^{Министерство образования Республики Беларусь}БЕЛОРУССКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИИРАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедрафизики

ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№3к.5

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫНАПРОВОДИМОСТЬ

МЕТАЛЛОВИПОЛУПРОВОДНИКОВ.

МЕТОДИЧЕСКИЕУКАЗАНИЯ

Минск2021

ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№3к.5

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПРОВОДИМОСТЬМЕТАЛЛОВИПОЛУПРОВОДНИКОВ.

Цельработы:

1. Изучитьквантовуютеориюэлектропроводноститвердыхтел.

2. Исследоватьтемпературнуюзависимостьэлектропроводностиметаллаиполу-проводника.

3. Рассчитатьэнергиюактивацииполупроводника.

Квантоваятеориясвободных электроноввкристалле

Волновыефункциисвободныхэлектроновдлястационарныхсостоянийиме-

ютвидпространственнойчастиплоскойволны⁽⃗^{)⃗⃗⃗⃗⃗} самплитудойAи

k

k

волновымвектором^.Тогдавекторнаявеличина^{pназыва}етсяимпульсом

электрона,аегоэнергияравна:E

p _²

(k^2k^2k^2).

2

2m 2m x y z

Вприближениисвободныхэлектроновролькристаллическойрешеткибез

ионовсводитсякудержаниюэлектроноввнутрикристалла,которыйможнопредста-

1

2

3

^{витьввидекубасребромL}a^a^ a^{.РешаястационарноеуравнениеШре-}дингера

_2_

_x2

_2_

^y2

_2_

_z2

• ^2mE

_2

^0,

приусловиипериодичностиволновойфункции,получаем,чтокакмодульволно-

_2

воговекторапринимаетдискретныезначения

^k2n2 ,гдеn=1,2,3,…,такиве-

_L2

личинаэнергииэлектронапринимаетдискретныйрядзначений:



2

E_2m

k^2

_2



2

^2m(L2

)n^2,

гдеk^2k^2k^2k^2,kn

–проекциявек-

L

x y z x 1



тораkна осьOX, аналогичноидлядругихпро-

екций;

^{n2n2n2n2,}n,n,n

–целыечисла,

1 2 3 1 2 3

принимающие независимо друг от друга значе-ния 0,±1, ±2,…. График зависимости разрешен-ных значений энергии от волнового числаE(k)длясвободныхэлектроновимеетвидмноже-

ства дискретных точек, лежащих на параболе. Схематически графику можно поста-вить в соответствие систему энергетических уровней, которые изменяются квази-непрерывно,образуясвоейсовокупностьюзонуразрешенныхэнергий(разностьэнергийсоседних уровней составляет10^-22эВ). Отличительной особенностью элек-тронов является их распределение по состояниям в соответствии спринципом Па-ули: в квантовой системе не может быть более одной частицы в каждом квантовомсостоянии,котороехарактеризуетсяоднойсовокупностьюквантовых чисел.

Волноваяфункцияэлектронаи,соответственно,егосостояниеопределяется

значениямитройкичисел

n_1,n_2,n_3,атакжеспиновымквантовымчислом,которое

можетприниматьодноиздвухзначенийm_s=^1/2.

Одномуитомужезначениюсуммы

n^2n2n2n2соответствуетнесколько

1 2 3

возможныхкомбинацийчисел

n_1,n_2,n_3.Следовательно,определенномузначению

энергии электрона соответствует, несколько возможных состояний. Иначе говоря,уровниэнергиисвободногоэлектронаявляютсявырожденными. Например, еслиn_1n_2n_30,электронможетнаходитьсяводномиздвухвозможныхсостояний,

соответствующихдвумзначениям

m_S1/2.Втакомслучаепринятоговорить,что

кратностьвырожденияэнергетическогоуровняравнадвум.Еслижекаждоеизчи-

селнезависимопринимаетзначения

n_1,n_2,n_30,1,точисловозможныхкомбина-

цийэтихчиселпо3будетравно6.Далее,число6надотакжеумножитьна2спино-

выхсостояния,тогдауровнюсn1будетсоответствоватьуже12различныхсосто-

яний. Для взаимодействующих электронов вырождение по энергии снимается, и мыувидим большее число уровней, в этом случае говорят о расщеплении энергетиче-ских уровней вовнешнем поле.

Функциираспределенияэлектронов

Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль.Так, например, если известна функция плотности состояний(),то можно найтисреднее значение любой физической величины(), на указанном интервале энер-гий.Плотностью состоянийназывается количество разрешенных состояний в еди-нице объемакристалла,приходящихся на единичный энергетический интервал.Пусть_–числоэлектронныхсостоянийвинтервалеэнергийотЕдоЕ+dE,то

функциейплотностисостоянийназываетсяследующаявеличина()^,опре-

деляющаячислосостояний,приходящеесянаединичныйинтервалэнергии.Можно

^{показать,чтодляединичногообъема()√.Нижеприведенграфикфункции}

()при^T0К. Площадьподграфикомфунк-

ции плотности состояний численно равна количе-ству состояний электронов.Нагревание кристал-лическойрешеткисопровождаетсяпереходомэлектроновсуровней,примыкающихкуровнюE_F(0), на вышележащие уровни. В результате это-го,вформеграфикавертикальнаялинияза-менится пунктирной, при этом, площадь под кри-войнеизменится.Область«размытия»врайоне

величиныE_F(0)занимает узкийэнергетическийпромежутокшириной порядка^kT(k– постоянная Больцмана). С помощью функции плотности состояний можно опре-делитьмаксимальнуюэнергиюэлектроноввкристаллеприT=0К:

2

E(0)^

2

^(32n)3,гдеⁿ

_^Ne

–концентрацияэлектронов.Длямеди–E_F(0)=7

F 2m 0 0 L³

эВ,адлязолота и серебра–E_F(0)=5эВ.

В случае многоэлектронной системы можно ввести понятиераспределенияэлектронов по одночастичным состояниям. Это распределение производится в соот-ветствии с квантовой статистикой Ферми – Дирака, в основе которой лежатпринциптождественности(неразличимости) одинаковых частиц (например, электронов) ипринцип Паули. Необходимо учесть, что количество электронов на каждом из энер-гетических уровней разрешенных зон не может быть больше кратности вырожденияуровня.Вчастности,привырожденииуровнейтолькопоспиновомуквантовому

числу

m_S1/ 2, количество электронов на каждом уровне не превышает двух.Законраспределенияэлектронов,находящихсявнекоторомобъеме^V

при

температуре^Tпоодночастичнымсостояниям(законраспределенияФерми–Ди-

рака)имеетследующийвид:

.Здесь

–числоэлектронов,–

(⁾

числоэлектронныхсостоянийсэнергиейвинтервалеот^E

_доE+

dE_,k

• постоян-

наяБольцмана,^EF

• параметрраспределения,имеющийразмерностьэнергии.Этот

параметрназываетсяэнергиейФерми(илиуровнемФерми)иопределяетсяизусло-

виянормировки.Функция()

(⁾

,входящаявзаконназывается,функ-

цией распределенияФерми – Дирака, которая показывает, какую часть от общегочисла свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е.Дру-гими словами, данная функция определяетвероятностьтого, что электрон нахо-дитсяна выделенном энергетическом уровне.

Уровень Ферми– энергетический уровень, вероятность заполнения которогоравна0,5притемпературах,отличныхоттемпературыабсолютногонуля.Впре-

дельномслучае,приT=0K,уровеньсчисленнымзначениемэнергии

E_F(0),будет

последним («верхним») заполненным электронами, а все остальные электроны бу-дутнаходиться нанизших энергетическихуровнях.

Для большого числа частиц занятые состояния займут места внутри некоторойсферы (ферми-сферы) вk-пространстве. Поверхность этой сферы называетсяпо-верхностью Ферми. Радиус этой сферы (называемыйрадиусом Ферми) определяетсячисломчастиц,соответственно, энергия частиц с фермиевскимимпульсом_естьэнергияФерми.СкоростьэлектроновнауровнеФерминазываютскоростью

Ферми

^√.

Максимальная энергия электронов в кристалле при T = 0К равна:

E_F(0)

2 2

0



^(32n)3,где

2m

^nN–концентрацияэлектронов.

0 _L3

Длямеди–E_F(0) =7эВ,адлязолотаи серебра –E_F(0) =5эВ.

При

T0

распределениеэлектроновпосостояниямпрактическинеизменя-

ется, т.к. лишь незначительная часть электронов, заполняющая энергетические со-стояния в узкой энергетической полосе ширинойkТ(k– постоянная Больцмана)вблизи уровня Ферми, может увеличить свою кинетическую энергию. Основное ко-личествоэлектроновостается впрежнемэнергетическом состоянии.

Графикфункциираспределенияэлектроновf(E)дляT0Kизображеннарисункесплошнойлинией.

При

T0K

верхний из заполненных

уровней будет расположен выше уровняФерми:графикфункциивэтомслучаяизображен пунктирной линией. Посколь-куэнергияФермиимеетзначениепри-мерноравное5эВ,чтозначительнобольше средней энергии теплового дви-женияприобычныхтемпературах(

kT0,03эВ),пунктирный«хвост»гра-

фиказанимаетузкийэнергетическийпромежутокширинойпорядкаkT.По-

этому лишь очень небольшая часть электронов, с величиной энергии в «хвосте»графика, может переходить на другие уровни, то есть воспринимать тепловую энер-гию.