1 сем 12 Множества и функции
.pdfМНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
1. Множества и операции над множествами
Понятие множество относится к первичным, неопределяемым понятиям математики. Множества можно составлять на основе самых различных признаков из объектов произвольной природы, которые называют элементами
данного множества. Обычно для обозначения множества используют прописные буквы, а для элементов строчные буквы некоторого алфавита. Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут a A, если не принадлежит,
то записывают a A. Выражение a1, a2 , , an A означает, что элементы a1, a2 , , an принадлежат множеству A . Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством, в противном случае –
бесконечным множеством. Множество, не содержащее элементов, называется
пустым и обозначается .
Множество A называется подмножеством множества B , если всякий элемент из A является элементом в B , при этом используют обозначение
A B . Множества A и B равны, если A B и B A. Равенство множеств A
и B обозначается A B . Если A B и A B , то A называется собственным
(или строгим) подмножеством, и обозначается A B . Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество можно задать перечислением элементов, так для множества
A , состоящего из элементов a1, a2 , , an , записывают A {a1, a2 , , an}.
Множества задают также описанием характеристических свойств, при этом используются обозначения A {x P(x)} или A {x : P(x)}, где P(x) –
свойство, которым обладают элементы x множества A . Если множество A
состоит из тех элементов x множества B , которые имеют свойство P(x) , то записывают A {x B P(x)} или A {x B : P(x)}.
Пример 1. Задать перечислением множество A {x Z x2 6x 5 0}.
Множество A является множеством целых решений неравенства x2 6x 5 0 . Решением данного неравенства является интервал (1,5) . В этот интервал попадают три целых числа 2 , 3 и 4 . Следовательно, A {2,3,4}. ▲
Объединением множеств A и B называется множество
A B {x (x A) (x B)}.
Пересечением множеств A и B называется множество
A B {x (x A) (x B)}.
Если A B , то множества A и B называются непересекающимися.
Разностью множеств A и B называется множество
A \ B {x (x A) (x B)}.
Обычно при решении конкретной задачи элементы всех рассматриваемых множеств берутся из некоторого множества U , которое называется
универсальным множеством (или универсумом). Тогда, если A U , то разность
U \ A называется дополнением множества A (до множества U ) и обозначается символом A .
Объединением множеств A1 , A2 ,…, An называется множество
n
Ak A1 A2 An {x (x A1) (x A2 ) (x An )}.
k 1
Пересечением множеств A1 , A2 ,…, An называется множество
n
Ak A1 A2 An {x (x A1) (x A2 ) (x An )}.
k 1
Аналогично, определяются |
объединение |
Ak и пересечение |
Ak |
|
|
|
|
k I |
k I |
любой совокупности множеств |
Ak , k I , I |
– множество индексов. |
Если |
|
|
|
|
|
|
I N , то записывают Ak |
и Ak . |
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
Разбиением непустого множества A называется совокупность его взаимно непересекающихся подмножеств таких, что объединение всех этих подмножеств совпадает с множеством A .
Для иллюстрации операций над множествами используют диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1). Множество на диаграмме изображается фигурой,
ограниченной замкнутой линией, множество представляющее результат операции заштриховывается.
A B |
A B |
A \ B |
|
A |
Рис. 1. Диаграммы Эйлера-Венна.
Прямым (или декартовым) произведением |
множеств |
A1 , |
A2 ,…, An |
||||||
называется множество |
A1 A2 An |
всех |
упорядоченных |
наборов |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
(a1, a2 , , an ) , где ak Ak , k 1, n . |
Прямое |
произведение |
n одинаковых |
||||||
множеств A A A |
обозначается |
An , |
и |
называется |
n -ой |
степенью |
|||
множества A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перечислим некоторые наиболее часто используемые в математическом анализе числовые множества.
1)N {1,2, } – множество натуральных чисел.
2)Z {0, 1, 2, } – множество целых чисел.
m |
|
|
||
|
||||
3) Q |
|
|
m, n Z, n 0 – множество рациональных чисел. |
|
n |
||||
|
|
|
4)R – множество действительных чисел.
5)C – множество комплексных чисел.
6)[a, b] {x R a x b} – отрезок.
7)(a, b) {x R a x b} – интервал.
8)[a, b) {x R a x b} – полуинтервал открытый справа.
9)(a, b] {x R a x b} – полуинтервал открытый слева.
10) |
O(x0 ) {x R |
|
|
|
x (a, b), x0 (a, b)} – окрестность точки x0 . |
|
||
|
|
|||||||
11) |
O (x0 ) {x R |
|
x0 x x0 } – -окрестность точки x0 . |
|
||||
|
|
|||||||
12) |
|
|
|
x0 x x0 , x x0} |
– проколотая |
- |
||
|
|
|||||||
O (x0 ) {x R |
||||||||
окрестность точки x0 . |
|
|
|
|
|
|||
В математическом анализе используются числа и (называемые |
||||||||
плюс и минус бесконечность), для которых выполняются условия |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x R : x . |
|
|
|
Множество X R |
|
|
называется ограниченным |
сверху (снизу), |
если |
существует число C такое, что для всех x X справедливо x C ( x C ).
Число C в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X .
Множество ограниченное сверху и снизу называется ограниченным.
Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества X
называется точной верхней гранью множества X и обозначатся sup X
(supremum (лат.) – наивысшее).
Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества X
называется точной нижней гранью множества X и обозначатся inf X (infinum
(лат.) – наинизшее).
Точные верхняя sup X и нижняя грани inf X обладают следующими свойствами.
1)0 x X : x sup X .
2)0 x X : x inf X .
2. Отношения
Понятие отношения используется для описания связей между элементами
заданных множеств.
Непустое подмножество R A1 A2 An называется n -местным
( n -арным) отношением на множествах A1 , A2 ,…, An . Если (a1, a2 , , an ) R ,
то говорят, что элементы a1 A1 , |
a2 A2 ,…, an An |
связаны отношением R , |
и обозначают R(a1, a2 , , an ) . |
|
|
При n 1 отношения называются унарными |
(или одноместными). |
Унарное отношение указывает на некоторое свойство части элементов данного множества. При n 2 отношения называются бинарными (или двухместными).
Если упорядоченная пара элементов (a1, a2 ) R , то используют обозначение a1Ra2 .
Композицией (или |
суперпозицией) бинарных отношений R1 A B и |
R2 B C называется |
бинарное отношение R1 R2 A C , такое, что |
(a, c) R1 R2 , если найдется b B для которого aR1b и bR2c .
Обратным отношением к бинарному отношению R A B называется отношение R 1 B A, такое, что R 1 {(a, b) (b, a) R}.
Бинарное отношение R A2 называется бинарным отношением на множестве A , оно используется для определения взаимосвязей между элементами множества A .
Бинарное отношение R на множестве A называется:
–рефлексивным, если для всех a A выполняется aRa ;
–антирефлексивным, если для всех a A не выполняется aRa ;
–симметричным, если из aRb следует bRa ;
–антисимметричным, если из aRb и bRa следует a b ;
–транзитивным, если из aRb и bRc следует aRc .
Бинарное отношение R A2 называется отношением эквивалентности
(или эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивалентности aRb обозначается a ~ b (используются также обозначения a b и a b ).
Бинарное отношение R A2 называется отношением толерантности,
если оно рефлексивно и симметрично.
Бинарное отношение R A2 называется отношением нестрого порядка
(или нестрогим порядком), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Бинарное отношение R A2 называется отношением строго порядка (или строгим порядком), если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Оба этих отношения называются отношениями порядка.
Отношение порядка aRb обозначается a b (используются также обозначения a b – для строго порядка и a b – для нестрого порядка).
3. Соответствия и функции
Соответствием между множествами A и B называется упорядоченная тройка множеств F A, B, G , где G A B – некоторое бинарное
отношение на множествах A и B . Бинарное отношение G называют графиком
соответствия F . Если (a, b) G , то говорят, что b соответствует a при соответствии F .
Областью определения соответствия F A, B, G называют множество
D(F) {a A(a, b) G}, а областью значений соответствия F – множество
E(F) {b B (a, b) G}.
Образом элемента a D(F) в |
B |
при соответствии |
F |
называется |
множество всех b E(F) , соответствующих a . |
|
|
||
Прообразом элемента b E(F) |
в |
A при соответствии |
F |
называется |
множество всех a D(F) , которым соответствует b . |
|
|
||
Образом множества C D(F) |
в |
B при соответствии |
F |
называется |
объединение образов всех элементов a C .
Прообразом множества C E(F) в A при соответствии F называется объединение прообразов всех элементов b C .
Соответствие F A, B, G называют:
– всюду (или полностью) определенным, если D(F) A , в противном случае – частично определенным;
–сюръективным, если E(F) B ;
–функциональным (или однозначным), если образом любого элемента
a D(F) является единственный элемент b E(F) ;
–инъективным, если прообразом любого элемента b E(F) является единственный элемент a D(F) ;
–взаимно однозначным (или биективным), если соответствие F является всюду определенным, сюръективным, функциональным и инъективным, то есть каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B , и каждый элемент из B соответствует единственному элементу из A .
Композицией |
(или суперпозицией) соответствий F1 |
A1, B1, G1 и |
|
F2 A2 , B2 , G2 , |
таких, что |
B1 A2 , называется |
соответствие |
F1 F2 A1, B2 , G1 G2 .
Соответствием обратным к F A, B, G называется соответствие
F 1 B, A, G 1 .
Функцией |
называется |
функциональное соответствие. |
Функцию |
|||||||||
f A, B, G |
|
устанавливающую |
соответствие между множествами |
A и |
B |
|||||||
обозначают |
f : A B . Если |
элементу |
x D( f ) |
соответствует |
элемент |
|||||||
y E( f ) , |
то |
записывают |
y f (x) , |
при этом |
элемент |
x |
называется |
|||||
аргументом функции, а элемент |
y – значением функции. Префиксная форма |
|||||||||||
записи y f (x) |
применяется |
и |
для обозначения |
функции |
f . |
Множество |
||||||
D( f ) называется областью определения функции |
f , а множество |
E( f ) |
– |
|||||||||
областью значений функции |
f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
f : A B , |
где |
A A1 A2 An |
называется функцией |
n |
|||||||
аргументов (или |
n -местной функцией) и обозначается y f (x1, x2 , , xn ) , |
(x1, x2 , , xn ) D( f ) , y E( f ) .
Далее будем рассматривать действительные функции одного
действительного аргумента (переменного). |
|
|
||||||
Композицией (или суперпозицией) |
функций f : A B |
и |
g : B C |
|||||
называется |
функция h : A C , |
|
такая, |
что h(x) g( f (x)) |
для любого |
|||
x D(h) . Композицию функций называют также сложной функцией. |
|
|||||||
Примеры сложных функций: |
|
|
|
|
|
|
||
f (x) sin( x2 ) , |
|
|
|
|
f (x) tg[1 ln 2 (5 3ex )]. |
|||
f (x) |
1 x3 , |
|||||||
Соответствие, обратное к |
функции f : A B называется |
функцией |
||||||
обратной к |
f , если оно функционально, |
и обозначается f 1 . Если |
y f (x) , |
|||||
то для функции обратной к |
f записывают x f 1( y) . Например, |
|
|
y f (x) sin x |
и x f 1( y) arcsin y , |
y f (x) ex |
и x f 1( y) ln y . |
Отображением A в B называется полностью определенная функция f : A B .
Отображением A на B называется полностью определенная и сюръективная функция f : A B .
Функцию задают одним из следующих способов.
1. Табличный способ. В таблице указывают значения функции для некоторых (или всех) значений аргумента xi , i 1, n . Данные таблиц получают непосредственно из опыта или из численных расчѐтов. Например,
|
xi |
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
y1 |
|
|
y2 |
|
|
|
yn |
|
|
2. Графический способ. Для наглядного представления о характере |
||||||||||||
функциональной зависимости часто строят графики функций. |
|
|
||||||||||
Графиком функции |
y f (x) называется множество точек на плоскости |
|||||||||||
(в прямоугольной декартовой |
системе |
координат Oxy ) |
с координатами |
|||||||||
(x, f (x)) , x D( f ) . Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Аналитический способ. Задание функции с помощью одной или |
||||||||||||
нескольких формул. Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) sin( x2 ) , |
|
|
|
|
|
f (x) tg[1 ln 2 (5 3ex )]. |
||||||
f (x) |
|
1 x3 , |
Если зависимость между аргументом x и значением функции y
выражена уравнением, разрешѐнным относительно y , то в этом случае говорят,
что функция y от x задана явно. Например, y x2 .
Если значения функции y и аргумента x связаны соотношением
F(x, y) 0,
из которого нельзя выразить y относительно x , то в этом случае говорят, что функция y относительно аргумента x задана неявно. Например,
y5 xy4 2sin( x y) x 0.
Основными элементарными функциями называются функции:
1.степенная y xa (при a 0 , получаем y const);
2.показательная y xa ( a 0 );
3.логарифмическая y log a x ( a 0 , a 0);
4.тригонометрические y sin x , y cos x . y tg x , y ctg x ;
5. обратные тригонометрические y arcsin x , |
y arccos x . |
y arctg x , |
y arcctgx . |
|
|
Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.
Элементарные функции классифицируют следующим образом.
1. Многочлены (полиномы). Функцию
y Pn (x) an xn an 1xn 1 a2 x2 a1x a0 ( an 0)
называют многочлен (полином) n -ой степени.