2 семестр / Лекции по ВМ2

Система (10.49) содержит n + m уравнений относительно n + m неизвестных: x1, ..., xn, λ1, ..., λm.

Φ = f (x1, ..., xn) + λ1F1 (x1, ..., xn) + ... + λmFm (x1, ..., xn)

удовлетворяет условию (10.48). В силу теоремы 8 это означает, что точка M0 является точкой возможного условного экстремума функции f (M) при условиях связи (10.39).

Чтобы установить, имеет ли на самом деле функция f (M) условный экстремум в точке M0, воспользуемся тем, что вопрос об условном экстремуме функции f (M) в точке M0 эквивалентен вопросу о безусловном экстремуме функции g (M ) в точке

безусловный экстремум в точке M0, нужно рассмотреть второй дифференциал функции g (M ) в точке M0 (в связи с этим будем считать, что функции f (M) , F1 (M) , ..., Fn (M), а значит и g (M ), дважды дифференцируемы):

d2g M0 = Q(dxm+1, ..., dxn),

где Q — квадратичная форма относительно dxm+1, ..., dxn. Если эта квадратичная форма знакоопределенная, то функция g (M ) имеет в точке M0 экстремум, а значит функция f (M) имеет в точке M0 условный экстремум при условиях связи (10.39). Если же эта квадратичная форма знакопеременная, то условного экстремума функции f (M) в точке M0 нет.

Это и есть достаточное условие наличия или отсутствия условного экстремума функции f (M) в точке M0 при условиях

связи (10.39).

Вычисление квадратичной формы Q(dxm+1, ..., dxn)

Встает вопрос о том, как вычислить квадратичную форму Q(dxm+1, ..., dxn), то есть как найти ее коэффициенты, если нам не известны явные выражения функций (10.41), хотя сами эти функции существуют в силу условий (10.40).

здесь dxm+1, ..., dxn — дифференциалы независимых перемен-

ных, а dx1, ..., dxm — дифференциалы функций (10.41) в точке

M (xm+1, ..., xn):

В силу (10.48) каждое слагаемое в квадратных скобках равно нулю, и значит

где dxi (i = 1, ..., m) выражаются формулой (10.50) при M =

бы все аргументы x1, ..., xn были независимыми переменными, а затем заменить dx1, ..., dxm дифференциалами неявных функций (10.41) в точке M0.

В свою очередь, чтобы найти дифференциалы dϕ1, ..., dϕm функций (10.41) в точке M0, не используя явных выражений для этих функций (у нас нет этих явных выражений), поступим так. Предположим, что в уравнения (10.39) вместо x1, ..., xm подставлены функции (10.41). Тогда получатся тождества относительно xm+1, ..., xn:

F1(ϕ1, ..., ϕm, xm+1, ..., xn) = 0, ..., Fm(ϕ1, ..., ϕm, xm+1, ..., xn) = 0.

где λ — пока не определенный множитель, и составим систему уравнений (10.49), которая в нашем примере имеет вид

F1 := xy − 1 = 0,

∂Φ = 1 + λy = 0,

∂x

∂Φ

∂y = 1 + λx = 0.

Эта система имеет два решения:

x = 1, y = 1, λ = −1 и x = −1, y = −1, λ = 1.

Таким образом, имеем две точки возможного условного экстремума функции u = x + y при условии связи xy − 1 = 0:

точка M1(1; 1), при этом Φ = x + y − (xy − 1), и точка M2(−1; −1), при этом Φ = x + y + (xy − 1).

Далее в соответствии с описанным алгоритмом вычислим второй дифференциал функции Лагранжа, причем так, как если бы x и y были независимыми переменными. Для точки M1(1; 1)

имеем:

dΦ = dx + dy − ydx − xdy, d2Φ = −2dxdy.

Выразим теперь dy через dx, используя условие связи F1 := xy − − 1 = 0. Система уравнений (10.52) состоит в нашем примере из одного уравнения:

∂F∂x1 (M1) · dx + ∂F∂y1 (M1) · dy = 0, то есть dx + dy = 0,

откуда dy = −dx. Подставляя это выражение для dy в равенство d2Φ = −2dxdy, находим квадратичную форму Q (см. (10.53)):

d2g x=1 = Q(dx) = 2(dx)2.

Так как Q(dx) — положительно определенная квадратичная форма, то в точке M1(1; 1) функция u = x + y имеет условный минимум (u (M1) = 2) при условии связи xy − 1 = 0.

Аналогично доказывается, что в точке M2(−1; −1) функция u = x + y имеет условный максимум (u (M2) = −2) при условии связи xy − 1 = 0 (проведите доказательство самостоятельно).

Рассмотренный пример имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Линиями уровня функции u = x + y (то есть лини-

ями на плоскости (x, y), на которых функция имеет постоянное значение) являются прямые x + y = c = const, а условие связи xy − 1 = 0 является уравнением гиперболы. На рис. 10.5 изображены линии уровня для нескольких значений c (c < −2, c = −2, c = 0, c = 2, c > 2) и гипербола xy − 1 = 0, в точках которой ищутся экстремумы функции u = x + y.

Через точку M1(1; 1) гиперболы проходит линия уровня x + y = 2, а через любую другую точку гиперболы в окрестности точки M1 проходит линия уровня x + y = c, где c > 2. Таким образом, в точке M1 функция u = x + y имеет наименьшее значение (u (M1) = 2) по отношению ко всем другим точкам гиперболы из окрестности точки M1 (разумеется, окрестность точки M1 должна быть не слишком большой, чтобы в нее не попали точки другой ветви гиперболы).

Также наглядно видно, что в точке M2(−1; −1), через которую проходит линия уровня x + y = −2, функция u = x + y имеет наибольшее значение (u (M2) = −2) по отношению ко всем другим точкам гиперболы из окрестности точки M2.

98 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

Отсюда следует:

lim |f2(x) − f1(x)| = |A| = 0, x→x0 |x − x0|n+1

а это и означает, согласно определению, что порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 равен n. Утверждение 10 доказано.

20. Пусть порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 равен n. Если предположить, что цепочка равенств в (11.2) нарушается при некотором k n, то получим, в силу доказанного в п.10, что порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 равен k − 1 < n, а если допустить, что в (11.2) выполняются все равенства и, кроме

того, f1 (x0), то получим, что порядок касания выше n. И то, и другое противоречит условию. Следовательно,

выполнены соотношения (11.2). Теорема доказана.

Примеры. 1) Рассмотрим графики функций y = x и y = sin x, они имеют общую точку O(0; 0) (рис. 11.3). В данном примере f1(x) = x, f2(x) = sin x. Несложные вычисления (проделайте их) приводят к соотношениям:

f1(0) = f2(0) = 0, f1(0) = f2(0) = 1, f1 (0) = f2 (0) = 0, f1 (0) = 0 = f2 (0) = −1.

Отсюда по теореме 1 следует, что порядок касания графиков

если f (x0) = 0 и существует f (x0), то порядок касания кривых L1 и L2 в точке M0 не ниже 2.

100 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

нельзя задать одним и тем же уравнением вида y = f(x) или x = f(y). Любая точка (a; a) или (a; −a), где a = 0, является обыкновенной точкой данной кривой.

Пусть кривая L задана параметрически: x = ϕ(t), y = ψ(t) и

пусть ϕ 2(t0) + ψ 2(t0) = 0. Пусть, например, ϕ (t0) = 0. Тогда в силу непрерывности ϕ (t) = 0 и сохраняет знак в некоторой

окрестности точки t0, поэтому x = ϕ(t) — строго монотонная функция в этой окрестности точки t0 и, следовательно, имеет обратную функцию t = ϕ−1(x). Подставив ее в уравнение y = ψ(t), получим явное уравнение кривой L: y = ψ(ϕ−1(x)) =: f(x) в некоторой окрестности точки M0(ϕ(t0), ψ(t0)). Отметим, что

M0(ϕ(t0), ψ(t0)).

Если же ϕ 2(t0) + ψ 2(t0) = 0, то есть ϕ (t0) = ψ (t0) = 0, то в окрестности точки M0(ϕ(t0), ψ(t0)) кривая L может не иметь

явного уравнения.

Точку M0(ϕ(t0), ψ(t0)) кривой L, для которой ϕ 2(t0) +

Значению t = 0 соответствует на кривой точка O(0; 0). Согласно определению, она является особой точкой кривой. На рис. 11.5 видно, что в окрестности точки O кривая не имеет явного уравнения, поскольку каждому x > 0 соответствуют два