Вопрос 16 Интерференция двух монохроматических волн
Рассмотрим идеализированный случай сложения двух монохроматических волн одинаковой частоты. Уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси X, имеет вид:
.
Если амплитуда и начальная фаза одинаковы во все моменты времени во всем пространстве, то волна называется однородной. Строго монохроматические волны никогда не могут быть точно реализованы в действительности и представляют идеализацию реальных волновых процессов. Условия применимости этой идеализации в каждой конкретной задаче требуют специального рассмотрения.
Пусть две плоские монохроматические волны одной частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления: и , где , .
Для сложения колебаний воспользуемся методом векторной диаграммы. Как видно из рис. 2.4, согласно теореме косинусов амплитуда результирующего колебания будет равна
.
Так как угол , то амплитуда результирующего колебания в данной точке определится выражением: , а интенсивность:
, |
(2.4) |
где .
Если , , то интенсивность максимальна: , если , то интенсивность минимальна: .
Таким образом, при наложении двух монохроматических волн происходит устойчивое во времени перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. В тех точках пространства, для которых , результирующая интенсивность ; в точках, где , результирующая интенсивность .
Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: . Тогда в максимумах , в минимумах же . Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность .
Ширина интерференционных полос.
Обычно экран для наблюдения интерференционной картины располагают так, чтобы оба луча и нормаль к экрану находились в одной плоскости. В этом случае ширина интерференционных полос полностью определяется углами падения световых волн на экран и длиной световой волны и не зависит от оптической схемы формирования интерферирующих волн.
Пусть две плоские световые волны падают на экран под углами и (рис. 19), точки и - середины двух соседних светлых полос на экране, - поверхность равной фазы первой волны, - поверхность равной фазы второй волны. Поверхность имеет ту же фазу, что и поверхность , так как в точке фазы двух волн одинаковые (светлая полоса). Поэтому можно считать, что это одна и та же поверхность равной фазы волны, идущей от одного точечного источника разными путями. Следовательно, оптическую разность хода, например для точки экрана , можно отсчитывать от пары точек и как бы общей поверхности равной фазы.
Из рис. 19 видно, что поверхность равной фазы первой волны еще не дошла до точки на отрезок , а поверхность второй волны уже зашла за точку на отрезок . Тогда оптическая разность хода для точки равна
.
Точки и - середины соседних светлых полос, тогда оптическая разность хода равна длине волны , так как при переходе по экрану на одну полосу разность хода меняется на . Выражая из этого равенства ширину полосы , и обозначая ее через , получаем
,
где знак '+' соответствует положительным углам падения и отсчитанным в разные стороны от нормали к экрану, как на рис. 19.
В большинстве задач углы падения малы, тогда и выражение для ширины полос упрощается
,
где - угол между лучами сходящимися на экране.
Эта формула сводит оптическую задачу к геометрической. Для определения ширины интерференционных полос нужно построить два луча, выходящие из одной точки источника света и попадающие в одну точку экрана. Ширина полос - это отношение длины волны света к углу между лучами, сходящимися в одну точку.
Если ширины соседних полос заметно различаются, то термина "ширина полос" избегают. Такая ситуация возникает при интерференции плоской и сферической волн, например при наблюдении колец Ньютона. Кольца Ньютона наблюдаются при интерференции волны, отраженной от сферической поверхности выпуклой линзы, и волны, отраженной от плоской поверхности, соприкасающейся со сферической поверхностью линзы. В этой задаче вместо ширины полос ищут радиус светлого (или темного) кольца с произвольным номером .