- •Методические указания
- •Для решения контрольной и самостоятельной работы
- •По разделу математики
- •«Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •I. Элементы теории вероятностей
- •1.1. Случайные величины. Вероятность случайного события
- •1.2.Теоремы сложения, умножения вероятностей
- •1.3 .Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Формула Бейеса. (формула гипотез)
- •1.4. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Муавра-Лапласа
- •Интегральная форма Лапласа
- •1.5. Интегральная функция распределения
- •1.6. Дифференциальная функция распределения
- •1.7. Равномерное распределение непрерывной случайной величины
- •1.8.Числовые характеристики случайных величин
- •1.7. Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •2.Элементы математической статистики
- •I. Выборки и их характеристики
- •1.1. Выборочный метод и способы составления выборок
- •1.2. Статистическое распределение и его геометрическое изображение
- •Алгоритм составления дискретного статистического распределения:
- •Гистограмма и полигон плотности относительных частот
- •1.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •1.4.Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы
- •1.5. Статистическая проверка статистических гипотез
- •II Элементы корреляционного анализа
- •2.1. Статистическая зависимость случайных величин. Уравнения регрессии.
- •2.2. Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции.
- •1) Метод квадратов
- •2) Ранговый метод
- •2.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •Разбор типовых задач Тема: Формула вероятности события
- •Тема: формула полной вероятности
- •Тема :случайная величина и ее числовые характеристики числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Тема:Функции распеределения
- •Тема: Элементы статистической обработки данных
- •Тема :понятие о корреляционной зависимости
- •Вопросы для самопроверки Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Повторные независимые испытания
- •Случайная величина и ее числовые характеристики
- •Основные сведения из математической статистики Вопросы для самопроверки
- •Понятие о корреляционной зависимости Вопросы для самопроверки
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задания для самостоятельной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики »
- •Задания для контрольной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Контрольная работа «Статистическое оценивание данных»
- •Вариант – 1
- •Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по л.С. Каминскому)
- •Литература
Тема :случайная величина и ее числовые характеристики числовые характеристики дискретных случайных величин
Задание № 1. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
Х |
4 |
6 |
7 |
8 |
Р |
0,25 |
0,5 |
0,1 |
0,15 |
Вначале полено проверить условие = 1. (1)
0,25 + 0,5 + 0,1 + 0,15 = 1, то условие (1) выполняется.
Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле: D(Х) = М(Х) - (М(Х)), где
М(Х) – математическое ожидание:
М(Х) = .
В нашем случае
М(Х) =
(М(Х))= (5,9)= 34,81
При нахождении М(Х) считается, что квадраты значений величины Х
принимаются с теми же вероятностями, что и значения Х, т.е. закон распределения случайной вероятности Хтаков:
Х |
16 |
36 |
49 |
64 |
Р |
0,25 |
0,5 |
0,1 |
0,15 |
М(Х) =
D(Х) = 36,5 – 34,81 = 1,69
Среднее квадратичное отклонение находится по формуле
Ответ: D(X) = 1.69;
Задание №2.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х |
60 |
20 |
40 |
50 |
Р |
0,5 |
|
0,35 |
0,1 |
Закон распределения в данном виде полностью дискретную случайную величину Х не описывает, т.к. неизвестна вероятность Р2 значения х2 = 20.
Но учитывая условие , можно доопределить данный закон, найдя р2 по формуле:
р2 = 1-(р1+р3+р4) = 1-(0,5+0,35+0,1) = 0,05
Найдем математическое ожидание М(Х):
.
Тогда (М(Х))2≈1400
Закон распределения случайной величины Х2 таков:
Х2 |
3600 |
400 |
1600 |
2500 |
Р |
0,5 |
0,05 |
0,35 |
0,1 |
Дисперсия находится по известной формуле:
D(X) = M(X2) – (M(X))2 = 2630 – 1400 = 1230, а
среднее квадратическое отклонение:
Ответ: D(X) = 1230, 35.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Задание 1. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение, если задана непрерывная случайная величина интегральной функцией распределения:
Найдем дифференциальную функцию распределения:
Математическое ожидание X и X2:
Тогда:
Ответ: D(X) =,
Задание 2. Случайная величина X распределена но нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины соответственно равны 2 и 5. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (1;5).
Решение. Вероятность того, что случайная величина X, имеющая нормальное распределение, примет одно из своих возможных значений в интервале (α;β), вычисляется по формуле
P(α< x<β)= Ф- Ф
Здесь a=М(х), σ = , Ф (x) = dt
функция Лапласа.
По условию задачи α=1, β=5, a=2, σ=5. Следовательно,
Р(1<Х<5)=Ф — Ф=Ф(0,6) —Ф(—0,2).
Так как функция Лапласа нечетна, то
Ф(—0,2)=—Ф(0,2).
Таким образом,
P(1<Х<5)=Ф(0,6)+ Ф(0,2).
По табл. 2 приложения находим
Ф (0,6) =0,2257, Ф (0,2) =0,0793.
Искомая вероятность равна
Р(1<Х<5)=0,2257+0,0793=0,305.
Ответ: 0,305
Задание3.Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее ,. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (30;36).
Решение: Воспользуемся формулой
, где
Ответ: 0,1586
Задание 2. Случайные значения веса зерна распределены нормально. Математическое ожидание веса зерна равно 0,15 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,03. Найти вероятность того, что вес наугад взятого зерна отклонится от математического ожидания не более, чем на 0,06г.
Решение. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, имеющей нормальное распределение, от ее математического ожидания a по абсолютной величине, не будет превосходить заданного положительного числа ɛ, определяется по формуле
Р(│Х—a│≤)=2Ф
По условию задачи a =0,15; σ = 0,03; =0,06.
Следовательно,
P (│x-0,15│≤0,06) = 2Ф= 2Ф(2).
По табл. 2 приложения находим Ф(2)=0,4772. Искомая вероятность равна
Р(│Х—0,15│ ≤0,06) = 2 · 0,4772=0,9544.
Ответ: 0,9544