Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

2 семестр / Лекции по ВМ2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

8. Формула Тейлора

окрестности точки t = t0, то t равенство (формула Тейлора):

F (t) = F (t0) + F (t0)(t − t0) +

+ 1 F (n+1)(t0 + θ(t −

(n + 1)!

из этой окрестности справедливо

... + n1! F (n)(t0)(t − t0)n+

t0)) · (t − t0)n+1, где 0 < θ < 1.

Положим

−k

t = dt.

Так

как F (k)(t

)(t

− t0)

(k)

t0 k

−

= F

(t0)(dt)

= d F

, то, обозначив F (t)

F (t0) через

t=t0

в виде

формулу Тейлора запишем

u = dF

+ ... + 1 dnF

dn+1F

t=t0

(n + 1)!

t=t0+θ(9.28)

Таким образом, формула (9.28) — это обычная формула Тейлора для фукнции одной переменной, но записанная в специальном виде — через дифференциалы функции.

Для функции многих переменных имеет место аналогичная

формула.

Теорема 19. Если функция u = f(x1, ... , xm) (n + 1) раз диф-

точки

ференцируема в

-окрестности точки

0, ... ,

, то

M x1 +

x1, ... , xm +

xm из этой ε-

окрестности приращение

u = f(M) − f(M0)

можно представить в виде

функции

u = du|M0 +

d2u M0

... +

dnu M0

(n + 1)!

dn+1u N(9.29),

где N — некоторая точка,

лежащая на

отрезке M M, а диффе-

ренциалы dku вычисляются по формуле

dku =

∂

x1 + ... +

∂x1

∂xm

Формула (9.29) называется формулой Тейлора для функции u = f(M) с центром разложения в точке

M0. Доказательство.

+x1, ... , x0m + xm) изЗафиксируем точку M(x0

указанной

ε-окрестности

Рис. 9.21.

Гл. 9. Функции многих переменных

точки M0 (рис. 9.21). Уравнения отрезка M0M можно записать

в виде

x1 = x10 + t

x1, ... , xm = xm0 + t

xm,

0 t 1.

(9.30)

Точка M0 соответствует t = 0, точка M соответствует t = 1.

На отрезке M0M имеем:

u = f

x10 + t

x1, ... , xm0 + t

=: F (t) —

)

F (t) (n +

раз

сложная функция одной переменной

причем

дифференцируема на отрезке 0 t 1.

Заметим, что

u = f(M) − f(M0) = F (1) − F (0).

(9.31)

Применим к разности F (1) − F (0) формулу (9.28). Для этого

в формуле (9.28) нужно положить t0 = 0, t = 1, dt =

t = 1 −

− 0 = 1. Получим

1 n

n+1

+ (n + 1)! d F

F (1) − F (0) = dF |t=0

+ ... + n! d F t=0

t=θ.

(9.32)

Так как x

, ... , x

функции

— линейные

переменной t

(см.(9.30)), то дифференциалы d F можно вычислить по формуле (9.25) (см. замечание на стр. 50), то есть

∂

dkF t=0 =

dx1

+ ... +

dxm u M0

k = 1, 2, ... , n,

∂x1

∂xm

где dx1, ... , dxm — дифференциалы функций

(9.30): dx1 = dt

· x1 =

x1, ... , dxm = dt ·

xm =

xm. Итак,

(9.33)

∂

dkF

+ ... +

= dku

, k = 1, 2, ... , n,

t=0

∂x1

∂xm

m u M0

и, аналогично,

dn+1F

∂

t=θx1 + ... +

∂

n+1 u

∂x1

∂xm

x1,...,xm0 +θ xm)

N(x10+θ

= d

N .

(9.34)

Так как 0 < θ < 1, то точка N лежит на отрезке M0M. Подставляя выражения (9.33) и (9.34) в правую часть ра-

венства (9.32) и учитывая (9.31), приходим к формуле (9.29). Теорема доказана.

8. Формула Тейлора

Следствия.

1.При n = 0 из (9.29) получаем формулу Лагранжа конечных приращений для функции многих переменных:

u = f

x10

x1, ... , xm0 + xm

− f

x10

, ... , xm0

∂f

(N)Δx + ... +

∂f

(N)Δx .

∂x1

∂xm

2. Формулу Тейлора можно записать не через дифференциалы функции, а через ее производные. Для этого нужно раскрыть выражения для дифференциалов dku:

∂

u M0

dku

x1 +

∂x1

∂xm

∂

···

(M0)Δxi1 ...

xik ,

=1 i

∂xi1 ... ∂xik

i!1

ik!

в частности, d2u M0

∂

= i,j=1

(0M0)Δxi

xj.

∂xi∂xj

Кроме того, положим

1, ... ,

. Тогда из

xi = xi − xi (i =

(9.29) получим равенство

f(x

, ... , x

) = f

x0, ... , x0

∂f

(M ) x

+ ... +

∂x

0 2

∂f

1 ∂2f

−

(M0) xm

(M0) x1

+ ... +

∂x

−

∂nf

∂x1

(M )

m −

+ R

=: P

, ... , x

) + R

n! ∂xmn

n+1

где Pn (x1, ... , xm) — многочлен, зависящий от x1, ... , xm

(степень которого не превосходит n), обладающий тем

свойством, что все его частные производные до n-го по-

рядка включительно в точке M0 равны соответствующим

частным производным функции f(x1, ... , xm) в точке M0

(он называется многочленом Тейлора функции f(M)), а

Rn+1 =

dn+1u N — остаточный член.

(n + 1)!

Замечание.

Положим

= ρ(M0, M) =

+ ... + x2 .

Нетрудно доказать, что при условии теоремы 19 справедливо равенство Rn+1 = o(ρn). Это выражение называется формой Пеано остаточного члена. Как и в случае функции одной переменной

54 Гл. 9. Функции многих переменных

остаточный член в форме Пеано можно получить при более слабых требованиях, чем в теореме 19. В частности, для n = 2

справедлива

Теорема 19а. Если функция u = f(M) дважды дифференцируема в точке M0, то приращение функции u = f(M) − f(M0)

можно представить в виде

u = du|M0 +

d2u M0

+ o ρ2

(9.35)

где ρ = ρ(M0, M).

Доказательство. Введем функцию

g(M) = f(M) − f(M0) − du|M0 −

d2u M0 .

Нам нужно доказать, что

(M) = o ρ2

при ρ

0. Запишем

более подробное выражениеgдля g(M):

→

g(M) = g(x1, ... , xm) = f(M) − f(M0) −

m ∂f

(M0)

xi − xi0

−

∂xi

∂2f

−2

, =1

∂xi∂xj (M0) xi − xi

xj − xj .

Нетрудно проверить, что

g(M ) = 0,

∂g

(M ) = 0,

∂2g

(M ) = 0, i, j = 1, ... , m. (9.36)

∂xi

∂xi∂xj

Функция g(M) отличается от дважды дифференцируемой в точке M0 функции f(M) на многочлен второй степени, поэтому функция g(M) также дважды дифференцируема в точке M0, то есть g(M) дифференцируема в некоторой ε-окрестности точки

и ее частные производные

∂g

дифференцируемы в точке M .

∂xi

∂g

По определению дифференцируемости приращение функции

∂xi

в точке M0 можно представить в виде

m i

−

∂g

(M)

∂g

(M ) = d

∂g

+ o(ρ) =

∂x

∂ g

(M0) xj − xj

+ o(ρ).

∂xj ∂xi

9. Локальный экстремум

	Отсюда, учитывая равенства (9.36), получаем:				∂g	(M) = o(ρ),
	Отсюда, учитывая равенства (9.36), получаем:				∂xi	(M) = o(ρ),
где ρ = ρ(M0, M).					∂xi
где ρ = ρ(M0, M).
жа:	Запишем теперь разность g(M) − g(M0) по формуле Лагран-
жа:	m
	m	∂g	(N) xi − xi0
	g(M) − g(M0) =			,		(9.37)
	g(M) − g(M0) =	∂xi		,		(9.37)
	=1
	i

где N — некоторая точка на отрезке M0M. Так как ρ(M0, N)ρ(M0, M) = ρ, то

∂g

∂xi (N) = o (ρ(M0, N)) = o(ρ),

апоскольку g(M0) = 0 и xi − x0i ρ, то из равенства (9.37)

следует:

m
i
g(M) =	o(ρ) xi − xi0	= o ρ2	.
=1

Теорема доказана.

Пример. Пусть u(x, y) = xy, M (1, 0). Тогда u(M ) = 1,

∂u

(M0) = 0,

∂u

(M0) = 0,

поэтому

du|M0

= 0,

∂x

∂y

а d2u

−

имеем

x = x§

dy =

y = y

0 = y,

равенства dx =

ρ(M0, M) = (x − 1) + y .

Применяя формулу (9.35), получаем:

u = x

−

= 2

−

2(x

1)y + o ρ2

откуда x

= 1 − y + xy + o

(x − 1) + y .

(1, 0)

В достаточно малой окрестности точки

для

прибли-

женного вычисления x

≈ 1 −

можно использовать формулу x

− y + xy.

§ 9. Локальный экстремум

Пусть функция u = f(M) определена в некоторой окрестно-

сти точки M0 Rm.

Определение. Говорят, что функция u = f(M) имеет в точке

M0 локальный максимум (минимум), если существует такая ε-

56 Гл. 9. Функции многих переменных

окрестность точки M0, в которой f(M) < f(M0) (f(M) > f(M0))

при M = M0.

Теорема 20 (необходимое условие экстремума). Если в

точке M

x0, ... , x0

функция u = f(x

, ... , x

) имеет локаль-

экстремум и если в точке

существует частная производ-

ный

∂u

ная

, то

(M0) = 0.

∂xk

Доказательство. Зафиксируем все аргументы функции, кроме xk,

положив xi = xi0 (i = k), и рассмотрим функцию одной перемен-

, ... , x

=: ϕ(xk). Эта функция име-

ной f x

k−1

, xk, x

k+1

, ... , xm

ет локальный экстремум в точке

xk = xk и имеет производную в

: ϕ (x0) =

∂u

точке x0

(M0). По теореме о необходимом условии

∂xk

экстремума для функции одной переменной ϕ (xk0 ) = 0, то есть

∂u

(M ) = 0. Теорема доказана.

∂xk

Следствие. Если функция u = f(M) имеет в точке M0 ло-

кальный экстремум и дифференцируема в точке M0, то

du|M0

∂u

(M0)dx1 +

... +

(M0)dxm = 0.

∂x1

∂xm

Замечание. Условие du|M = 0 является только необходимым, но не достаточным условием0 локального экстремума в точке M0 дифференцируемой функции. Приведем соответствующий при-

мер.

Пусть u = xy, тогда ∂u∂x(0, 0) = 0, ∂u∂y (0, 0) = 0, поэтому du|(0,0) = 0. Однако в точке O(0, 0) экстремума у данной функ-

ции нет, так как в любой окрестности точки O(0, 0) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то есть как значения, большие, чем u(0, 0) = 0, так и значения, меньшие u(0, 0).

Точку M0, в которой du = 0, будем называть точкой возможного экстремума дифференцируемой функции u(M). Чтобы установить, имеет ли функция в такой точке M0 экстремум или нет, нужны достаточные условия экстремума. Чтобы сформулировать такие условия, нам понадобятся некоторые сведения о квадратичных формах.

9. Локальный экстремум

Некоторые сведения о квадратичных формах

Функция

Q(x1, ... , xm) =		aijxixj =
	, =1
2	i j	2
= a11x1	+ a12x1x2 + ... + a1mx1xm + a21x2x1 + ... + ammxm,

где aij — числа, aij = aji, называется квадратичной формой от переменных x1, ... , xm.

Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если Q(x1, ... , xm) 0 ( 0)

(x1, ... , xm), причем Q = 0 лишь в начале координат, то есть

при x1 = ... = xm = 0.

Пример. Q(x1, x2) = x21 + 2x22 — положительно определенная квадратичная форма.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными.

Квадратичная форма называется квазизнакоопределенной, если она принимает значения либо только неотрицательные, либо только неположительные, но при этом обращается в нуль не

только в начале координат.

Пример. Q(x1, x2) = x21 − 4x1x2 + 4x22 = (x1 − 2x2)2 — ква-

зиположительно определенная квадратичная форма, поскольку она принимает, очевидно, только неотрицательные значения, но обращается в нуль не только в начале координат, например, Q(2, 1) = 0.

Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пример. Q(x1, x2) = 2x12 − 3x1x2 − x22						— знакопеременная
квадратичная форма: Q(1, 0) = 2 > 0, Q(0, 1) = −1 < 0.
Матрица	a21			······	a2m
A =	a21		a22	······	a2m
		a11	a12	···	a1m
		···	···	···	··
		···	···	···	··
	am1 am2			···	a·mm		!j
						i	!j
							m
называется матрицей квадратичной формы Q =							aijxixj.
							, =1

Отметим, что A — симметричная матрица, так как aij = aji.

58 Гл. 9. Функции многих переменных

Миноры

···

δ2 =

a11 a12

···

δ1 = a11,

a21 a22 , ... ,

a11

···

a1k

a11

···

a1m

···

, δm =

···

δk =

··· ···

, ...

···

akk

am1

ak1

amm

называются угловыми минорами матрицы A.

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

i	!j
	m
Для того, чтобы квадратичная форма Q =	aij xixj была
	, =1

положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы A были положительны:

δ1 > 0, δ2 > 0, ... , δm > 0.

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались следующим образом:

δ1 > 0, δ2 < 0, δ3 < 0, δ4 > 0, ... .

Достаточные условия экстремума

Для функции одной переменной y = f(x) достаточным усло-

вием минимума (максимума) в точке x0 является	условие
f (x0) = 0, f (x0) > 0 (< 0).
Это же условие можно записать через дифференциалы функ-
ции в точке x0:
dy\|x0 = f (x0) · x = 0, d2y x0 = f (x0) · (Δx)2 > 0 (< 0)	x = 0.

Аналогичное достаточное условие имеет место и для функции многих переменных.

Напомним, что для функции u = f(x1, ... , xm) первый и второй дифференциалы в точке M0 имеют вид:

		m	∂u
du\|M0 =					(M0) · xi,
du\|M0 =			∂xi		(M0) · xi,
		i=1
		m
		i j
					∂2u
d2u					∂2u
		=				(M0) · xi · xj (формула (9.26) из §7).
	M0	=		∂xi∂xj		(M0) · xi · xj (формула (9.26) из §7).
		, =1

		9. Локальный экстремум						59
Отметим, что	2	u M0	— квадратичная форма от переменных
x1, ... , xm.	d	u M0
Теорема 21.	Пусть			выполнены условия:			1)	функция
u = f(M) = f(x1, ... , xm)				дважды дифференцируема				в точке
M0(x10, ... , xm0 ); 2) du\|M0			= 0; 3) d2u M0		—	положительно (от-
рицательно) определенная квадратичная					форма от переменных
x1, ... , xm.
Тогда функция u = f(M) имеет в точке M0 локальный мини-
мум (максимум).						2
Доказательство. Рассмотрим случай, когда						2	— положи-
Доказательство. Рассмотрим случай, когда							— положи-
тельно определенная квадратичная форма.						d u M0
Согласно определению локального минимума							требуется до-

казать, что существует δ-окрестность точки M0, в которой для любой точки M (отличной от M0) выполнено неравенство

u = f(M) − f(M0) > 0.

Пусть M x10 +

x1, ... , xm0 +

— произвольная точка из

окрестности точки

теореме 19а

можно предста-

вить в виде

M0. Согласно

u = f(M) − f(M0) = du|M0 +

d2u M0 + o ρ2 ,

где ρ = ρ(M, M0) =

x12 + ... +

xm2 . Так как du|M0 = 0, то

u =

∂2u

(M )Δx

+ o ρ2

∂xi∂xj

ρ2 .

= 2ρ2

i,j=1 ∂xi∂xj (M0)

ρ i ·

ρ j +

∂ u

o ρ

Введем обозначения:

∂2u

(M ) = a

= h

∂xi∂xj

Q = , =1 aijhihj, α(ρ) = o ρ2 .

i j

ρ2

Тогда

u =

(Q + α(ρ)) ,

60	Гл. 9. Функции многих переменных
величины h1, ... , hm удовлетворяют равенству
	h12 + h22 + ... + hm2 = 1,	(9.38)
а α(ρ) → 0 при ρ → 0.
	Уравнение (9.38) является уравнением сферы радиуса 1 в про-

странстве Rm точек с координатами (h1, ... , hm). Квадратичная форма Q в силу условия 3 теоремы является положительно определенной, то есть Q > 0 h1, ... , hm, одновременно не равных нулю. В частности,

Q(h1, ... , hm) > 0 во всех точках сферы (9.38).

Кроме того, Q(h1, ... , hm) — непрерывная функция переменных h1, ... , hm, а сфера (9.38) — ограниченное замкнутое множество. По второй теореме Вейерштрасса функция Q достигает на сфере (9.38) своей точной нижней грани, то есть имеет на сфере (9.38) минимальное значение. Обозначим его буквой m. Тогда Q(h1, ...

... , hm) m > 0 на сфере (9.38).

Так как α(ρ) → 0 при ρ → 0, то δ > 0, такое, что |α(ρ)| < m при 0 < ρ < δ. Поэтому в δ-окрестности точки M0 имеем:

u = 12 ρ2 [Q + α(ρ)] > 0

при ρ = 0, то есть при M = M0, что и требовалось доказать. Теорема 22. Пусть выполнены условия 1 и 2 теоремы 21, а

вместо условия 3 выполнено условие 3 : d2u M0 — знакопеременная квадратичная форма. Тогда в точке M0 экстремума функций нет.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 21 введем

обозначение	∂2u		(M0) = aij. В силу условия 3 существуют
обозначение			(M0) = aij. В силу условия 3 существуют
x1, ... , xm	∂xi∂xj
x1, ... , xm	, такие, что число
m						m
i j
Q =		∂2u		(M0)Δx	x =	aij	x	x	> 0,
	∂xi∂xj			i	j		i	j
,	∂xi∂xj					i,j=1
,	=1					i,j=1
и также существуют				x1, ... ,	xm, такие, что число
				m
		Q		i j	xi	xj < 0.
		Q		= aij	xi	xj < 0.
				, =1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.2023885.56 Кб0ВМ1. Билеты к экзамену.pdf
#
16.07.20231.94 Mб1Лекции по ВМ2.pdf
#
16.07.2023236.72 Кб1Методичка по ВМ.pdf
#
16.07.2023425.84 Кб0Павлов, Петрушко. ВМ. ФНП. Сборник заданий.pdf
#
16.07.2023283.73 Кб0Примерные задачи к экзамену по ВМ2.pdf
#
16.07.20231.96 Mб0УП занятий по ВМ1. Сальникова. 2 семестр (1).jpg
#
16.07.20231.43 Mб0УП занятий по ВМ1. Сальникова. 2 семестр (2).jpg