12. Определение вероятности. Вероятностная модель и вероятностное пространство. Вероятность случайного события и методы ее статистического оценивания по выборке.

Определение вероятности. Вероятность – это численная мера предопределенности наступления события. Обычно она представлена в виде значения от 0 до 1, где 0 – означает, что событие невозможно, а 1 – означает, что событие обязательно произойдет. Для любого события A вероятность A обозначается как P(A).

Вероятностная модель и вероятностное пространство. Вероятностная модель – это абстрактное математическое представление случайного явления, в то время как вероятностное пространство – математическая конструкция, которая определяет вероятности в рамках этой модели и обозначается в виде тройки (Ω, F, P), где Ω – пространство выборки, F – набор событий (также называемый -алгеброй), а P – функция вероятности.

Пространство выборки – это множество всех возможных исходов случайного эксперимента. Например, если мы бросаем монету, то пространство выборки будет {"Орел", "Решка"}.

Событие – это подмножество пространства выборки. Оно представляет собой конкретный результат или набор результатов, событие A = {"Орел"}.

Пространство выборки и набор событий вместе образуют измеримое пространство, которое обеспечивает основу для определения вероятностей.

Функция вероятности присваивает значение вероятности каждому событию из набора событий в пространстве выборки. Она удовлетворяет следующим свойствам:

• Неотрицательность: P(A) ≥ 0 для любого события A.

• Аддитивность: если A и B – взаимоисключающие события (т.е. они не могут произойти одновременно), то P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Вероятность случайного события и методы ее статистического оценивания по выборке. Вероятность случайного события A – это вероятность того, что A произойдет. Она обозначается как P(A) и вычисляется с помощью функции вероятности, определенной на вероятностном пространстве. Вероятность события A может быть определена путем суммирования вероятностей всех исходов в A.

В статистике часто работают с выборками, чтобы сделать выводы о популяциях. Оценка вероятности события на основе выборки является важной задачей. Существует несколько методов статистического оценивания по выборке:

• Классический метод. В этом методе вероятности оцениваются на основе теоретических моделей или предположений о базовой совокупности. Метод применим, когда события предположительно равновероятны:

где – число положительных исходов, – число всех возможных исходов. Примером использования классического метода может быть расчет вероятности выпадения 1 из 6 значений на игральной кости.

• Эмпирический метод. Этот метод предполагает расчет относительной частоты события, происходящего в выборке. Формула эквивалентна предыдущей, но в отличие от нее в знаменателе стоит число , отражающее общее число попыток, а в числителе – число раз, когда желаемое событие произошло. Иногда можно увидеть формулу, записанную через предел:

В ряде случае полезно будет оценить вероятностный интервал, основываясь на выборочной вероятности возникновения события.

где – оцененная по выборке вероятность события, – табличное критическое значение для нормального распределения с размером выборки , соответствующая требуемому уровню достоверности.