posobie_Predel_funktsii_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение. lim n −

Решение. lim n −

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

= lim

= ,

n→∞

сократим дроби

= lim

3(1 + 0)

n→∞

3 1

Ответ:

lim

(n +1)!- n!

n→∞ 3(n2 +1)(n -1)!

Пример

1.23.

Вычислите

предел

последовательности

(n +1)!- n2 (n -1)!

lim

n→∞

Решение.

lim

(n +1)!- n2 (n -1)!

n→∞

Наименьший из факториалов (n −1)!, поэтому выражаем все факториалы

через него

n! = (n -1)!× n ,

(n +1)! =1× 2 ×…× (n -1) × n ×(n +1) = (n -1)!× n × (n +1) ,

подставим

= lim

(n -1)!× n ×(n +1)

- n2 ×(n -1)!

= ,

n→∞

вынесем общий множитель

= lim

(n -1)!×(n2 + n - n2 )

(n -1)!× n

n→∞

приведем подобные и сократим

. = lim

(n -1)!×(n)

=1.

n→∞

(n -1)!× n

Ответ:

lim

(n +1)!- n2

(n -1)!

=1.

n→∞

	32
Неопределенность типа ¥	в случае показательных выражений
¥
Пример 1.24. Вычислите предел lim		4n+1	- 7n+1		.
Пример 1.24. Вычислите предел lim			+	7n	.
	n→∞ 4n		+	7n
Решение. Последовательности {4n}			и	{7n } бесконечно большие

положительные последовательности, их сумма бесконечно большая

последовательность, а разность является	бесконечно большой	как
произведение бесконечно большой {7n }	4n+1
	и сходящейся	−1

	7n+1

4 lim

n→∞ 7

n+1

	4	n+1
= 0 , lim

n→∞	7

-1 = -1.

Таким образом, получаем неопределенность

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n . После

преобразований получим:

4n+1 - 7n+1

4n+1

n+1

- 7

n+1

- 7

4 ×

- 7

= lim

== lim

= lim

= -7 .

lim

+ 7n

4n + 7n

4 n

n→∞ 4n

n→∞

(Так как при n → ∞ выражение

стремится к нулю по свойству

(m2) ).

Ответ: lim

4n+1 - 7n+1

= -7 .

4n +

n→∞

Пример 1.25. Вычислите предел последовательности lim

5 ×3n−1 - 7 ×5n+1

Решение.

n→∞ 8 ×5n + 3 × 4n+2

Последовательности {3n−1} , {5n+1} ,

{5n} , {4n+2}

–

бесконечно большие,

разделим числитель и знаменатель на 5n−1

5 ×3n−1

7 ×5n+1

= lim

n−1

= ,

8 ×

3 ×

n+2

n→∞

n−1

= 5 ×5n−1 , 4n+2 = 43 × 4n−1 ,

разложим степени на множители 5n+1 = 52 ×5n−1 , 5n

5 ×

3n−1

- 7 ×

52 ×5n−1

n−1

= lim

= ,

n−1

n→∞

×5

+ 3 ×

4 × 4

5n−1

сократим

в тех случаях,

когда

это

возможно и применим свойства

3n−1

n−1

4n−1

4 n−1

степеней

n−1

5 ×

- 7 ×52

= lim

= ,

n−1

n→∞

×5

+ 3 ×

n−1

4 n

так как lim

= 0 и

lim

= 0

n→∞ 5

n→∞

получим

= -

35 ×5

= -

8 ×5

Ответ: lim

5 × 3n−1 - 7 × 5n+1

= -

n→∞ 8 × 5n + 3 × 4n+ 2

Неопределенность ¥

с логарифмами

Пример

1.26.

Вычислите

предел

последовательности

lim

ln (n3 + 2n +1)

+ 4n5 + 3)

n→∞ ln (n8

Решение.

{ln (n3 + 2n +1)},

{ln (n8 + 4n5 + 3)}

Так

как

последовательности

бесконечно большие

lim

ln (n3 + 2n +1)

= ,

n→∞ ln (n8 + 4n5 + 3)

вынесем старшую степень за скобку под знаком логарифма

ln n

= lim

= ,

n→∞

ln n

воспользуемся свойством логарифма: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей

ln n

= ln (n

) + ln 1

)

ln n

= ln

+ ln

1 +

подставим

ln (n3 )+ln 1

= lim

= ,

n→∞

ln (n8 )+ln 1

применим еще одно из свойств логарифма ln (nk ) = k × ln n

3 ln n +ln 1

= lim

= ,

n→∞

8 ln n +ln 1 +

умножим на

числитель и знаменатель почленно

ln n

3 + ln

ln n

= lim

n→∞

8 + ln

ln n

последовательности

ln 1

–

ln n

бесконечно малые, тогда используя арифметические свойства пределов

последовательностей, получим исходный предел равен

ln (n3 + 2n +1)

Ответ: lim

n→∞ ln (n8 + 4n5 + 3)

Неопределенность вида

[¥ - ¥] в случае разности дробей

Пример

1.27. Вычислите

предел числовой

последовательности

lim n -

n -1

n→∞

имеем неопределенность вида [∞ − ∞] , для того чтобы ее раскрыть приведем дроби к общему знаменателю

n(n −1) − n2
= lim		= ,
= lim	n −1	= ,
n→∞	n −1

раскроем скобки, приведем подобные

n2		− n − n2
= lim
		n −1
n→∞

	− n	= ,
lim

n→∞ n −1

получили неопределенность вида

∞

разделим на наибольшую

∞

степень n почленно числитель и знаменатель,

учтем бесконечно малые и

вычислим предел

−1

= lim

= −1.

n→∞

1 −

Ответ: lim n −

= −1.

n −1

n→∞

Неопределенность вида [∞ − ∞] в случае разности радикалов

Неопределенность вида [∞ − ∞] , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или

приводится к типу ∞		путем домножения и деления на одно и то же
∞

выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней последовательность домножается на сопряженное

выражение и применяется формула разности квадратов

(a − b )(a + b ) = a − b .

В случае кубических корней последовательность домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула разности кубов

( 3a − 3b )(3a2 + 3ab + 3b2 ) = a − b .

Пример

1.28.

Вычислите предел числовой последовательности

(

−

) .

lim

9n + 2

4n −1

n→∞

Решение.

Последовательности {

} , {

} –

9n + 2

4n −1

бесконечно большие, тогда

имеем

разность

двух

положительных

бесконечно

больших

последовательностей.

Вид неопределенности [∞ − ∞] . Эту неопределенность

раскроем с помощью домножения на сопряженное выражение.

lim (

−

) = ,

9n + 2

4n −1

n→∞

умножим и разделим на сопряженное (

) ,

9n + 2

4n −1

(

−

)(

)

= lim

9n + 2

4n −1

9n + 2

4n −1

= ,

n→∞

9n + 2 +

4n −1

используем формулу разности квадратов

(

)2 − (

9n + 2

4n −1

= lim

= ,

n→∞

9n + 2 + 4n −1

= lim

(

9n + 2)− (4n −1)

= ,

n→∞

9n + 2 + 4n −1

приводим подобные

= lim

5n + 3

n→∞

9n + 2 +

4n −1

после преобразований получили дробь, у которой числитель и

знаменатель бесконечно большие последовательности ({5n + 3} , {

} ,

9n + 2

{

}

и {

}

4n −1

бесконечно большие а, следовательно,

9n + 2

4n −1

бесконечно большая). Возникает неопределенность

∞∞ , которую раскроем

делением числителя и знаменателя на n в наибольшей степени знаменателя, в нашем случае на n .

5n + 3

= lim

= ,

n→∞

9n + 2 +

4n −1

разделим почленно числитель и знаменатель

= lim

= ,

n→∞

9n + 2

4n -1

n→∞

+ 4

−

в числителе сумма бесконечно большой положительной последовательности и бесконечно малой, их сумма бесконечно большая, а в

знаменателе сумма сходящихся последовательностей lim

9 +

= 3,

n→∞

lim

4 −

= 2 , поэтому предел частного равен ∞ .

n→∞

lim (

) = ∞ .

−

Ответ:

9n + 2

4n −1

n→∞

Пример 1.29. Вычислите предел последовательности lim n(

- n) .

n2 +1

n→∞

Решение. Вид неопределенности можно записать так ¥ ×(¥ - ¥) ,

имея

в виду то, что бесконечно большая последовательность умножается на разность бесконечно больших положительных, поэтому прежде всего преобразуем выражение:

lim n(			- n) = ,
	n2	+1
n→∞

домножим на сопряженное

= lim	n(n2 +1		- n2 )			= ,
= lim						= ,
n→∞		n2 +1 + n
приведем подобные
= lim		n			= ,


n→∞		n2 +1		+ n

степени числителя и знаменателя совпадают, разделим на n

= lim		1		=	1	.
= lim				=		.
n→∞	+	1	+1	2
1		1		2
1		n2
		n2

Ответ: lim n(		- n)=	1	.
	n2 +1

n→∞	2

Пример 1. 30. .Найдите limn→∞ ((n + 2 - n +1 )cos n) .

Решение. Последовательность xn = cos n ×(n + 2 - n +1 ) является произведением двух последовательностей {cos n} и {n + 2 - n +1} .

Последовательность {cos n} ограничена, так как cos n £1 для всех натуральных значений n .

Вычислим limn→∞ (n + 2 - n +1 ) . limn→∞ (n + 2 - n +1 ) = ,

последовательность {n + 2 - n +1 } – разность бесконечно больших

положительных последовательностей, поэтому раскрываем неопределенность вида [¥ - ¥] в случае разности радикалов, домножим на сопряженное

(

)(

)

= lim

n + 2

n +1

n + 2

n +1

= ,

n→∞

(

n + 2 +

n +1 )

применим формулу разности квадратов

= lim

(

n + 2)

- (n +1)

= ,

n→∞

n + 2 +

n +1

раскроем скобки и приведем подобные

= lim

n + 2 − n −1

= = lim

= ,

n→∞

n + 2 +

n +1

n→∞

n + 2 +

n +1

последовательность {

}

n + 2

n +1

является бесконечно большой как

сумма бесконечно больших,

тогда последовательность

n + 2

+ n +1

является бесконечно малой. Поэтому получаем, что lim

= 0 .

n→∞

n + 2 +

n +1

xn = cos n ×(

) по

Предел последовательности

n + 2

n +1

теореме о

произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную равен нулю.

				((		-		) × cos n) = 0 .
	Ответ: lim			((	n + 2	-	n +1	) × cos n) = 0 .
		n→∞
	Пример		1.31. Вычислите						предел числовой последовательности
	(3		+ n).
lim	(3	5 - n3	+ n).
n→∞									{3		} – отрицательная бесконечно
	Решение.			Последовательность					{3	5 - n3	} – отрицательная бесконечно

большая последовательность, поэтому имеем дело с неопределенностью вида

[¥ - ¥] .

Для

раскрытия

неопределенности

применим

формулу

(a ± b)(a2 ab + b2 ) = a3 ± b3 .

Положим a = 3

, b = n , а затем умножим и разделим на неполный

5 − n3

квадрат разности выражения (3

− n) , получим

5 − n3

(

)

(

)

3 5 - n3

+ n

5 - n3

- 3 5 - n3 × n + n2

lim (3

+ n) = lim

= ,

5 - n3

(

)

n→∞

3 5 - n3

- 3 5 - n3 × n + n2

раскроем скобки, приведем подобные

lim

5 - n3 + n3

= lim

n→∞

)2 - 3

× n + n2

n→∞ (3

5 - n3

- 3 5 - n3 × n + n2

так как знаменатель дроби сумма трех положительных бесконечно больших последовательностей, а поэтому бесконечно большая последовательность. Тогда полученный предел равен нулю.

Ответ: lim (3 5 - n3 + n) = 0 .

n→∞

Пример 1.32. Вычислите предел последовательности

	3
		( n + 2 - 2 n +1 +
lim n 2		( n + 2 - 2 n +1 +	n ) .
n→∞

Решение. Используя арифметические свойства пределов последовательностей вычислить предел не возможно, поэтому преобразовываем выражение, сначала перегруппируем слагаемые

	3
		(( n + 2 +		= ,
lim n 2		(( n + 2 +	n ) - 2 n +1 )	= ,
n→∞

домножим и разделим выражение на (( n + 2 + n ) + 2 n +1 )

×((

)2 -

4(n +1))

= lim

n + 2

= ,

n→∞

n + 2 + n + 2 n +1

воспользуемся формулой разности квадратов

(n + 2 + 2

+ n − 4n − 4)

n2 + 2n

= lim

= ,

n→∞

n + 2 +

n +

2 n + 1

приведем подобные в числителе

× 2(

(n +1))

n2 + 2n

= lim

= ,

n→∞

n + 2 + n + 2 n +1

еще

раз

домножим

на сопряженное выражение к числителю

(

+ (n +1))

n2 + 2n

(

(n +1))(

+ (n +1))

× 2

n2 + 2n

= lim

= ,

(

)(

n2 + 2n + (n +1))

n→∞

n + 2

+ 2

n +1

опять раскроем скобки

×(n2 + 2n - (n2 + 2n +1))

= lim

= ,

(

)(

n2 + 2n + n +1)

n→∞

n + 2

+ 2

n +1

приведем подобные

× (-1)

= lim

= ,

(

)(

n2 + 2n + n +1)

n→∞

n + 2

+ 2

n +1

в числителе бесконечно большая отрицательная последовательность, в знаменателе произведение положительных бесконечно больших

последовательностей, то есть, раскрываем неопределенность вида .

Степень

числителя

, наибольшая

степень

знаменателя

первый

множитель в знаменателе имеет степень

, а второй 1, произведение имеет

степень равную сумме степеней.

Разделим числитель и знаменатель на n

= n

n , получим

= lim

2 ×(-1)

= ,

(

)( n2 + 2n + n +1)

n→∞

n + 2

+ 2

n +1

× n

представим произведение дробей в знаменателе в виде

a ×b

2 ×(-1)

n × n

= lim

= ,

(

)

(

n2 + 2n + n +1)

n→∞

n + 2

+ 2

n +1

×n

разделим почленно радикалы в первом множителе знаменателя, во втором множителе разделим почленно и внесем n под знак радикала

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб56Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб5polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб5Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб28polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб18portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб12posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
28.08.201980.38 Кб10Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб49Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб27Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб1966Praktikum_po_mat.doc
#
23.08.2019138.24 Кб7prav_ref реферат.doc