n + 1	x n .

n =1

Решение:

Радиус сходимости найдем по формуле

R = lim

a n

n →∞ a n +1

5n +1

a n

n + 2

a n =

; a n +1 =

;

n + 1

n + 2 a n +1

n + 1 5n +1

n + 1

		a n		1	n + 2		1
R =	lim		=	lim		=

	n →∞ a n +1			n →∞ 5	n + 1		5

•	133
•

Следовательно искомый предел равен 1/5.Таким образом радиус

	R =	1		−	1	;	1	.
сходимости	R =		. Интервал сходимости	−		;		.
сходимости			. Интервал сходимости
	5				5		5

Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала сходимости.

1. х=1/5. Подставим в ряд.

∞

∑

Ряд расходится как гармонический.

n +

n + 1

n =1

1 5

n =1

2. х=-1/5. Подставим в степенной ряд. Получим

∞

−

1 n

= ∞

(−1)n

∑

Ряд

знакочередующийся.

Так

как

n +

∑

n +

n =1

абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

Ответ: Область сходимости степенного ряда [− 1 ; 1).

5 5

3. Найти область сходимости степенного ряда.

∞ n

∑2xn n .

n =1

Решение:

Радиус сходимости найдем по формуле

R = lim

a n

n →∞ a n +1

a n =

; a n +1

;

a n

2n +1

(n + 1)

= 2(1 +

)

2n n

a n +1

2n n

2n +1(n + 1)

R = lim

a n

lim 2(1 +

) = 2

n →∞ a n +1

n →∞

Следовательно искомый предел равен 2.Таким образом радиус сходимости R = 2 . Интервал сходимости (− 2; 2).

•	134
•

4.	Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала
сходимости.
1.	х=2. Подставим в ряд.
∞			∞
∑		2n	= ∑	1	. Ряд расходится как гармонический.
∑		n	= ∑		. Ряд расходится как гармонический.
n =1 2 n				n
n =1 2 n			n =1
2.	х=-2. Подставим в степенной ряд. Получим
					∞		∞
					∑	(−2)n	= ∑	(−1)n	.
					∑	n	= ∑		.
					n =1 2 n			n
					n =1 2 n		n =1

Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

Ответ: Область сходимости степенного ряда [−2; 2). 4. Найти область сходимости степенного ряда.

∞		x n
∑		x n			.
		2n	3		.
	2	2n	3	n
n =1	2			n
n =1

Решение:

Радиус сходимости найдем по формуле

R = lim

a n

n →∞ a n +1

22n + 2 3

a n =

; a n +1 =

;

a n

n + 1

= 43

n + 1

+ 2

22n

2n 3 n

3 n

3 n + 1

a n +1 2

R =

lim

a n

= lim 43

n + 1

= 4

n → ∞ a n +1

n →∞

Следовательно искомый предел равен 4.Таким образом радиус сходимости R = 4 . Интервал сходимости (− 4; 4).

Исследуем сходимость степенного ряда в концах интервала сходимости.

1. х=4. Подставим в ряд.

•	135
•

∞

∑

= ∑

. Ряд расходится как обобщенный

2n 3

n =1

гармонический при s=1/3<1.

2. х=-4. Подставим в степенной ряд. Получим

∞

(−4)n

∞

∑

= ∑

(−1)

. Ряд знакочередующийся. Так как абсолютные

2n 3

n =1

величины членов этого ряда монотонно убывают и стремятся к нулю, то по признаку Лейбница ряд сходится.

Ответ: Область сходимости степенного ряда [−4; 4).

5. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, раскладывая подынтегральную функцию в ряд и затем интегрируя почленно.

0,5sin x

∫0 х dx.

Решение:

Разложим подынтегральное выражение в ряд. Воспользуемся табличным разложением

sin х

= х −

х3

х5

− K + (−1)n

х2n+1

+ K

(2n + 1)!

Разделим обе части на x. Получим

sin x

= 1 −

x 2

x 4

− K + (−1)n

x 2n

+ K

(2n + 1)!

Интегрируем это равенство от 0 до 0,5=1/2

0,5sin x

x 3

x 5

x 2n +1

1/ 2

∫

= х

−

− K + (−1) n

+ K

3! 3

5! 5

(2n + 1)!(2n + 1)

−

− ...

144

19200

Получили знакочередующийся ряд. Если мы ограничимся двумя

слагаемыми, то ошибка

не

превзойдет

первого

отброшенного члена

< 0,001

19200

Поэтому с точностью до 0,001

0,5

sin x

dx =

−

= 0,493

∫

2 144

0,5
Ответ: с точностью до 0,001 ∫	sin x		dx = 0,493 .

0		х

6. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, раскладывая

•	136
•

подынтегральную функцию в ряд и затем интегрируя почленно.

0,5

∫х cos xdx.

Решение:

Разложим подынтегральное выражение в ряд. Воспользуемся табличным разложением

cos x = 1 −	x 2	+	x 4	+ K + (−1)n	x 2n	+ K

2!		4!			(2n)!

Умножим обе части этого равенства на х. Получим

						хcos x = х −												x 3		+	x 5		+ K + (−1)n			x 2n+1	+ K
						хcos x = х −														+			+ K + (−1)n				+ K
																	2!					4!				(2n)!
		Интегрируем это равенство от 0 до 0,5=1/2
0,5										x		2				x	4			x		6			x	2n +2
0,5												2					4					6				2n +2			1
		∫хсosxdx =												−					+				+ K +					+ L	2 =
		∫хсosxdx =												−	2 4				+	24 6			+ K +	(2n)!(2n + 2)				+ L	2 =
0											2				2 4					24 6				(2n)!(2n + 2)					0
0																													0
		1			1								1
		=	−						+							− K
		=	−						+							− K
		8			128						9216
		Получили знакочередующийся ряд. Если мы ограничимся двумя
слагаемыми, то				ошибка										не превзойдет первого отброшенного члена
	1	< 0,001
9216		< 0,001
9216
		Поэтому с точностью до 0,001
0,5				1				1
		∫xсosxdx =		1	−			1			= 0,117
		∫xсosxdx =	8		−		128				= 0,117
0			8				128
0
																			0,5
		Ответ: с точностью до 0,001																	∫xсosxdx = 0,117 .
																			0

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти области сходимости ряда

•	137
•

2. Найти области сходимости ряда

3. Найти области сходимости ряда

Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье

1.Ортонормированные системы.

2.Коэффициенты, ряд Фурье.

3.Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.

4. Разложение функции в ряд Фурье по «неправильному промежутку»

Теоретическая часть:

Определение: f ( x), x [−π ;π ] − интегрируема

∞

ряд вида (2)

+ ∑(an cos nx + bn sin nx),

где

n=1

a0 =

π f (x)dx ,

a n =

π f (x)Cosnxdx ,

f (x)Sinnxdx,

∫

−π

называется рядом Фурье функции f(x).

∞

Если (2) – ряд Фурье f(x), то f(x) ~

+ ∑(an cos nx + bn sin nx).

n=1

Заметим, что: ряд Фурье определен для любой интегрируемой функции на [ − π ;π ]. Если этот ряд сходится то его сумма есть периодическая функция Т=2π. В этом смысле этот ряд естественно считать рядом Фурье для Т=2π – периодической функции которая получаеся из данной периодическим продолжением с интервалом [ − π ;π ] на R. В x=π она может быть задана произведением, ряд Фурье от этого не меняется.

•	138
•

Определение: f (x) − x X −кусочно-монотонна
TX = [α i β i ]; [α i β i ] f (x)		- монотонна.
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Лемма: f (x), x [−l; l] − чётная, интегрируемая (нечётная)
l			l
=> ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx
−l			0
Рассмотрим чётную функцию
	2	π		2	π
f (x), x [−π ;π ] a0 =	2	∫ f (x)dx an =			∫ f (x)Cosnxdx		bn= 0
	π

		0	π		0	,
		0			0

Т.к. n f (x) Сosnx –чётная, а			f (x) Sinnx- нечетная. => ряд Фурье для
чётной функции:

f (x) ~ a0 +∑∞ anCos2nx

2n=1

По аналогии для нечётной функции ряд Фурье: а0=0; an=0;

2 π

b n = π ∫0 f ( x )Sinnxdx

∞

f ( x) ~ ∑bn Sin 2nx

n =1

Иногда требуется некоторую функцию f(x), определённую на [-π;0] или[0; π] разложить в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам. Если данную функцию продолжить на [-π;π] чётным образом то по косинусам, если нечётным – то по синусам.

Разложение функций заданных на отрезке вида [а,а+2π]

Заметим, что любую 2 π периодическую функцию достаточно задать на некотором отрезке длины 2 π. В остальных точках она будет определена в силу периодичности. Найдём формулы, выражающие коэффициенты Фурье этой функции через её значения на произвольном отрезке длины 2π, т.е. на любом [а; а+2 π].

Лемма:f(x) – ограничена, периодична с периодом Т>0 и имеет конечное число точек разрыва на любом промежутке длины Т, то:

Та+Т

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx, x R.

0 0

Пусть f(x) – 2π-периодическая функция, а0, аn, bn – её коэффициенты Фурье. По лемме имеем: интеграл от f(x) по [а; а+2π] один и тот же , следоательно:

•	139
•

					π		а+2π
					π		∫
(*)а			=			1		f (x)dx;
(*)а		0	=					f (x)dx;
		0
							а
			1		а+2π
an	=			π		∫	f (x)Cosnxdx;
an	=					а	f (x)Cosnxdx;
						а
			1		а+2π
bn	=		π			∫	f (x)Sinnxdx; a R.
bn	=						f (x)Sinnxdx; a R.

Пусть на [а; а+2π] задана f(x). Продолжим её периодически с периодом 2π на все R (может быть для этого придётся изменить значение f(x) в одной или обеих точках а и а + 2π). Ряд Фурье полученной 2π-периодической функции называется рядом Фурье данной функции f(x), х [a; a + 2π ] .

Ряды Фурье для периодических функций с произвольным

периодом Т=2l, l>0

Любая периодическая функция f(x): Т=2l, l>0, заменой

х =	l	t	преобразуется в φ(t)=f(	l	t ) cT=2π:


	π			π

φ(t+2π)=f

(

(t + 2π )) = f (

t + 2l) = f (

t) =ϕ (t).

Если

f (x), x [−l;l],l > 0 ϕ(t) : t [−π;π ]

∞

ϕ(t) ~=

+ ∑(an cosnt + bn

sin nt) t =

n=1

∞

f (x) ~

+ ∑ an

cosn

x + bn sin n

x − ряд Фурьедля f (x).

n=1

По аналогии имеем:

Теорема: Если 2l – периодическая функция f(x) ограничена и кусочно- монотонна на [-l;l], l>0, то её ряд Фурье сходится к

f (x − 0) + f (x + 0) , x R (в точке непр − й ряд сходится к f (x)). 2

Практическая часть:

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом 2π, заданную в интервале (-π;π) уравнением f(x)= π+x.

•	140
•

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.201510.59 Mб131Практикум Метрология для бакалавров 20.doc
#
14.02.20155.95 Mб107Практикум по БЖ 1 (новый).doc
#
14.02.2015131.91 Кб43практикум по БФУ.docx
#
12.09.201972.13 Mб267практикум по вет. микробиологии и иммунологии.doc
#
14.02.2015647.17 Кб104Практикум.doc
#
14.02.20154.1 Mб152Практикум_по_математическому_анализу.pdf
#
21.09.201953.76 Кб11Практическое занятие по почвам 1.doc
#
14.02.201555.24 Кб26Практичні роботи Стоянова.doc
#
14.02.2015213.09 Кб25прд отчет.docx
#
12.03.201662.57 Кб82Пред Пр КУРСААААЧ.docx
#
15.07.2019167.94 Кб1Предпринимательство.doc