Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Абанин, Калиниченко. Целые функции

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

811.94 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

16. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

Далее для верхней плотности последовательности нулей этого канониче- ского произведения имеем

π = lim

= lim

= 1 .

n→∞ |an|ρπ

n→∞ (n2)1/2

π(z) = n=1 1 + nz2

, à

Следовательно, согласно теореме 16.3 функция

∞

значит, и f, имеет нормальный тип при порядке ρf = 2 .

Упражнение

11.

1. Найти представление в виде бесконечного произведения следую-

щих функций:

à) f(z) = cos z;

á) f(z) = ez−1;

â) f(z) = sin(z2);

ã) f(z) = sh z;

ä) f(z) = ch z; å) f(z) = eaz − ebz;

æ) f(z) = ch z − cos z.

2. Докажите, что следующие функции являются целыми, укажите их

порядок и тип:

+z+2 n=2 1 − n ln2 n ;

à) f(z) = z3e−2z

∞

á) f(z) = (z − 1)5e−2z

+3 n=2 1 − n ln2 n ;

∞

â) f(z) = z n=2 1 − n2 ln n ;

∞

ã) f(z) = n=1 1 + ezn ;

∞

ä) f(z) = n=1 1 +

nσ

, σ > 0.

3. Пусть f целая функция порядка ρ и (an)∞n=1 последователь- ность ее нулей; h любое положительное число и Eh объединение всех кругов |z − ak| < |ak|−h, k N. Докажите, что для любого ε > 0 найдется r0(ε) > 0 со следующим свойством: если |z| > r0 è z Eh, òî

|f(z)| > exp (−|z|ρ+ε).

62	ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Указание. Использовать теорему Адамара, лемму 15.2 и оценку снизу для Re P (z).

4. Найти считающую функцию и верхнюю плотность множества нулей функций cos z, exp z, sin(πz).

17. Формула Иенсена и некоторые ее приложения

Теорема 17.1. Если функция f аналитична в круге {z :						\|z\| < R1} è
f(0) 6= 0, òî äëÿ âñåõ R (0, R1)
		2π	R
1			n	(r)
		Z0 ln \|f(Reiϕ)\|dϕ =	Z0	f	dr + ln \|f(0)\| .	(17.1)
	2π			r

Формулу (17.1) называют формулой Иенсена.

C Òàê êàê f(0) 6= 0, то существует такое ε > 0, ÷òî nf (r) = 0,

r [0, ε). Поэтому	R		fr	R		fr	dr .
	Z			dr = Z
		n	(r)		n	(r)

0ε

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Пусть функция f не имеет нулей в круге |z| 6 R. Тогда nf (r) = 0,

r [0, R], а поэтому nf (r)dr = 0. Кроме того, функция ln f(z) àíà- r

литична в круге |z| < R и непрерывна на окружности |z| = R. По интегральной формуле Коши

						2π
ln f(0) =	1	Z	ln f(z)	dz =	1	Z0	ln f(Reiϕ)dϕ ,

	2πi		z		2π
		CR

ãäå CR = {z C : |z| = R}. Приравнивая действительные составляющие левой и правой части, получаем

		2π
ln \|f(0)\| =	1	Z0	ln \|f(Reiϕ)\|dϕ ,
	2π

то есть формулу (17.1).

Заметим, что последнее равенство выражает известное свойство гармонических функций, говорящее о том, что значение гармонической

17. ФОРМУЛА ИЕНСЕНА

функции в центре круга равно ее среднему значению по окружности границе круга.

2.Пусть функция f имеет в круге {z : |z| < R}, R (0, R1), íóëè

âточках a1, . . . , an (каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность) и не имеет нулей на окружности {z : |z| = R}. Тогда число

2 :=

max

удовлетворяет неравенству R < R

< R

. Положим

16k6n

w(z) :=

R(z − ak)

è ψ(z) :=

f(z)

−

zak

w(z)

Функция w(z) обладает следующими свойствами:

à) w(z) аналитична в круге {z : |z| < R2};

á) w(z) имеет нули в круге {z : |z| < R} в точках ak

(k = 1, . . . , n) è

только в них;

â)

w(0) =

(−1)na1 . . . an

;

ã)

w(Reiϕ) = 1.

Поэтому функция ψ(z), доопределенная в точках ak (k = 1, . . . , n) предельными значениями, аналитична в круге {z : |z| < R2} и не имеет в

нем нулей. При этом ψ(0) = f(0) 6= 0. По первой части доказательства w(0)

		2π
ln \|ψ(0)\| =	1	Z0	ln \|ψ(Reiϕ)\|dϕ.	(17.2)
	2π

|f(0)|Rn

Далее, |ψ(0)| = |a1| · . . . · |an| , откуда ln |ψ(0)| Кроме того, так как ln |ψ(Reiϕ)| = ln |f(Reiϕ)| формула (17.2) приобретает вид

n	\|	\|
Xk	\|	\|
		R
= ln \|f(0)\| +	ln	ak	.
=1

ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî

		2π				n
		0				n		\|
1		0				X \|	R	\|
	2π	Z	ln \|f(Reiϕ)\|dϕ = ln \|f(0)\| + k=1 ln				ak		.	(17.3)
			n	\|	\|
			Xk	\|	\|
Преобразуем сумму			ln	R		. Будем считать, что точки ak (k = 1, . . . , n)
Преобразуем сумму			ln	ak		. Будем считать, что точки ak (k = 1, . . . , n)
			=1	ak

пронумерованы следующим образом:

0 < |a1| = |a2| = . . . = |an1 | < |an1+1| = |an1+2| = . . . = |an2 | < . . . <

64	ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

< |ank−1+1| = |ank−1+2| = . . . = |ank | = |an| .

Другими словами, |an1 | имеет кратность s1 = n1, а каждое из оставшихся

чисел |anj | кратность sj = nj − nj−1

(2 6 j 6 k). ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì

s1 + . . . + sk = n. Тогда считающая функция нулей f

0, åñëè r

[0,

a1 ) ,

, R] .

nk = n, åñëè r

[ an

nf (r) =

nj−1

, åñëè r

|a|nj−1

|anj |

, j = 2, 3, . . . , k ,

Поэтому

R n

(r)

|an1 |

k−1

|ani+1|

dr =

0 ·

+ i=1

+ Z

|ani |

|ank |

	k−1	an +1		\|	R	\|
	X			\|		\|
=	k	aini	+ nk ln		ank		k
=	i=1 ni ln	aini	+ nk ln		ank	=
Xi							X
= nk ln R−n1 ln \|an1 \|− (ni−ni−1) ln \|ani \| = n ln R−
	=2						i=1

n	\|	\|
Xk	\|	\|
si ln \|ani \| =		R
si ln \|ani \| =	ln	ak	.
=1

Следовательно, равенство (17.3) имеет вид

2π	Z0	ln \|f(Reiϕ)\|dϕ =	Z0	fr dr + ln \|f(0)\| ,
1	2π		R	n (r)

и, значит, формула (17.1) доказана.

3.Пусть теперь функция f имеет нули в точках z = ak (k = 1, . . . , n)

âкруге {z : |z| < R} и в точках z = bj = Reiϕj (j = 1, . . . , m) íà

окружности {z : |z| = R}. В силу изолированности нулей аналитической

функции, в некотором кольце R < \|z\|			< R3, ãäå R < R3 < R1, функция
f не имеет нулей.
Положим	m
	m
	Y	z		f(z)
	ω(z) := j=1 1 −	bk	, θ(z) :=	ω(z)	.
Функция ω аналитична в круге {z :			\|z\| < R3}, имеет на окружности

{z : |z| = R} нули в тех же точках, что и f, причем тех же кратностей.

Поэтому функция θ, доопределенная в точках z = bj (j = 1, . . . , m) своими предельными значениями, аналитична в круге {z : |z| < R3}.

17. ФОРМУЛА ИЕНСЕНА

Кроме того, θ не имеет нулей на окружности {z : |z| = R}. По второй части доказательства

	2π	R
1	Z0	ln \|θ(Reiϕ)\|dϕ = ln \|θ(0)\| + Z0	n (r)
			θ	dr .	(17.4)
2π			r

Поскольку nθ(r) = nf (r)

ïðè âñåõ r [0, R),

имеет место равенство

|θ(0)| = |f(0)|

−

k=1

ω(Reiϕ)

ei(ϕ−ϕk)

sin ϕ − ϕk

то (17.4) имеет вид:

2π

2π k=1

2π

ln f(Reiϕ) dϕ =

2π

2 sin

ϕ − ϕk

dϕ .

nf (r)dr+ln f(0) + 1

Покажем, что

2π

ϕ − ϕk

sin

dϕ = 0

(k = 1, . . . , m) .

Действительно,

2π

2π+ϕk

2π

ϕk

sin

− ϕk

dϕ =

sin

dϕ =

sin

dϕ =

= 2 Z0

ln (2 |sin α|) dα = 2π ln 2 + 2 Z0

ln |sin α| dα = 2π ln 2 + 2 Z0

ln sin αdα .

Далее,

ln sin αdα = Z

2 sin

cos

dα = π ln 2+Z

ln sin

dα+Z

ln cos

dα =

= π ln 2 + Z

ln sin

dα + Z

ln sin

−

dα .

ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Осуществив в первом интеграле замену переменных u =

, à âî âòî-

ðîì t =

, перепишем последнее выражение в виде

π ln 2 + 2 Z0

ln sin udu + 2 Zππ ln sin tdt = π ln 2 + 2 Z0π ln sin αdα .

Получили уравнение относительно Z0π ln sin αdα, откуда

Z0π ln sin αdα = −π ln 2 .

Тогда

2π

ϕ − ϕk

sin

dϕ = 0, (k = 1, . . . , m) .

Таким образом, формула (17.1) верна, и доказательство теоремы завершено. B

Другие доказательства формулы Иенсена можно найти, например, в [3], с. 24 25 или в [4], с. 134 137.

Следствие 1. Если функция f аналитична в круге {z : |z| < R1} è f(0) 6= 0, òî

		2π
ln \|f(0)\| 6	1	Z0	ln \|f(Reiϕ)\|dϕ, R (0, R1, )
	2π

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция f не имеет нулей в круге |z| < R.

Следствие 2. Если функция f аналитична в круге {z : |z| < R1} и в точке z = 0 имеет нуль кратности m, то при любом R (0, R1)

2π	Z0	ln \|f(Reiϕ)\|dϕ =	Z0	fr dr + ln \|	m!	\| + m ln R .
1	2π		R	n (r)	f(m)(0)

Заметим, что для доказательства следствия 2 достаточно применить

формулу Иенсена (17.1) к функции ψ(z) =					f(z)	ψ(0) =

					zm . Ïðè ýòîì
	f(z)		f(m)(0)
lim		=		.
	zm
z→0			m!

17. ФОРМУЛА ИЕНСЕНА

Следствие 3. Пусть функция f аналитична в круге {z :

|f(0)| = 1. Тогда ln Mf (er) > nf (r) ïðè âñåõ r 0,

C По формуле Иенсена при любом r

0, e

имеем

2π

)

J :=

ln |f(ereiϕ)|dϕ−ln |f(0)| = Z0

f (

dt > Zr

f (

dt >

2π

= nf (r)[ln(er) − ln r] = nf (r) .

|z| < R} è

Zer

nft(r)dt =

Поскольку

		2π
J =	1	Z0	ln \|f(ereiϕ)\|dϕ 6 ln Mf (er) ,	(17.5)
	2π

òî ln Mf (er) > nf (r), r 0, e . B

Выясним, когда неравенство (17.5) будет равенством. Очевидно, что это возможно тогда и только тогда, когда

er		er		er
ln Mf (er) = Z0	nf (t)	dt = Zr	nf (t)	dt = Zr	nf (r)	dt .	(17.6)
ln Mf (er) = Z0	t	dt = Zr	t	dt = Zr	t	dt .	(17.6)

Из определения функции nf (t) следует, что

Zer Zer

nf (t)dt = nf (r)dt nf (t) = nf (r), t (r, er) . t t

Иначе говоря, последнее из равенств (17.6) возможно тогда и только тогда, когда функция f не имеет нулей в кольце r < |z| < er. Далее,

Z0	nft(t)dt =		Zr	nft(t)dt Z0		nft(t)dt = 0 .
er			er			r

Очевидно, что последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда функция f не имеет нулей в круге |z| < r.

Наконец, ϕ [0, 2π]

ln |f(ereiϕ)| 6 ln Mf (er) ,

нули разве лишь на окружности

68	ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

причем, если хотя бы для одного значения ϕ0 [0, 2π]

η := ln |f(ereiϕ0 )| − ln Mf (er) < 0 ,

òî J < ln Mf (er) 1. Следовательно, равенство (17.5) имеет место тогда и только тогда, когда |f(ereiϕ)| = Mf (er), ϕ [0, 2π].

В результате получаем, что ln Mf (r) = nf (r) тогда и только тогда, когда функция f имеет в круге |z| < er

|z| = r è |f(ereiϕ)| = Mf (er) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π] .

Все эти условия выполнены, например, для функции

f(z) = en+iα Yn er(z − ak) ,

k=1 e2r2 − akz

ãäå α R, |ak| = r (k = 1, . . . , n). В самом деле, каждый множитель в этом произведении есть функция, отображающая круг {z : |z| 6 er}

на единичный круг. Поэтому значение его модуля всюду на окружности |z| = er равно единице. Таким образом, |f(ereiϕ)| ≡ en и все корни

функции f лежат на окружности |z| = r.

18. Оценки снизу модуля аналитической функции

Ранее приведены некоторые оценки снизу аналитической функции. Для того чтобы получить дальнейшие результаты в этом направлении, нам понадобится одно вспомогательное утверждение.

Лемма 18.1. Пусть функция f аналитична в круге {z : |z| < R} и всюду в этом круге Re f(z) 6 A ( A R). Тогда

Mf (r) 6

A − Re f(0) R2− r + |f(0)|, r (0, R) .

ln |f(ereiϕ)|dϕ,

1Докажите последний результат, оценив сверху величину J = 2π

2π

предварительно представив ее в виде

J = 2π

ϕ0−δ

ϕ0+δ

2π

ln |f(ereiϕ)|dϕ ,

ln |f(ereiϕ)|dϕ + 2π

ln |f(ereiϕ)|dϕ +

ϕ0−δ

ϕ0+δ

ãäå δ > 0 подобрано так, чтобы при всех ϕ (ϕ0 − δ, ϕ0 + δ)

ln |f(ereiϕ)|

< ln Mf (er) −

18. ОЦЕНКИ СНИЗУ МОДУЛЯ ФУНКЦИИ

C Так как функция f аналитична в круге {z : |z| < R}, òî â íåì

X∞

f(z) = fkzk, и по лемме 11.2

k=0

\|fk\| 6	2	−Rk		(k N) .
	A	Re f(0)

Поэтому при любом r (0, R)

∞	∞		r	k
X	X
Mf (r) 6 k=0	\|fk\|rk 6 \|f(0)\| + k=1	2 A − Re f(0)	R	=

=|f(0)| + A − Re f(0) R − r . B

Следствие. Если функция f аналитична в круге {z : |z| < R} и непрерывна в замкнутом круге {z : |z| 6 R}, то для всех r (0, R)

Mf (r) 6 \|f(0)\| + A − Re f(0)	r
	2	,
	R − r

ãäå A = sup{Re f(z) : |z| < R}.

Теорема 18.1. Если функция f аналитична в круге |z| < R, непрерывна в {z : |z| 6 R}, не имеет в открытом круге {z : |z| < R} корней и f(0) = 1, то в каждой точке z из круга {z : |z| 6 r < R}

2r
ln \|f(z)\| > −R − r ln Mf (R) .	(18.1)

C Рассмотрим функцию ϕ(z) = ln f(z). В силу наложенных ограни- чений на f функция ϕ является аналитической в круге |z| < R, ϕ(0) = 0 и по лемме 18.1 в каждой точке z из круга |z| 6 r < R

|ϕ(z)| 6 R − r Aϕ ,

ãäå

Aϕ := sup Re ln f(z) = sup ln |f(z)| = ln sup |f(z)| = ln sup |f(z)| = ln Mf (R) .

|z|<R |z|<R |z|<R |z|6R

Но для любого z из круга

|ϕ(z)| = | ln f(z)|

|z| 6

= ln

r < R

1 > ln | 1 | = − ln |f(z)| . f(z) f(z)

70 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Поэтому

ln |f(z)| > −R − r ln Mf (R) . B

При наличии корней у функции f в круге |z| < R оценка (18.1),

конечно, невозможна. Однако можно дать аналогичную оценку для модуля функции в области, которая получается после вырезания из круга

{z : |z| < R} некоторых малых кружков, содержащих нули функции f.

Для доказательства этого тонкого результата, играющего значительную роль в теории целых функций, сначала получим оценку снизу модуля многочлена.

Введем следующее

Определение 18.1. Весом P произвольного круга {z : |z − τ| 6 R}

по данному набору точек (ak)nk=1 и числу K назовем произведение K íà число точек ak, попавших в этот круг (с учетом их кратностей). Если вес

Pкруга равен его радиусу R, то круг назовем уравновешенным, à åñëè

P> K, òî тяжелым.

Заметим, что если дан тяжелый круг, то изменяя его центр и радиус, всегда можно получить уравновешенный круг с тем же весом.

Теорема 18.2 (А. Картан). Каковы бы ни были число H > 0 и ком- плексные числа a1, . . . , an, можно найти такую систему кругов с общей суммой радиусов 2H, что для всякой точки z, лежащей вне этих кругов, выполняется неравенство

\|z − a1\| · . . . · \|z − an\| >	e			.	(18.2)
		H		n
C Рассмотрим на комплексной плоскости			C совокупность всевоз-

можных кругов. Обозначим символом B1 множество уравновешенных по

числу K = Hn и набору точек (ak)nk=1 кругов. Множество радиусов кругов из B1, очевидно, является конечным и содержится в {Hn , 2Hn , . . . , nHn }.

Пусть λ1 максимальный из радиусов кругов множества B1. Заметим, ÷òî λ1 6 H. Фиксируем круг максимального радиуса Kλ1 = {z : |z−b1| 6 λ1} èç B1. Возможны два случая: λ1 < H è λ1 = H, которые требуют отдельного рассмотрения.

1. Пусть λ1 < H. Òàê êàê Kλ1				H
1. Пусть λ1 < H. Òàê êàê Kλ1	уравновешенный круг по числу n
n		n	системы	n
и точкам (ak)k=1, то в нем содержится λ1 · H < n точек			системы	(ak)k=1.
и точкам (ak)k=1, то в нем содержится λ1 · H < n точек			n	(ak)k=1.

Поэтому вне Kλ1 находится хотя бы одна точка из (ak)k=1. Обозначим

через B2 множество кругов, уравновешенных по числу H

n и системе точек (ak)nk=1, оставшихся вне Kλ1 , то есть по набору тех точек из (ak)nk=1, äëÿ

которых |ak −b1| > λ1. Пусть λ2 максимальный радиус из совокупности кругов B2 è Kλ2 = {z C : |z − b2| 6 λ2} êðóã èç B2. Заметим, что

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.10.2018119.3 Кб8«Психологическая поддержка педагогов ДОУ как у....doc
#
12.03.201613.18 Кб37А.Т.Твардовский «Лес осенью»..docx
#
13.02.2015111.1 Кб9А.Щюц. Текст.doc
#
05.05.20191.1 Mб17А4 Тени по одной проекции.doc
#
21.11.2019211.46 Кб32Абакумова Фалометова Метод. разработка по работ...doc
#
13.02.2015811.94 Кб155Абанин, Калиниченко. Целые функции.pdf
#
13.02.2015400.9 Кб155Абрамян_1.doc
#
16.09.201943.37 Кб2Автоматизация.docx
#
26.08.2019304.13 Кб3Адаптация учащихся общеобразовательной школы.doc
#
05.08.201989.01 Кб17Аддитивная модель ряда динамики представляет со....docx
#
18.11.2019123.99 Кб6Адидас.docx