- •Информатика
- •Введение
- •Глава 1 информатика как наука и как вид практической деятельности
- •1.1. История развития информатики
- •1.2. Информатика как единство науки и технологии
- •1.3. Структура современной информатики
- •1.4. Место информатики в системе наук
- •1.5. Социальные аспекты информатики
- •1.5. Правовые аспекты информатики
- •1.6. Этические аспекты информатики
- •Глава 2 теоретические основы информатики
- •2.1. Понятие и виды информации
- •2.2. Непрерывная и дискретная информация
- •2.3. Свойства информации
- •2.4. Понятие количества информации
- •2.4.1. Вероятностный подход
- •2.4.2. Объемный подход
- •Глава 3 системы счисления
- •3.1. Границы счета
- •3.2. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •I (1), V(5), X(10), l(50), c(100), d(500), m(1000).
- •3.3. Двоичная система счисления
- •3.4. Преобразование десятичных чисел в двоичные и обратно
- •3.5. Арифметические действия над двоичными числами
- •3.6. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
- •Глава 4 представление чисел в эвм
- •4.1. Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой
- •4.2. Прямой, обратный и дополнительный коды
3.6. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
При наладке аппаратных средств и написании новых программ (особенно на языках низкого уровня типа ассемблера) часто возникает необходимость посмотреть содержимое той или иной ячейки памяти машины. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц, очень неудобных для восприятия. Кроме того, естественные восможности человеческого мышления не позволяют быстро и точно оценить величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц. Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбить его на группы разрядов, например по три и четыре разряда. Разбив таким образом число можно закодировать каждую группу разрядов отдельно, сократив при этом количество символов необходимых для записи числа. Последовательность из 3-х бит имеет 8 комбинаций, а из 4-х – 16 комбинаций. Для кодирования трех битов (триад) используются цифры от 0 до 7, а для кодирования четырех битов (тетрад) – цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F (таблица 3.4). Полученные системы, имеющие в основании 8 и 16, назвали соответственно восьмиричной и шестнадцатиричной.
Таблица 3.4.
Восьмиричная система счисления |
Шестнадцатиричная система счисления | ||
Цифра |
Триада |
Цифра |
Тетрада |
0 |
000 |
0 |
0000 |
1 |
001 |
1 |
0001 |
2 |
010 |
2 |
0010 |
3 |
011 |
3 |
0011 |
4 |
100 |
4 |
0100 |
5 |
101 |
5 |
0101 |
6 |
110 |
6 |
0110 |
7 |
111 |
7 |
0111 |
|
|
8 |
1000 |
|
|
9 |
1001 |
|
|
A |
1010 |
|
|
B |
1011 |
|
|
C |
1100 |
|
|
D |
1101 |
|
|
E |
1110 |
|
|
F |
1111 |
Для перевода восьмиричного или шестнадцатиричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехзначным двоичным числом или четырехзначным двоичным числом (таблица 3.4). При этом отбрасываются ненужные нули в старших и младших (для дробной части) разрядах.
Пример. Перевести .
.
Пример. Перевести .
.
Для перехода от двоичной к восмиричной (шестнадцатиричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмиричной (шестнадцатиричной) цифрой.
Пример. Перевести .
.
Пример. Перевести .
.
Перевод из восьмиричной системы в шестнадцатиричную и обратно осуществляется через двоичную систему при помощи триад и тетрад.
Пример. Перевести .
.
3.7. Перевод чисел из системы с основанием p в систему
Рассмотренный выше метод взаимного перевода чисел между двоичной и восьмиричной (шестнадцатиричной) системами счисления заслуживает более детального рассмотрения. Обозначим основание двоичной системы через p. Тогда основание восьмиричной системы , а для шестнадцатиричной. Именно поэтому перевод чисел между двоичной и восьмиричной (шестнадцатиричной) системами осуществляется простой группировкой цифр. При этом показатель степени определяет по сколько цифр системы с меньшим основанием необходимо группировать, чтобы получить одну цифру системы с большим основанием. Аналогичный метод справедлив для любыхp и q, связанных соотношением .
Пример. Перевести
Здесь p= 3, q= 9, k= 2. Составляем таблицу соответствия между системой с основанием 3 и системой с основанием 9.
Девятиричная система |
Троичная система |
0 |
00 |
1 |
01 |
2 |
02 |
3 |
10 |
4 |
11 |
5 |
12 |
6 |
20 |
7 |
21 |
8 |
22 |
3.8. Перевод чисел из системы основанием p в систему q (общий случай)
Предположим, что мы выполняем преобразование из системы с основанием p в систему с основанием q, когда p и q произвольные целые положительные числа. В основе большинства методов лежат операции умножения и деления, которые выполняются по одной из следующих схем (преобразование целых чисел).
Метод 1. Деление на q, при помощи арифметических действий над величинами с позиционным представлением по основанию p. Выше он рассматривался (метод деления для перевода чисел из десятичного представления в недесятичное) для частного случая когда p= 10, а q произвольно.
Метод 2. Умножение на p, при помощи арифметики основания q. Выше он рассматривался (метод перевода чисел из недесятичного представления в десятичное) для частного случая когда p произвольно, а q= 10.
Заметим, что на практике достаточно сложно выполнять арифметические действия над числами, записанными в системе счисления с произвольным основанием. Поэтому преобразование из системы с основанием p в систему с основанием q, когда p и q произвольные целые положительные числа, выполняется с использованием промежуточной системы счисления, выбираемой по соображениям удобства (десятичной, если вычисления производятся вручную и двоичной, если на компьютере).