Зоннаятеориякристаллов

Теория свободных электронов не объясняет деления твердых тел не металлы,полупроводники и диэлектрики, у которых при одинаковых по порядку величинымежатомных расстояниях и энергиях взаимодействия электропроводность отличает-сяна25порядков:от10⁴Ом^-1м^-1для металловдо10^-21Ом^-1м^-1удиэлектриков.

Поэтому следующей задачей будет являться учет движения электрона в по-тенциальномполе кристаллическойрешетки.

При исследовании особенностей движения электронов в кристаллах будем ос-новыватьсяна рядеупрощающихпредположений:

1. ионы, ввиду их большой массы, рассматриваются как неподвижные источ-никиполя, действующегона электроны;

2. расположение ионов в пространстве считается точно периодическим: ониразмещаютсявузлахидеальнойрешеткиданногокристалла.Задавтринезависимых

вектораa^{,a,a,}можнопредставитькристаллическуюрешеткукакпоследователь-

1 2 3

ное повторение построенного на них параллелепипеда, называемогоэлементарнойячейкойданногокристалла;

3. система электронов, взаимодействующих с атомными ядрами и друг с дру-гом по закону Кулона, заменяется системойN независимыхэлектронов, движущихсяв потенциальном поле, которое складывается из поля атомных ядер и эффективногополя,приближенноописывающего взаимодействие междуэлектронами.

Рассмотримслучай примененияквантового подхода к изучению состоянияэлектронов в кристалле вприближении слабой связи. В модели слабой связи элек-троны рассматриваются как почти свободные – слабое взаимодействие с периодиче-ским потенциалом кристалла слабо искажает их энергетический спектр. СтруктураэнергетическогоспектраследуетизрешениястационарногоуравненияШредингера

дляквази-свободныхэлектронов,движущихсявсиловомполекристаллическойре-

шеткиU(r^)e(r^)),где(r^)–потенциальнаяфункцияэлектронавкристалле:

⁽̅⁾⁽̅⁾⁽̅⁾⁽̅^),где

–массаэлектрона.

Определив из уравнения волновую функцию⁽̅⁾, можно найти по известнымправилам квантовой механики средние значения всех величин, характеризующихповедениеэлектронавкристалле.Потенциальнаяфункцияполя,вкоторомнаходит-

сяэлектрон,обладаетсвойствомпериодичностиприсдвигеаргумента^rнавектор

n

решетки⃗⃗⃗⃗_⃗⃗⃗⃗_⃗⃗⃗⃗⃗_⃗⃗⃗⃗⃗_⃗:U(r^)U(r^a^).Еслисоответствующемусоб-



ственному значению энергииEпринадлежит только одна собственная функция (т. е.энергетическийуровеньневырожден),тофункции⁽⃗⁾и⁽⃗⃗⃗⃗⃗_⃗⁾могутотли-чатьсятолькопостоянныммножителем:^{rancnr}.

Можнопоказать,что

^⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_⃗⃗

, гдеk

–произвольныйвещественныйвек-

тор (^{⃗⃗⃗⃗⃗}⃗⃗⃗⃗_⃗–скалярноепроизведениевекторов).Витогеволноваяфункцияэлек-тронавполекристаллическойрешеткиимеетследующийвид:⁽⃗^{)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}_⃗⃗⁽⃗⁾–

функцияБлоха,где_⃗⃗⁽⃗⁾_⃗⃗⁽⃗⃗⃗⃗⃗_⃗^)–некотораяпериодическаяфункция.

Дляпростоты,рассмотримодномерныйслучайпотенциальнойфункцияполя:

k

U(x)U(xna).РешениестационарногоуравненияШредингерадляэтогослучаядаетволновуюфункциюследующеговида:(x)e^ikxu(x).Вприближениисвобод-

ныхэлектроновихэнергияимеетвид:^E

электрона.

_p2

2m^*

_^2k2x

2m^*

,где

m^*–эффективнаямасса

Расчетпоказывает,чтодляэлектронов,движущихсявпериодическомполе

кристалла,функцияэнергиипретерпеваетразрывывточках^k_x





^{n (n1,2,...).}

a

ГрафикE(k) изображает зависимость энергии электронов от волнового числа, при ихдвижении вдоль линейной цепочки из одинаковых ионов. На графике сплошные ли-нии соответствуют разрешенным значениям энергии электрона, которые изменяют-сяквази-непрерывно,образуясвоейсовокупностьюзонуразрешенныхэнергий.

На графикеE(k) в промежутке междуRиAнет ни одного собственного зна-чения энергии электрона, т.е. область междуRиAпредставляет собойзапрещѐннуюдляэлектроновзонуэнергииширинойE.

Перваяразрешеннаяэнергетическаязонасоответствуетинтервалузначений

• ^{kи}называетсяперваязонаБриллюэна.ВтораязонаБриллюэназадается

a x a

интервалами:(^{2k),}(^{k2).}Всвязиспериодичностьюфункции

a x a a x a

E(k)(точкиRиBописывают одинаковые электронные состояния), нет необходимо-сти изображать все зоны Бриллюэна. Разрывы в спектре энергии происходят на гра-ницах зон. Таким образом, зоны Бриллюэна имеют ширину 2π/a, зависящую толькоотпостояннойрешетки,ашагквантованиязависиттолькоотразмеровкристалла.

В случае одномерного элемента кристалла с линейным размеромL=Naиме-етсяровноNразрешенныхзначенийk_x.Таккаксуществуетещеспиновоеквантовое

число

m_S1/2,товкаждойзоне,сучетомпринципаПаули,можетнаходиться

2Nэлектронов.

Эффективнаямасса электронаm^*– знакопеременная величина, что связано скривизной линии графикаE(k): ее величина положительна в нижней части зонывблизи дна (точкаА), и отрицательна в верхней, вблизи потолка зоны (точкаВ). От-сюда следует, что электроны, находящиеся у потолка зоны, ускоряются внешнимполем в направлении, противоположенном приложенной силе. Для устранения этогопротиворечиятакому"электрону"приписалиположительныйзаряд.Этоособоеэлектронное состояние вблизи потолка зоны называют "дыркой". Еѐ эффективнаямасса отличается от эффективной массы электрона в зоне проводимости. Концепцияэффективной массы позволяет использовать классические выражения для ускоре-ния,энергии иимпульса приописаниидвиженияэлектроноввкристалле.