Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie_Predel_funktsii_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

= lim

4n3 + 6n2 +12n + 5

-3(n3 + n2 + n)

n→∞

разделив числитель и знаменатель на их старшую степень n3 , получим

4 +

= lim

n→∞

-3 1

поскольку

последовательности

вида

–

бесконечно малые,

используя свойства предела, получаем

lim 4 +

= -

1 n→∞

= -

lim

n→∞

Ответ: lim

(n -1)4 - (n + 2)4

= -

n→∞ (2n +1)3 + (n -1)3

Неопределенность вида ¥

в пределах с радикалами

Пример 1.15. Вычислите предел последовательности lim

+ 2

n→∞ 3n

-1

Решение. Последовательности в числителе и знаменателе бесконечно

большие, поэтому имеем неопределенность вида

+ 2

lim an

= lim

-1

n→∞

Степень числителя определим следующим образом: наибольшая степень

под знаком радикала многочлен степени 2 , корень квадратный –

степень

тогда степень числителя

× 2 , степень знаменателя 1, разделим числитель

и знаменатель на n , получаем:

n2 + 2

= lim

3n -1

n→∞

в числителе n вносим под знак корня и в знаменателе почленно разделим на n , получаем:

	1 +	2
	1 +	n2
		n2
= lim			= ,
= lim			= ,
n→∞	3 -	1
	3 -	n
		n

учитывая, что последовательности	1	,	1	бесконечно малые и их
			n2
	n

пределы равны нулю, используем теоремы об арифметических операциях над сходящимися последовательностями

1 + 0

3 - 0

Ответ: lim

n2 + 2

3n −1

n→∞

Пример

1.16.

Вычислите предел

числовой

последовательности

lim

n 3 4n2

4n8 + 1

(n + 2

)

n→∞

7 − 2n + n2

Решение.

Определим

вид

неопределенности: в

числителе

сумма бесконечно

больших положительных последовательностей { n 34n2 } и { 44n8 +1 } , а в знаменателе произведение бесконечно больших { n + 2n } , { 7 − 2n + n2 } ,

то есть и в числителе и знаменателе имеем бесконечно большие последовательности.

Таким образом, раскрываем неопределенность вида

∞

Определим степени числителя и знаменателя.

– 1 +

Степень

числителя 2 , так как степень n

4n2

, степень

×8

+1 –

4 4n

, степень суммы наибольшая степень слагаемых.

Степень знаменателя 2 , так как степень множителя ( n + 2n ) – это 1 и

				1	× 2
	7 - 2n + n2	–				,
степень множителя							а степень произведения равна

			2

сумме степеней множителей.

Разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень n ,

встречающуюся в дроби, то есть на n2 :

n 3 4n2 + 4 4n8 +1

lim

= ,

(n + 2

)

n→∞

7 -

2n + n2

разделим почленно

n 3 4n2

4n8 +1

lim

= ,

n→∞

(n + 2 n )

7 - 2n + n2

сократим первую дробь в числителе и почленно разделим первую дробь в знаменателе

3 4n2

4n8 +1

= lim

= ,

n→∞

+ 2

7 - 2n + n2

внесем знаменатели под знак корня

4n2

+ 4

4n8 +1

= lim

= ,

n→∞

+ 2

7 - 2n + n2

сократим дроби и разделим почленно выражения под знаками корней

+ 4 4 +

= lim

= ,

n→∞

+ 2

- 2

учитывая что

бесконечно малая, получаем

+ 4

4 + 0

4 4

= 2 .

(1 + 0)

0 - 2 × 0 +1

n3 4n2

+ 4 4n8 +1

Ответ: lim

= 2 .

n→∞ (n + 2

)

7 - 2n + n2


lim	n 7	n	+ 4 16n8 + 5

	(n + 3				) 5 n5 −1 .
Пример 1.17. Найдите предел n→∞	(n + 3			n	) 5 n5 −1 .

Решение. Последовательности в числителе и знаменателе являются бесконечно большими последовательностями. Определим степени слагаемых

в числителе n 7

n = n 7

= n7

4 n8 = n4

= n2 , степень первого слагаемого равна

8 , степень второго слагаемого 2 , следовательно, можно сказать, что степень

числителя равна двум (показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых).

Определим степени множителей в знаменателе: степень первого множителя – 1 ( рассуждения подобные рассуждениям для степени числителя приводят к этому результату, постарайтесь провести их самостоятельно), степень второго множителя также 1, тогда степень знаменателя – 2 (показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей).

Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на n2 – на старшую степень и числителя и знаменателя.

Получим

4 16 +

n 7 n + 4 16n8

+ 5

= lim

lim

(n + 3 n ) 5 n5

−1

n→∞

1−

n 3

поскольку lim	1	= 0 при k > 0 , то

n→∞ nk

lim

= 0 ,

lim

1 +

= 1,

n→∞

n 7

n 3

lim 5 1 −

16 +

= 4

= 2

= 1 ,

lim 4

n→∞

используя свойства пределов, получаем

lim

+ 4 16 +

n→∞

= 2 .

lim 1+

5 1−

n→∞

n 3


	lim	n 7 n	+ 4 16n8 + 5			= 2

Ответ:		(n +			) 5 n5 −1		.
Ответ:	n→∞	(n +	3	n	) 5 n5 −1		.

Пример 1.18. Вычислите предел последовательности

lim

4 16n6 + 1 − 3 8n2 + 5 +

n + 4

n→∞

4 n5 + 2 −

25n3 + 7

Решение.

− 3

16n6 + 1

8n2 + 5

lim

n + 4

= ,

4 n5 + 2 − 25n3 + 7

n→∞

пределы слагаемых и в числителе и в знаменателе не существуют, поэтому сначала преобразуем выражение. Определим старшие степени: в

числителе три

слагаемых

соответственно

степеней:

× 6 =

× 2 ,

следовательно,

степень

числителя

равна

аналогично,

в знаменателе

степени слагаемых

× 5 и

× 3 , тогда степень знаменателя

n3 :

Разделим числитель и знаменатель на n2

4 16n6 +1 - 3 8n2 + 5 +

n + 4

= lim

= ,

4 n5 + 2 -

25n3 + 7

n→∞

разделим почленно выражения в числителе и знаменателе

3 8n2 + 5

4 16

n + 4

= lim

= ,

n→∞

+ 2

25n

+ 7

преобразуем радикалы к одной степени

(8n2 + 5)2

16n6 +1

n + 4

= lim

4 n6

(n3 )3

= ,

n→∞

+ 2

25n

+ 7

4 n6

используем свойство корней (частное корней равно корню из частного)

16n6 + 1

− 6

64n4 + 80n2 + 25

n + 4

= lim

= ,

n→∞

+ 2

−

25n

+ 7

почленно разделим числитель на знаменатель в каждом радикале

16 +

+ n9

+ n3

= lim

= ,

n→∞

25 +

= 0 , получаем

учитывая что lim

n→∞ xk

- 6

-5

4 0 -

− 3

16n6 + 1

8n2 + 5

Ответ: lim

n + 4

= −

n→∞

4 n5 + 2 − 25n3 + 7

+ 3

Пример 1.19. Вычислите предел lim

n2 + 3n −1

2n2 + 4

n→∞

n + 3sin n

Решение.

{

}, { 3

}

Последовательности

n2 + 3n -1

2n2 + 4

– бесконечно большие,

тем самым имеем в числителе бесконечно большую последовательность, а в знаменателе последовательность { n + 3sin n} бесконечно большая как сумма бесконечно большой последовательности {n } и ограниченной последовательности { sin n} ( −1 ≤ sin n ≤ 1), то есть, имеем неопределенность

вида ¥ .

Определим наибольшую степень числителя: степень первого слагаемого

числителя n2 + 3n -1 –

× 2

3 2n2

+ 4 –

× 2

второго слагаемого

старшая степень суммы –

наибольшая степень слагаемых,

таким образом

старшая степень числителя 1, а степень знаменателя 1.

Разделим числитель и знаменатель дроби на n в старшей степени числителя и знаменателя, то есть на n .

n2 + 3n -1

3 2n2 + 4

lim

= ,

sin n

n→∞

+ 3 ×

внесем n под знак радикала

n2 + 3n -1

+ 3

2n2

+ 4

= lim

= ,

sin n

n→∞

1 + 3 ×

разделим почленно

1 +

+ 3

= lim

= ,

sin n

n→∞

1 + 3 ×

так

как

–

бесконечно

малая последовательность

произведение

бесконечно малой последовательности на ограниченную –

есть бесконечно

малая

последовательность,

поэтому

последовательность

×sin n

бесконечно малая.

3 0

=1 .

+ 3

Ответ:

lim

n2 + 3n + 1

2n2 + 1

= 1.

n + 2sin n

n→∞

Неопределенность вида

∞

в случае арифметической прогрессии

∞

Чтобы раскрыть неопределенность вида

∞

в случае арифметической

∞

прогрессии

надо воспользоваться формулой суммы первых n

членов

арифметической прогрессии: Sn

a1 + an

× n .

Пример

1.20.

Вычислите

предел

числовой последовательности

lim

3n2

- 7

+ ... + n

n→∞ 1 + 2 + 3

Решение.

В знаменателе стоит сумма первых n членов арифметической прогрессии, так как число слагаемых меняется в зависимости от значения n , то определить вид неопределенности еще невозможно. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.

В нашем случае a = 1 , a

= n , тогда S

1 + n

× n .

Получаем,

3n2 - 7

= lim

3n2 - 7

lim

n→∞ 1 + 2 + 3 + ... + n

n→∞

1 + n

× n

= lim

6n2 -14

= ,

n + n2

n→∞

теперь

можно определить вид неопределенности: числитель и

знаменатель – многочлены второй степени относительно n , поэтому сразу

можем сказать что вид неопределенности

, степени многочленов 2 ,

значит разделим на n2 и числитель, и знаменатель

6n2

6 + 0

= lim

= 6 .

n→∞

2 +

Ответ: lim

3n2

- 7

= 6 .

+ 2 + 3

n→∞ 1

+ ... + n

Неопределенность вида ¥ в случае геометрической прогрессии

Чтобы раскрыть неопределенность вида	¥	в случае геометрической
	¥


прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых n членов
геометрической прогрессии: Sn =							b1 (qn -1)		.

								q -1
Пример 1.21. Вычислите предел числовой последовательности
	7	+1 +	91	+ ... +	3n + 4n
lim								.
						n
	5		125		5
n→∞

Решение.

Данная последовательность представляет собой сумму двух геометрических прогрессий:

	7		+1 +						91				+ ... +					3n + 4n			=			3 + 4				+		9 +16				+		27 + 64					+ ... +	3n + 4n	= ,
5																																				125						5n
						125													5n							5	25
разделим почленно все числители на знаменатели
=		3			+		4			+		9			+		16		+	27		+			64		+ ... +					3n			+		4n	= ,
																																					5n
5 5 25 25 125																							125									5n
перегруппируем слагаемые
				3				9						27						n						4			16				64			+		4	n
=						+					+					+ ... +				3			+				+				+									.
																				n
				5		25							125													5	25 25
																				5																		5

Применим формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Для первой прогрессии b =															3	, q =				3		,
Для первой прогрессии b =																, q =						,
											1		5								5
													5								5
	b1 (q			-1)			3		3			n
			n										-1						3
			n										-1						3
							5			5									5					3 n
Sn =						=											=		5
Sn =		q -		1		=			3								=
		q -		1					3												2			5
											-1		-
									5		-1		-								5
									5												5
Для второй прогрессии b =														4		, q =					4		,
Для второй прогрессии b =																, q =							,
											1		5								5
													5								5
	b1 (q			-1)			4		4			n
			n										-1						4
			n										-1						4
							5			5									5					4 n
Sn =						=												=	5
Sn =		q -		1		=			4									=
		q -		1					4												1			5
											-1		-
									5		-1		-								5
									5												5
Тогда
	7	+1		+	91		+ ...	3n + 4n
lim															=,
lim											n				=,
	5				125				5		n
n→∞	5				125				5

подставляем полученные суммы

		3	3	n
-1	= -				-1 .
-1	= -	2	5		-1 .
		2	5

		4	n
-1	= -4			-1 .

		5

				3		3 n							4 n
= lim			-		×			-1		+ -4 ×					-1	= ,
= lim			-	2	×			-1		+ -4 ×					-1	= ,
n→∞				2		5							5

так как				3	n	и		4	n	бесконечно малые последовательности, получим
так как					n	и			n	бесконечно малые последовательности, получим
				5			5
= −	3	(0 −1) − 4(0 −1) =								3	+ 4 =	11		.
= −		(0 −1) − 4(0 −1) =								2	+ 4 =			.
2										2			2

						30
	7	+1	+	91	+ ... +	3n + 4n	=	11
Ответ: lim									.
Ответ: lim						n			.
	5			125		n		2
n→∞	5			125		5		2

Неопределенность вида	¥	в случае факториалов

¥
Чтобы раскрыть неопределенность вида			¥	в случае факториалов

		¥

надо выразить все факториалы последовательности через наименьший и сократить на него.

	Пример 1.22.	Вычислите предел числовой последовательности
lim	(n +1)!- n!	.

n→∞ 3(n2 +1)(n -1)!

Решение.

По определению n! =1× 2 ×...× (n -1) × n .

Поэтому, числитель и знаменатель стремятся к ∞ , то есть мы имеем

неопределенность вида	¥	. Выберем наименьший факториал и выразим

¥

через него все остальные. В нашем примере наименьшим будет (n -1)! ,

отсюда n! = (n -1)!× n , (n +1)! = (n -1)!× n ×(n +1) .

Тогда

lim	(n -1)!n(n +1) - (n -1)!n	= ,

n→∞	3(n2 +1)(n -1)!

вынесем в числителе (n -1)! за скобку,

= lim (n −1)!(n(n + 1) − n) = ,

	3	(	n		)	(n −1)!
n→∞	3		n	2	+ 1	(n −1)!
n→∞				2
раскроем скобки
= lim	(n −1)!(n2 + n − n)						= ,

				+ 1)(n −1)!
n→∞ 3(n2				+ 1)(n −1)!

приведем подобные и сократим на (n −1)! ,

= lim	n2		= ,
		+ 1)
n→∞ 3(n2

разделим на n2

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб56Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб5polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб5Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб28polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб18portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб12posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
28.08.201980.38 Кб10Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб49Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб27Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб1966Praktikum_po_mat.doc
#
23.08.2019138.24 Кб7prav_ref реферат.doc