Описаниеэкспериментальнойустановки

Прямоеизучениеэлектростатическихполейсопряженосрядомтехниче-скихтрудностей.Поэтомуширокоиспользуетсяметодмоделирования:иссле-

^{дуемоеэлектростатическоеполеEErзаменяетсянаэквивалентноеемуполе}

стационарныхтоков вслабопроводящейсреде(j–плотностьтока).

Приэтомрасположениеиформаэлектродов–источниковполя –пол-

ностьюсовпадаютсрасположениемиформойисточниковмоделируемогополя

^{EEr–электрическихзарядов,авкаждойточкеполяErjr.Более}

подробнометодмоделированияэлектростатическихполейрассмотренвметоди-ческихуказанияхклабораторнымработам2э.1,2э.3и2э.4.

Изучать свойства электростатического поля удобно на примере плоскогополя, в каждой точке которого векторы напряженностиEявляются компла-нарными, т. е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В этомслучае напряженность зависит только от двух координат и при ее определениитребуются измерения только в одной из плоскостей. В данной лабораторнойработе для проверки теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции вектора напря-женностиEэлектростатического поля в интегральной форме выбранополеплоскогоцилиндрическогоконденсатора.

Лабораторная установка(рис. 5)состоит из: планшета (1) с установлен-ным на нем макетом плоского электростатического поля; источника постоянно-го тока (2); двойного зонда (3), соединенного с цифровым вольтметром (4). Ма-кет представляет собой горизонтальный лист электропроводной бумаги (5), накотором закреплены подсоединенные к источнику постоянного тока плоскиеметаллические электроды (6). Электропроводная бумага накрыта пластиной изорганическогостекласотверстиямидлящуповдвойногозонда.Плоскостью

^{моделируемогоплоскогополянапряженности EErявляетсяплоскость}

электропроводнойбумаги,аегоисточниками(электрическимизарядами)–электроды(6).

С помощью двойного зонда в любой точке плоского поля можно опреде-литьпроекциюнапряженностиEнанаправление(например,наосьOx)вдольточекконтактащуповзондасэлектропроводнойбумагой(рис.6).Действительно,изсвязинапряженностиэлектростатическогополяипотенциа-

ла(4)следует,чтопроекция

E_{xвектора}EнаосьOxравна



E_xx.

Еслирасстояниеdмеждущупамидвойного зондадостаточномалое(d=Δx),то

E21U, x x x d d

(16)

гдеU₁₂

• разность потенциалов(напряжение),измеряемаявольтметром,

ккоторомуподключендвойнойзонд.

Для проверки теоремы Гаусса (11)для поля вектора напряженностиEэлек-трического поля в вакууме в интеграль-ной форме необходимо выбратьзамкну-туюповерхностьконечныхразмеров–гауссову поверхность. В качестве таковойвданномслучаепредлагаетсявыбратьповерхность (S) прямоугольного паралле-лепипедавысотойh,расположенногосимметричноотносительноплоскости

плоского поля вектора (рис. 7,а). Поверхность (S_охв) – часть плоскости плоско-гополяE,охватываемая гауссовой поверхностью(S).

Посколькузамкнутуюповерхность(S)можнопредставитьввидесово-купностиповерхностейдвухоснований(S_ос.1),(S_ос.2) ибоковойповерхности(S_б)

^SS_ос.1

то поток (7) вектораEчерез ориентированную гауссову поверхность (S) равенсуммепотоковчерезвсеее части:

E,dSE,ndS  E,n1dS  E,n2dSE,nбdS. (S) (S) (Sос.1) (Sос.2) (Sб)

(17)

где

n₁^,n₂

^иn_б

–единичныйвекторнормаликвнешнейсторонемалогоэле-

ментаповерхности (S_ос.1),(S_ос.2)и(S_б)соответственно.

Выберемвысотуhповерхности(S)прямоугольногопараллелепипеданастолько малой, чтобы ее основания (S_ос.1) и (S_ос.2) находились практически вобластиплоскогополявектораE(рис.7,б).Тогдавовсехмалыхэлементах

 E,n1dS  Ecos/2dS0, (Sос.1) (Sос.1)  E,n2dS  Ecos/2dS0. (Sос.2) (Sос.2)

(18)

поверхностей(S_ос.1)и(S_ос.2)векторEперпендикулярен

n₁^и

n₂^{. Поэтому}

E,dS E,nбdS EndS, (S) (Sб) (Sб)

(19)

Сучетом(18)поток(17)вектораEчерезгауссовуповерхность(S)равенпотокучерезеебоковуюповерхность(S_б):

где

E_n–проекциявектораEнанаправлениеединичноговекторанормалиn_бк

внешнейсторонемалого элемента(dS)поверхности(S_б)(см.формулу(8)).

Есливсюбоковуюповерхность(S_б)прямоугольногопараллелепипедамысленноразбитьнаNмалыхэлементовввидепрямоугольниковвысотойhи

одинаковойдлины

(рис.7,б),тозначениеопределенногоинтегралав

выражении(19)можноприближеннопредставитьввидедискретнойсуммы

E,dS EdSNE SNE h hNE , n  ni i  ni i ni (S) (Sб) i1 i1 i1

(20)

где

E_ni–проекцияEнанаправление

ⁿбi

кi-мумаломуэлементу(S_i);

S_ih –площадьi-го малого элемента.

СогласнотеоремеГаусса(11)

_E,dS_^1q ,



(S)

_0 охв

гдеq_охв–охватываемыйзамкнутойповерхностью(S)заряд,поэтомусучетом(20)

N

h_

E_ni

q_охв,

1

^i1 0

N q Eni охв . i1 0h

(21)

Вусловияхданнойлабораторнойработыэлектрическиезаряды–источни-ки моделируемого плоского поля вектора напряженностиE– имеют конфигу-рациюэлектродов(6)намакете(рис.5).Поэтомуможноввестипостояннуюве-личинуλ=const,имеющуюсмыслзаряда,приходящегосянаединицудлины

электродавперпендикулярномплоскостиполянаправлении(вусловияхданной

лабораторнойработызначениеλнеизвестно).Тогдаq_охв_охвhи

N  Eniохв. i1 0

(22)

Пустьвысотаhгауссовойповерхности(S)иеебоковойповерхности(S_б)

малатак,чтоизмерениевсех

^Eni

достаточнопроводитьтольковдользамкну-

той линии (L), являющейся сечением гауссовой поверхности (S) плоскостьюплоского векторного поляE(рис. 7,аиб). При этом контур (L) ограничивает^{поверхность (Sохв) – часть плоскости плоского поля}E^{, охватываемой гауссовой}поверхностью (S). Тогда, принимая во внимание возможность измерения про-екции вектора напряженности с помощью двойного зонда, его нужно располо-житьтак,чтобыточкиконтактащуповзондасэлектропроводнойбумагой

находилисьвдольнормали

ⁿбi

кi-мумаломуэлементу(ΔS_i)боковойповерхно-

E 1i2iUi, ni d d

(23)

сти(S_б),астрелканазондеуказываланаправлениесогласно (16)

ⁿбi

(рис.8).Вэтомслучае

гдеd–расстояниемеждущупамидвойного зонда;

_1i_2iU_i

• разностьпотенциа-

лов(напряжение),измеряемаявольт-метром, к которому подключен двой-нойзонд. Тогда

N 1 N EnidUi. i1 i1

(24)

Подставив(24)ввыражение(20),получаем, что поток вектораEчереззамкнутуюповерхность(S)прямопро-

порционаленалгебраическойсумме(сучетомзнакаслагаемых)разностейпо-

тенциалов между щупами двойного зонда, измеренных на всехNмалых элемен-тах боковой поверхности (S_б) малой высотыh(т. е. вдоль замкнутой линии (L)сеченияплоскостьюплоскоговекторногополягауссовойповерхности(S)):

E,dShNU. d  i (S) i1

(25)

Приравняемправыечастивыражений(22)и(24)иучтем,чтовусловияхданнойлабораторнойработыдлина малыхэлементовбоковойповерхности

(S_б)равнарасстояниюdмеждущупамидвойногозонда :

^1NU

 _i

^di1

N  UUi охв, i1 0

(26)

гдеU– алгебраическая сумма (с учетом знака слагаемых) разностей потенциа-лов между щупами двойного зонда, измеренных на всехNмалых элементах бо-ковойповерхности (S_б) гауссовойповерхности (S).

Такимобразом,извыражений(25)и(26)следует:

• еслизамкнутаяповерхность(S)охватываетзаряд,когдаповерхность(S_охв)

содержитвнутреннийэлектродмакета(см.рис.7,а),то_охв0иалгебраи-

ческаясуммаUразностейпотенциалов,измеренныхнавсехNмалыхэле-^{ментахповерхности,также отлична отнуляU}0^;

• еслизамкнутаяповерхность(S)неохватываетзаряд,когдаповерхность^{(Sохв)несодержитвнутреннийэлектрод макета, то}_охв0^иU0^.

ВданнойлабораторнойработепроверкатеоремыГауссазаключаетсявследующем.

Еслидверазныезамкнутыеповерхности(S₁)и(S₂)охватываютодини

тотжеэлектроднамакете,то

_охв.1_охв.20,топотокивектораEчерезних

должныбытьодинаковыми,посколькусогласнотеоремеониопределяютсятолькозарядом.Следовательно,U_1U_2.

Еслизамкнутаяповерхность(S₃)неохватываетзаряд,топотоквектора

Eчерезнее долженбыть равеннулю, т. е.U₃ U₁.

Для проверки теоремыо циркуляции вектора напряженностиEэлектроста-тическогополявинтегральнойформе(15)вдан-

нойлабораторнойработеориентированнойза-мкнутой кривой является прямоугольный контур(L), направление обхода по которому выбираетсяпроизвольно. Если контур (L) мысленно разбитьнаNмалыхэлементовввидеотрезководинаковой

длины

(рис.9),тозначениелинейного

интеграла в определении циркуляции (12) с уче-том (13) можно приближенно представить в видедискретнойсуммы

N N E,dE,dEdEiiEi, (L) (L) (L) ii ii

(27)

где

^Ei

• проекцияEнанаправлениеединичноговекторакасательной к

контуру(L),проведенноговточкеначалаi-гомалогоэлемента(_i)контурав

направлении выбранного обхода вдоль (L) (на рис. 9 направление обхода вы-брано противчасовой стрелки).

Тогда, принимая во внимание возможность определения проекции векто-ра напряженности с помощью двойного зонда, его нужно расположить так,чтобыточкиконтактащуповзондасэлектропроводнойбумагойнаходились

вдолькасательной

^{кi-мумаломуэлементу(}

_i)контура(L),астрелкана

зондеуказываланаправление

_i^{.Вэтомслучае согласно (16)}

E1i2iUi, i d d

(28)

гдеd–расстояниемеждущупамидвойногозонда(рис.9);

_1i_2iU_i

• разностьпотенциалов(напряжение),измеряемаявольтмет-

ром,ккоторомуподключендвойнойзонд.

Подставляя(28)ввыражение(27)сучетом

,получаем,чтоцирку-

ляция вектораEвдоль ориентированной замкнутой кривой (L) равна алгебраи-ческой сумме (с учетом знака слагаемых) разностей потенциалов между щупа-мидвойного зонда,измеренныхна всехNмалых элементахконтура (L):

E,dNU.  i (L) i1

(29)

Согласнотеореме(15)циркуляциявекторанапряженностиEэлектроста-тическогополявдольлюбойзамкнутойориентированнойкривой(L)всегда

равнанулю:



(L)

_E,d

_0,

поэтомусучетом(29)длялюбогоконтура(охватывающегоилинеохватывающе-гозаряды(электрод))должновыполнятьсяравенство

N UUi0. i1

(30)

гдеU– алгебраическая сумма (с учетом знака слагаемых) разностей потенциа-лов между щупами двойного зонда, измеренных на всехNмалых элементахконтура(L).