Абанин, Калиниченко. Целые функции
.pdf9. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЗАДАННОГО РОСТА |
|
31 |
||||||||||||||||
чтобы |
|
|
|
|
|
n ln n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= ρ . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
→∞ n |
ln n + ln εn ln 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее, в частности, выполняется, если |
εn |
→ 0 ïðè n → ∞. |
|
|
||||||||||||||
ln n |
|
zn |
|
|||||||||||||||
Èòàê, åñëè εn → +0 è ln n |
→ 0 ïðè n → ∞, òî |
n=1 |
n1/ρ |
|
||||||||||||||
|
|
|
ln |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
εn |
|
||||
|
|
|
εn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
целая функция порядка ρ и минимального типа. Примером последова- тельностей {εn}∞n=0, удовлетворяющих указанным условиям, являются (при любом δ > 0)
εn = (ln n)−δ |
(n = 2, 3, . . .) |
||
è |
|
|
|
εn = (ln ln n)−δ |
(n = 3, 4, . . .) . |
||
∞ |
zn |
|
|
X |
|
|
|
В частности, f(z) = |
nn(ln n)δn |
|
(при любом δ > 0) является целой |
n=2 |
|
|
|
функцией порядка ρ = 1 и минимального типа.
3. Наконец, построим пример целой функции порядка ρ и максималь-
íîãî òèïà (σf = +∞).
В данном случае тейлоровские коэффициенты {fn}∞n=0 должны быть
такими, чтобы |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, так как |
|
→∞ |
| |
|
, |
|то необходимо требовать, чтобы |
||||||||
|
|
|
|
n1/ρ n |
|
|
|
|
|
= +∞ . |
|
|||
|
nlim |
|
|
|
fn |
|
(9.1) |
|||||||
|
ρf = ρ (0, +∞) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n ln n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
lim |
|
= ρ . |
(9.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
n→∞ ln |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|fn| |
|
|
|
|
|
Возьмем ηn > 0 (n = 1, 2, . . .),nηn → +∞ ïðè n → ∞ и положим |
|||||||||||||||
|
n ln n |
= ηn, òî åñòü |
|
fn |
|
= |
|
ηn |
(n = 1, 2, . . .). Тогда условие (9.1) |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ln |
|
|
|
| |
|
| |
|
n1/ρ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|fn| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
выполнено. Подберем теперь {ηn}n∞=0 еще так, чтобы |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
n ln n |
= ρ . |
|
|
|
(9.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ n hρ1 ln n − ln ηni |
|
|
|
ηn |
|
n |
|||||
В этом случае выполняется (9.2) и требование lim |
|
|
= 0, ðàâ- |
||||||||||||||
|
n1/ρ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
носильное тому, что искомая функция является |
целой. Например, усло- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
вию (9.3) удовлетворяет любая последовательность (ηn)∞n=1, для которой
lim ln ηn = 0.
n→∞ ln n
32ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
Âчастости, ηn = (ln n)δ удовлетворяет требуемым условиям при любом δ > 0 .
Таким образом, примером целой функции ρ и максимального типа может служить
∞ |
|
δ |
n/ρ |
|
X |
|
ln n |
|
zn (δ > 0) . |
f(z) = n=2 |
n |
Упражнение 8. Построить целую функцию порядка ρ è òèïà σ в следующих случаях:
1) ρ = |
1 |
, σ = 1; 2) ρ = 1, σ = +∞; |
3) ρ = |
1 |
, σ = 0 . |
|
|
|
|
||||
2 |
3 |
9.3. Классы целых функций В различных вопросах теории целых функций и ее приложений важную роль играют следующие классы
целых функций (предполагаем, что ρ (0, +∞), σ [0, +∞]):
1) [ρ, σ] класс всех целых функций, порядок которых либо меньше ρ, либо равен ρ, но тогда тип не превосходит σ, другими словами,
[ρ, σ] = {f H(C) : σf [ρ] 6 σ} ;
2) [ρ, σ) класс всех целых функций, порядок которых либо меньше ρ, либо равен ρ, но тогда тип меньше σ, òî åñòü
[ρ, σ) = {f H(C) : σf [ρ] < σ} ;
3) {ρ, σ} класс всех целых функций, порядка ρ è òèïà σ;
4)[ρ, 0) класс всех целых функций, порядок которых меньше ρ ;
5)[ρ, ∞) класс всех целых функций конечного типа при порядке ρ,
òî åñòü
[ρ, ∞) = {f H(C) : σf [ρ] < +∞} .
Очевидно, что [ρ, 0) [ρ, σ) [ρ, σ] [ρ, ∞) (как прежде ρ (0, +∞),
S
σ [0, +∞]). Кроме того, [ρ, σ] = [ρ, σ) {ρ, σ}.
Обозначения [ρ, σ] è [ρ, σ), по-видимому, были введены известным
российским математиком В.Л.Гончаровым.
Заметим, что функции из класса [1, ∞) называются обычно целыми
функциями экспоненциального типа (ÖÔÝÒ) .
В силу результатов § 8 классы [ρ, σ], [ρ, σ), [ρ, 0) è [ρ, ∞) векторные
пространства над полем комплексных чисел с естественными операциями (поточечного) сложения двух функций и умножения функции на комплексное число. Более того, они инвариантны относительно умножения на отличный от тождественного нуля многочлен.
10. РОСТ ПРОИЗВОДНОЙ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
33 |
|
10. Рост производной целой функции |
|
|
Теорема 10.1. Рост целой функции совпадает с ростом ее производ- |
||
íîé. |
∞ |
|
|
|
|
|
Xk |
|
C Пусть порядок целой функции f(z) = fkzk равен ρ. Подсчита- |
||
∞ |
=0 |
|
|
|
|
Xk |
kfkzk. Поскольку умножение целой |
|
ем порядок производной f0(z) = |
||
=1 |
|
|
функции на отличный от тождественного нуля многочлен не меняет ее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка и типа, то функция g(z) = zf0(z) = |
|
∞ |
kfkzk имеет те же поря- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
док и тип, что и функция f0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Заметим, что так как |
lim k |
f |
|
|
= |
|
0, òî |
|
lim |
|
|
|
|
= |
0, откуда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ p| |
|
|
k| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ ln |
|fk| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
= 0. Поэтому по формуле (7.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
k→∞ ln |fk| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ln k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ln k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ln k |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ρf0 |
= ρg = lim |
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
= ρ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ ln |
|
|
|
|
k→∞ ln k |
+ ln |
|
|
|
|
|
k→∞ ln |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k|fk| |
|fk| |
|fk| |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть теперь функция f имеет порядок ρ (0, +∞) è òèï σ. Ïî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
доказанному ρg = ρ, à òèï σg вычисляется по формуле (7.7) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1/ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√k |
|
|
|
|
|
|
= (σeρ)1/ρ . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k1/ρ k |
|
|
|
|
k| |
= |
|
|
k1/ρ k |
|
|
|
|
|
k |
= |
|
k1/ρ k |
|
|
|
|
k| |
|||||||||||||||||||||||
σ |
eρ |
|
|
|
lim |
k |
f |
lim |
|
|
f |
|
lim |
f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( g |
|
|
) |
= k→∞ |
|
p |
| |
|
|
|
k→∞ |
|
|
p| |
|
k |
| |
|
|
|
|
k→∞ |
p| |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Откуда σf0 = σg = σ. Теорема полностью доказана. |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Следствие. Если f H(C), то функция g(z) = |
Zz0z f(t)dt, ãäå z0 C |
и интегрирование ведется по любой спрямляемой кривой, соединяющей z0 с z C, имеет тот же рост, что и функция f.
34 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Глава 2. Факторизация целых функций
11. Представление целой функции по ее нулям
Xn
Если многочлен P (z) = akzk (an 6= 0) имеет нули (корни) в точках
k=0
z1, z2, . . . , zn0 кратности s1, s2, . . . , sn0 , соответственно, и P (0) 6= 0, òî
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
|
n0 |
|
|
z |
|
sk |
P z |
|
a |
(z |
|
z |
)sk |
= ( 1)na |
|
k=1 |
z sk |
k=1 |
1 |
|
|
|
= |
|||
|
− |
|
− zk |
|
|||||||||||||||
( |
) = |
|
n k=1n |
0 |
k |
|
z |
|
− |
n |
k |
|
|
|
|||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
sk |
|
Q |
|
Q |
|
|
|
||||
|
= P (0) k=1 1 − zk |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òî åñòü |
P (z) = P (0) k=1 1 − zzk |
sk . |
(11.1) |
|
|
||||
|
n0 |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
В связи с этим естественно возникают вопросы: 1) всякая ли целая трансцендентная функция имеет представление, в котором, как в (11.1), участвуют ее нули; 2) всякая ли последовательность комплексных чисел (ak)∞k=1 может быть последовательностью нулей некоторой целой функции? Эти вопросы изучаются в настоящем параграфе.
11.1. Представление функций, имеющих конечное число нулей. Нам потребуется следующая
Лемма 11.1. Если G область, f |
|
H(G) è |
f0(z) = 0, z |
|
G, òî |
f(z) ≡ const â G. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C Зафиксируем произвольную точку z0 в области G и разложим функцию f в ряд Тейлора в круге D0 = {z : |z − z0| < ρ(z0, ∂G)} :
f(z) = f(z0) + X∞ f(k)(z0)(z − z0)k . k!
k=1
Òàê êàê f0(z) ≡ 0 â G, òî f(k)(z) = 0 ïðè âñåõ z G è k N.
Отсюда следует, что f(z) = f(z0) ïðè âñåõ z D0, а тогда по теореме единственности аналитической функции
f(z) = f(z0), z G . B
Теорема 11.1. Для того чтобы целая функция f не имела нулей во
всей комплексной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление
f(z) = exp g(z), g H(C) . |
(11.2) |
11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПО НУЛЯМ |
35 |
|||
C Достаточность. Åñëè fw |
|
Re w |
|
g H(C) |
|
функция вида (11.2), где |
, |
||
w f H(C). Далее, так как |e | = e |
|
> 0 при любом w C, òî |
||
òî |
|
|
|
|
e 6= 0, w C. Следовательно, f(z) 6= 0, z C.
Необходимость. Пусть f H(C) è f(z) 6= 0, z C. Положим
h(z) = f0(z). ßñíî, ÷òî h H(C). По следствию из теоремы о диффе- f(z)
ренцировании интеграла с переменным верхним пределом (для аналити-
Zz
ческой функции) функция g1(z) := h(t)dt целая. Так как f(0) 6= 0, òî
0
можно выбрать круг Kε = {ω C : |ω − f(0)| < ε} настолько малого
Kε не пересекается либо с отрицательной, либо с положительной вещественной полуосью (в зависимости от положения точ-
êè f(0), точнее от того, будет ли Re f(0) > 0 èëè Re f(0) < 0). Пусть |
||||
|
ln ω = ln |ω| + i arg ω, ãäå |
T |
arg ω |
|
для определенности Re f(0) > 0. Тогда ε > 0 : Kε (−∞, 0] = . Ðàñ- |
||||
смотрим функцию |
|
значение |
|
берется из |
промежутка (−π, π]. Åñëè D плоскость с разрезом по отрицательной
действительной полуоси, то, как известно, ln ω H(D); (ln ω)0 = ω1 è exp(ln ω) = ω ïðè âñåõ ω D. Выберем δ > 0 настолько малым, что из
|z| < δ следовало бы, что |f(z) −f(0)| < ε (это следует из непрерывности
f в точке z = 0). Пусть Mδ = {z : |z| < δ}. По теореме о суперпозиции
аналитических функций ln f(z) H(Mδ), è ïðè ýòîì (ln f(z))0 = f0(z) f(z)
äëÿ âñåõ z Mδ. Следовательно, (ln f(z))0 − g10 (z) = 0, |
z Mδ. Откуда |
имеем при любом z Mδ |
|
ln f(z) = g1(z) + ln f(0) |
|
è |
|
f(z) = f(0) exp g1(z). |
(11.3) |
Так как обе части (11.3) целые функции, то по теореме единственности равенство (11.3) справедливо всюду в C. Окончательно, f(z) = exp g(z),
ãäå g(z) = g1(z) + ln f(0). B
Замечание. Необходимую часть теоремы можно доказать иначе, подобрав по функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y) такую функцию g(z) =
U(x, y) + iV (x, y), что равенство (11.2) выполняется всюду на комплекс-
ной плоскости C. Подбор можно осуществить, используя следующие оче- видные равенства:
f(z) = eg(z) |f(z)| = eU(x,y) è arg f(z) = V (x, y)
36 |
ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ |
|
ln |
u2(x, y) + v2(x, y) = 2U(x, y) è arctg u(x, y) = V (x, y) |
|
|
|
v(x, y) |
(в этих соотношениях значения arg ω и arctg a берутся из промежутка (−π, π]). Учитывая, что f H(C), можно показать, что функции U(x, y) и V (x, y) дифференцируемы в любой точке (x, y) R2 (как функции двух
переменных). Затем следует убедиться, проведя непосредственную проверку, что они удовлетворяют уравнениям Коши Римана всюду в R2, òî
есть функция g(z) = U(x, y) + iV (x, y) дифференцируема (как функция комплексного переменного) на C и, значит, является целой.
Следствие 1. Если целая функция f не принимает некоторого зна- чения A C ни в одной точке комплексной плоскости, то
f(z) = A + eg(z) ,
где g целая функция. |
|
|
|
Следствие 2. Если целая функция f имеет конечное число нулей |
|
a1, a2, . . . , an0 , кратности которых равны, соответственно, |
p1, p2, . . . , pn0 , |
|
òî |
n0 |
|
|
|
|
|
kY |
|
|
f(z) = (z − ak)pk · exp g(z) , |
(11.4) |
|
=1 |
|
где g целая функция.
Yn0
C Рассмотрим функцию ϕ(z) = f(z)/ (z − ak)pk . Используя пред-
k=1
ставление аналитической функции f в окрестности ее нуля, находим, что точки z = ak, k = 1, . . . , n0, являются устранимыми особыми для функции ϕ. При доопределении ϕ в точках z = ak ее предельными зна- чениями, получим, что ϕ целая функция, не имеющая в комплексной плоскости нулей. Применяя к функции ϕ теорему 11.1, заключаем, что ϕ(z) = exp g(z) всюду в C, где g H(C). Отсюда получаем требуемое представление (11.4). B
Эти результаты можно уточнить, воспользовавшись понятием порядка целой функции. Предварительно докажем две леммы.
Лемма 11.2. Если функция f аналитична в круге KR = {z C : |z| < R}, R (0, +∞), è Re f(z) 6 A â KR, то ее тейлоровские коэффи- циенты удовлетворяют неравенствам:
f |
n| 6 |
2(A − α) |
, n |
N |
, |
|
Rn |
||||||
| |
|
|
||||
ãäå α = Re f(0). |
|
|
|
|
|
11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПО НУЛЯМ |
37 |
|
∞ |
∞ |
∞ |
X |
X |
X |
C Пусть Φ(z) := A−f(z) = A− |
fnzn = A−f0 − fnzn = |
bnzn, |
n=0 |
n=1 |
n=0 |
ãäå b0 = A − f0, bn = −fn, n N. Из интегрального представления тейлоровских коэффициентов имеем при любом r (0, R)
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
1 |
Z |
Φ(z) |
1 |
Z |
|
P (r, ϕ) + iQ(r, ϕ) e−inϕdϕ. |
|
|
bn = |
|
|
dz = |
|
(11.5) |
||||
2πi |
zn+1 |
2πrn |
|||||||
|
|
|z|=r |
|
|
|
0 |
|
|
Здесь z = reiϕ, Φ(reiϕ) = P (r, ϕ) + iQ(r, ϕ), n N {0}. Поскольку
функция zn−1Φ(z) аналитична в круге KR для любого n N, то по интегральной теореме Коши
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn |
|
|
||
0 = |
|
Z |
zn−1Φ(z)dz = |
|
Z |
P (r, ϕ) + iQ(r, ϕ) einϕdϕ . |
||||||||
2πi |
2π |
|||||||||||||
|
|
|z|=r |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Поэтому для любого n N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
2π |
P (r, ϕ) + iQ(r, ϕ) einϕdϕ , |
|||||||||
òî åñòü |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 = |
1 |
Z |
|
P (r, ϕ) − iQ(r, ϕ) e−inϕ . |
|||||||
|
|
|
2π |
|
||||||||||
Отсюда и из (11.5) имеем при всех n N è r (0, R) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||
|
|
|
|
rnbn = |
1 |
Z0 P (r, ϕ)e−inϕdϕ . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
π |
Так как по условию P (r, ϕ) = A − Re f(reiϕ) > 0 ïðè âñåõ z = reiϕ KR, то для любых r (0, R) и n N
|
|
2π |
|
2π |
|
|
rn|bn| 6 |
1 |
Z0 |
|P (r, ϕ)|dϕ = |
1 |
Z0 |
P (r, ϕ)dϕ . |
|
|
|||||
π |
π |
|||||
С другой стороны, согласно (11.5) |
|
|
|
|||
b0 = 2π |
Z P (r, ϕ) + iQ(r, ϕ) dϕ . |
|||||
|
|
1 |
2π |
|
|
|
0
38 |
ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
2 Re b0 = |
1 |
Z0 |
P (r, ϕ)dϕ |
|
|
|||
|
π |
и, следовательно,
rn|bn| 6 2 Re b0 = 2 Re(A − f0)
ïðè âñåõ r (0, R) è n N. Наконец, поскольку bn = −fn при любом n N, òî
f |
n| 6 |
2 Re(A − f0) |
= |
2(A − Re f(0)) |
, |
n |
. |
||
| |
rn |
|
|
|
rn |
|
N |
|
Переходя в последнем неравенстве к пределу при r → R, получим требуемое. B
Лемма 11.3. Если для целой функции f при некотором µ > 0 на
системе окружностей |z| = Rk, |
Rk ↑ +∞, выполнено условие |
||
Re f(Rke |
iϕ |
µ |
ïðè âñåõ k > k0 è ϕ [0, 2π] , |
|
) 6 Rk |
то f многочлен, степень которого не выше [µ].
C Òàê êàê Re f(reiϕ) функция, гармоническая в комплексной области C, то по принципу максимума гармонической функции
Re f(reiϕ) 6 Rkµ |
ïðè âñåõ r (0, Rk] è ϕ [0, 2π] . |
|||||||
Поэтому согласно лемме 11.2 |
|
n N |
|
k > k0 . |
||||
|fn| 6 |
Rkn |
|
|
|||||
|
2 Rkµ |
− Re f(0) |
|
ïðè âñåõ |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, зафиксировав любое n > [µ] и увеличивая неограниченно k, получим требуемое. B
Следствие. Если для целой функции f при некоторых µ > 0, r0 > 0 и M > 0 выполняется условие
Re f(reiϕ) 6 Mrµ, r > r0, ϕ [0, 2π] ,
то f многочлен, степень которого не превосходит [µ].
Теорема 11.2. Если целая функция f порядка ρ (0, +∞) не имеет нулей, то ρ целое число и f(z) = eP (z), ãäå P многочлен степени ρ.
11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПО НУЛЯМ |
39 |
C Так как целая функция f не имеет нулей, то по теореме 11.1
f(z) = exp g(z), g H(C) .
Íî f имеет порядок ρ. Поэтому ε > 0 r0(ε) : r > r0(ε), ϕ [0, 2π]
| exp g(reiϕ)| 6 exp rρ+ε ,
òî åñòü Re g(reiϕ) 6 rρ+ε, r > r0, ϕ [0, 2π]. По следствию из леммы 11.3 g(z) многочлен степени q 6 ρ + ε, ε > 0. Следовательно,
q 6 ρ. Допустим,что q < ρ. Тогда функция f(z) = exp g(z) имела бы (см. пример 5 б)) порядок ρ = q, что противоречит исходному предложению. Итак, q = ρ. Поскольку q натуральное число, то ρ = [ρ]. B
Следствие. Если целая функция f порядка ρ (o, +∞) имеет конеч-
ное число нулей a1, a2, . . . , an0 кратностей p1, p2, . . . , pn0 соответственно, то ρ целое число и f имеет представление
Yn0
f(z) = (z − ak)pk · eg(z) ,
k=1
где g многочлен степени ρ.
Докажите этот результат самостоятельно.
11.2. Представление функций, имеющих бесконечное число нулей. Рассмотрим теперь случай, когда целая функция f отлична от
тождественного нуля и имеет бесконечное множество корней.
Согласно теореме единственности аналитической функции множество корней такой целой функции не может иметь конечных предельных то-
чек. Поэтому оно является дискретным в C и описывается такой после-
довательностью (bn)∞n=1, ÷òî |bn| ↑ +∞, òî åñòü (|bn|)∞n=1 неубывающая бесконечно большая последовательность.
Прежде всего выясним, существует ли целая функция f, последо-
вательность нулей которой совпадает с заданной последовательностью (an)∞n=1 отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности. Утвердительный ответ на этот вопрос дает теорема Вейерштрасса о построении целой функции с заданными нулями.
Сформулируем предварительно необходимые для дальнейшего сведения о сходимости функциональных бесконечных произведений (см., например, [2] с. 19-24).
Рассмотрим бесконечное произведение
Y∞
(1 + un(z)) , |
(11.6) |
n=1
40 |
ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ |
где функции un(z), n N, определены в области D, причем un(z) 6= −1 â D при каждом n N.
Произведение (11.6) называется сходящимся в области D, если в каждой точке z D сходится соответствующее числовое произведение. В
частности, используя известные результаты для бесконечных числовых произведений, получаем, что если
X∞
|un(z)| < ∞, z D ,
n=1
то произведение (11.6) сходится в области D.
Бесконечное произведение (11.6) называется равномерно сходящимся в области D (внутри области D), если последовательность частичных
произведений
Yn
pn(z) = (1 + um(z)), n N ,
m=1
равномерно сходится в области D (внутри области D).
Предложение 1 (достаточный признак сходимости в области). Если в области D
X∞
|un(z)| 6 an, n N è an < ∞ ,
n=1
то в области D произведение (11.6) сходится равномерно.
Предложение 2 (достаточный признак равномерной сходимости внутри области). Пусть D односвязная область, un(z), n
N аналитические функции в D. Если ряд
∞ |
|
X |
|
ln 1 + un(z) |
|
n=1 |
|
(при определенном выборе ветвей логарифма) равномерно сходится внутри области D, то произведение (11.6) равномерно сходится внутри
D.
Теорема 11.3 (Вейерштрасс). Какова бы ни была последователь- ность (an)∞n=1 комплексных чисел с единственной предельной точкой на
бесконечности, всегда существует целая функция f, нули которой совпа-
дают с элементами этой последовательности и только с ними. При этом кратность нуля функции f в точке z = ak такова, сколько членов, равных ak, имеет данная последовательность.