МинистерствообразованияРеспубликиБеларусьБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедрафизики

Лабораторнаяработа

№2э.2

Изучение основных свойствэлектростатическогополя методическиеуказания

Минск2023

Лабораторнаяработа№ 2э.2 изучение основных свойств электростатического поляцельработы

1. Изучитьхарактеристикивекторногополя:потокΦ_Ечерезориентиро-ваннуюповерхностьициркуляцию Γ_Евдольориентированногоконтура.

2. ПроверитьтеоремуГауссадляполявекторанапряженностиEэлек-трического полявинтегральной форме.

3. Проверитьравенствонулюциркуляциивекторанапряженности E

электростатическогополявдольпроизвольногоориентированногоконтура.

Методическоеобоснование

Всякий заряд (частица или тело, обладающее зарядом) изменяет опреде-ленным образом свойства окружающего его пространства – создаетэлектриче-ское поле, которое проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо еготочкудругойзарядиспытываетдействиесилы со стороныэтогополя.

Основной характеристикой электрического поля является напряженность.НапряженностьEэлектрического поля в некоторой его точке – векторнаяфизическаявеличина,являющаясясиловойхарактеристикойэлектрическогопо-ляиравнаяотношениюсилы^⃗,действующейсостороныполянапомещенныйв

даннуюточкунеподвижныйточечныйпробныйзарядq_пр,кэтомузаряду:

E(r)F(r). qпр

(1)

В СИ[Е]= В/м.

Электростатическим полемназывается электрическое поле, создавае-мое неподвижными в выбранной системе отсчета зарядами. Кроме напряжен-ностиважнойхарактеристикойэлектростатическогополяявляетсяпотенциал.

Потенциал

(r)

точкиэлектростатическогополя–скалярнаяфизиче-

скаявеличина,являющаясяэнергетическойхарактеристикойэтогополявдан-

нойточкеиравнаяотношениюпотенциальнойэнергии

W^p(r),

которойобла-

даетнаходящийсявданнойточкепробныйточечныйзарядq_пр,кэтомузаряду:

 Wp(r)(r) . qпр

(2)

В СИ[φ]=В.

Связьнапряженностиэлектростатическогополяипотенциала:векторнапряженности в данной точке с радиус-векторомrэлектростатического поляравенградиентупотенциалавэтойточкеполясобратнымзнаком:

Ergrad(r).

(3)

В декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК) равенство (3)принимаетвид:

EreEreEre(r)e(r)e(r)e, x x y y z z  x x y y z z  

(4)

где

^Ex^r^,

^Ey^r^,

^Ez

–проекциинапряженностиEвточкеэлектростати-

ческогополясрадиус-векторомrнакоординатныеосиДПСК;

e_x,

e_y,e_z

–ортонормированныйбазисДПСК.

Стационарным векторным полем(например, полем вектора напряжен-ностиEэлектростатического поля) называется область пространства, в каждойточкекоторойзаданнезависящийотвременивекторE,т.е.определенавек-

^{торнаяфункциякоординатEEr,гдеr –радиус-векторточкиобластипространства.}

Силоваялиниявекторногополя

EE(r)

−этонаправленнаялиния,в

каждой точке которой векторEнаправлен по касательной к силовой линии.Густота силовых линий (т. е. число силовых линий, пересекающих перпендику-лярную к ним плоскую поверхность единичной площади) в некоторой точкеполяпрямо пропорциональнамодулюЕвектораEвэтой точке.

Интегральнымихарактеристикамивекторногополя,описывающимиос-

новныеегосвойства,являются:

1. потокΦ_Ечерезориентированнуюповерхность,

2. циркуляция Γ_Евдоль ориентированного контура.Пустьвокрестностикакой-либоточкивектор-

ногополя

EE(r)

находитсямалыйплоскийэлемент

(dS) некоторой поверхности (S), в пределах которогоданноеполеможносчитатьоднородным,т.е.векторEв каждой точке элемента (dS) одинаков (рис. 1).Ориентируем этот элемент (dS) заданием единичноговекторанормалиn(n1),проведенногоперпенди-

кулярнок(dS).Посколькумалыйэлемент(dS)по-верхности является плоским, то вектор нормалиnк(dS) можно провести как в одном направлении, так и впротивоположном.Введемврассмотрениевекторориентированногомалогоэлементаповерхности

,равного

dSdSn.

(5)

гдеdSплощадьмалогоэлемента(dS)поверхности(S).

Тогдапотоком(элементарным)

d_E

векторногополя

EE(r)

через

dEE,dSE,ndSEcosdSEndS,

(6)

малыйориентированныйэлементповерхностиназываетсячисло,равноеска-лярномупроизведениювекторовEиdS:

гдеαугол междувекторамиEиn;

E_nE,n_Ecos^{–проекцияEнанаправление единичноговектора}

нормалиn(или ).

Пустьвобластивекторногополя

EE(r)

находитсягладкаяиликусоч-

но-гладкая поверхность (S) конечных размеров (рис. 1).Ориентированнойявля-ется гладкая двусторонняя поверхность (S), в каждой точке которой задан еди-ничныйвекторn,направленныйпонормаликоднойизсторонэтойповерхно-

^{сти.ПотокΦЕвекторногополяEE}^r^{черезпроизвольнуюориентирован-}

EE,dSE,ndS, (S) (S)

(7)

нуюповерхность(S)– эточисло,равноезначениюповерхностногоинтеграла

^где n^{–векторориентированногомалогоэлемента(dS)поверхности(S);}

dSплощадьмалогоэлемента(dS)поверхности(S),впределахкотороговекторноеполе можносчитатьоднородным;

n–единичныйвекторнормаликмаломуэлементу(dS)поверхности(S).

В СИ[Φ_E]= В·м.

EE,ndSEcosdSEndS, (S) (S) (S)

(8)

Сучетомопределенияскалярногопроизведениявекторовпоток(7)век-торногополя равен

гдеαуголмеждувекторамиEиn(рис.1);

E_nEcos– проекцияEна направление единичного вектора нормалиn.Согласно определению(7)потокΦ_Е–величинаалгебраическая,т.к.онможетприниматьположительныезначения(Φ_Е>0),отрицательныезначения

^{(ΦЕ<0)илибытьравнымнулю(ΦЕ=0)при}E0^.

Формула (7) определяет поток Φ_Ечерез двусто-роннююповерхность (S)сточностью дознака(«+» или

«–») в зависимости от выбора стороны поверхности, ккоторой задаетсяединичный вектор нормалиn. Еслиповерхность(S)ориентироватьзаданиемединичного

векторанормали

n₁^{кееверхнейстороне(рис.2),то}

поток Φ_Е1в этом случае будет отличаться только зна-ком от потока Φ_Е2через ту же самую поверхность (S),ноориентированнуювыборомединичноговектора

E1E,n1dSEcos1dSEcos2dS (S) (S) (S) Ecos2dSE,n2dSE2. (S) (S)

(9)

^{нормалиn}₂^{книжнейстороне(n}₂^n₁^):

В случаезамкнутойповерхности (сферы, поверхности параллелепипедаили любой другой ограничивающей объемное тело поверхности) единичныйвектор нормалиnпроводится квнешней сторонеэтой поверхности, т. е. нару-жуограничиваемойеюпространственнойобласти.Дляобозначенияповерх-

ностногоинтегралапозамкнутойповерхности(S)используетсясимвол

ПотокΦ_Евекторногополя

EE(r)

черезпроизвольнуюориентирован-

нуюповерхность(S)прямопропорционаленразностичиславыходящихN_выход

E~NвыходNвход.

(10)

изэтойповерхностиивходящихN_входвнеесиловыхлинийэтогополя:

Приэтомвыходящейизориентированнойпо-верхности (S) является такая силовая линия, направле-ние которой в точке ее пересечения с (S) образуетост-рыйугол с единичным вектором нормалиnк этой по-верхности (рис. 3). Если силовая линия пересекает ори-ентированнуюповерхность(S)так,чтонаправлениелинии образует с единичным вектором нормалиnкэтой поверхноститупойугол, то такая силовая линияявляетсявходящей.

Теорема Гаусса для поля вектора напряженностиEэлектрическогополяввакуумевинтегральнойформе:потоквекторанапряженностиEэлектрического поля в вакууме через любуюзамкнутуюповерхность (S) равеналгебраической сумме зарядовq_охв, охватываемых этой поверхностью, делен-нойна электрическуюпостояннуюε₀:

(E,dS)1q .  охв (S) 0

(11)

Принимая во внимание связь потока Φ_Еполя вектораEчерез произволь-ную ориентированную поверхность (S) счислом пересекающихэту поверх-ностьсиловых линийданного поля(10),изтеоремыГаусса(11)следует:

• если замкнутая поверхность охватывает электрические заряды, то потоквектора напряженности через эту поверхность отличен от нуля, а значит, общеечислосиловыхлиний,пересекающихэтуповерхностьнеравнонулю,т.е.^Nвых^≠Nвход^;

• есливнутрипространственнойобласти,ограниченнойзамкнутойповерх-

ностью заряды отсутствуют, то число выходящих линий равно числу линийвходящихN_вых=N_вход.

ПоэтомусодержательныйсмыслтеоремыГауссадляполявекторанапряженностиEэлектрического поля в вакууме в интегральной форме заклю-чается в следующем: в общем случае силовые линии электрического поля неявляются замкнутыми – они начинаются на положительных электрических за-рядах и оканчиваются наотрицательных.

Гладкая или кусочно-гладкая замкнутая кривая (контур) считаетсяориен-тированной, если вдоль нее выбрано направление обхода, т. е. в каждой точкеэтойкривойзаданединичныйвектор(1),направленныйпокасательнойк

кривой всторонуобхода.

ЦиркуляцияΓ_Евекторногополя

EE(r)

вдользамкнутойориентиро-

EE,dE,d, (L) (L)

(12)

ваннойкривой(L)–эточисло,равное значениюлинейногоинтеграла:

где

• векторориентированногомалогоэлементаза-

мкнутойкривой(L)(рис.4);

d –длинамалогоэлемента(d )замкнутойкривой(L),впределахкотороговекторноеполеможносчитатьоднородным;

единичный вектор касательной к кривой (L) в некото-ройточкеэлемента(d ),понаправлениюсовпадающийснаправлениемобходавдоль(L).

В СИ[Γ_E]= В.

Сучетомопределенияскалярногопроизведениявекторовциркуляция(12) векторногополя равна

EEcosd Ed, (L) (L)

(13)

гдеαуголмеждувекторамиEи(рис.4);

E_E,_Ecos–проекцияEнанаправлениеединичноговекторакаса-

тельнойиливектораориентированногомалогоэлемента

кривой(L).

РаботаАсилыFэлектрическогополяпридвижениивнемточечногоза-рядаqпозамкнутойтраектории(L),равнапроизведениюэтогозарядаqнацир-

куляциюΓ_Евекторногополянапряженности

_EF(r)

q

вдользамкнутойориен-

тированнойкривой(L),совпадающейстраекториейдвиженияданногозаряда:

FqE AF,dr qE,dqE,dqE. (L) drd (L) (L)

(14)

E,d0. (L)

(15)

Теорема о циркуляции вектора напряженностиEэлектростатиче-ского поля в интегральной форме: циркуляция вектора напряженностиEэлектростатическогополя вдоль любой замкнутой ориентированной кривой (L)всегдаравна нулю:

С учетом (14) из теоремы о циркуляции (15) получается, что работа силэлектростатическогополяпридвижении внемточечного зарядаqпозамкнутой

траектории(L)всегдаравнанулю.Следовательно,силыэлектростатическогополяявляютсяконсервативными.