теория 1к 2с / Приближение функции - практика
.pdfПриближение функции.
Для заданных значениях независимой переменной xi и соответствующих им
значениях зависимой переменной yi (i=0,1,2,…,n) определить аналитическую
зависимость. y=f(x)
Основные этапы при приближение функции.
.
•Выбор вида зависимости
•Выбор критерия
•Выбор узловых точек
•Оценка точности
Интерполяция.
Определение аналитической зависимости функции, между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения.
f(xi)=yi, где i=0,1,2,…,n .
Интерполяция используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично.
Метод с использование многочлена Лагранжа.
Пусть в n+1 узловой точке определены значения y0, y1, y2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых
точках заданные значения, т.е. L(x0)=y0, L(x1)=y1, L(x2)=y2, …, L(xn)=yn. |
1 |
Рассмотрим многочлен вида
|
(x) с |
(x x |
0 |
)(x x |
)...(x x |
i 1 |
)(x x |
i 1 |
)...(x x |
n 1 |
)(x x |
n |
) |
(1) |
i |
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке xi принимает значение yi , а в остальных
равен нулю.
|
|
(x |
|
yi при i j |
j 0,1,2, , n |
|
i |
j |
) |
при i j |
|||
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
из этого условия можно определить ci:
i (xi ) ci (xi x0 )(xi x1)...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn 1)(xi xn ) yi
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
x |
|
)(x |
|
|
x |
|
)...(x |
|
x |
|
)(x |
|
x |
|
)...(x |
|
x |
|
|
)(x |
|
x |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
0 |
i |
|
1 |
i |
i 1 |
i |
i 1 |
i |
n 1 |
i |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и тогда многочлен (1) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(x) y |
|
|
(x x |
0 |
)(x x |
1 |
)...(x x |
i 1 |
)(x x |
i 1 |
)...(x x |
n 1 |
)(x x |
n |
) |
|
(2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
i |
i |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
)(x |
|
|
)...(x |
|
|
|
|
)(x |
|
|
|
)...(x |
|
|
|
|
)(x |
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
i |
0 |
i |
1 |
i |
i 1 |
i |
i 1 |
i |
n |
1 |
i |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).
|
n |
||
|
L(x) i (x) |
||
|
i 0 |
||
n |
(x x0 )(x x1 )...(x xi 1 )(x xi 1 )...(x x n 1 )(x x n ) |
||
L(x) yi |
|||
|
2 |
||
|
|||
i 0 |
(xi x0 )(xi x1 )...(xi xi 1 )(xi xi 1 )...(xi x n 1 )(xi x n ) |
|
Пример. По заданным точкам |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-1.000 |
0.000 |
1.000 |
|
|
yi |
1.0000 |
0.0000 |
1.0000 |
|
Определить интерполяционный многочлен L(x). |
|
|
(x) y |
|
(x x |
1 |
)(x x |
2 |
) |
1 |
(x 0)(x 1) |
|
1 |
x |
2 |
|
1 |
x |
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
( 1 0)( 1 1) |
|
|
|
||||||||||
|
|
(x |
|
|
)(x |
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) y |
(x x0 )(x x 2 ) |
0 |
(x 1)(x 1) |
0 |
|
|
|
||||
|
1 |
1 (x1 x0 )(x1 x 2 ) |
|
(0 1)(0 1) |
|
|
|
(x) y |
|
(x x |
0 |
)(x x |
1 |
) |
1 |
(x 1)(x 0) |
|
1 |
x |
2 |
|
1 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
2 |
(x |
|
x |
|
)(x |
|
x |
|
(1 1)(1 0) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x)=x2
3
Begin
lagrange(x,y,xz)
x,y,xz
yz=lagrange(x,y,xz)
yz
End
function yr=lagrange(x,y,xz)
nz=length(xz)
n=length(x)
i=1 шаг 1 до nz
yr(i)=0
k=1 шаг 1 до n
pr=1
1 до n
End
yr(i)=yr(i)+pr*y(k)
pr=pr*(xz(i)-x(j))/(x(k)-x(j))
4
Аппроксимация.
Метод наименьших квадратов
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y:
i xi yi
0 x 0 y0
1 x1 y1
2 x 2 y2
n x n yn
Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a0,a1,…,am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a0,a1,a2,…,am, которая наилучшим образом описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a0,a1,…,am):
n
R yi f (xi , a 0 , a1, , a m ) 2
i 0
5
Функцию f(x,a0,a1,…,am) определим как полином степени m вида:
_ |
m |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
m |
|
f (x, a ) |
|
a |
j |
x |
a |
0 |
a x a |
2 |
x |
m |
x |
|||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий
рассогласования имел бы минимальное значение
n |
2 |
m |
2 |
|
|
|
|||
|
) |
min |
||
R yi (a 0 a1xi a 2 xi |
a m xi |
|||
i 0 |
|
|
|
|
Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2).
_ |
|
|
|
x2 |
f (x, a) a |
0 |
a x a |
2 |
|
|
1 |
|
Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a0,a1,a2 :
n |
2 |
2 |
|
) |
|
R R(a 0,a1, a 2 ) yi (a 0 a1xi a 2 xi |
||
i 0 |
|
|
6
Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:
R |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 yi (a |
|
|
|
|
|
) ( 1) 0 |
|||||||
a |
|
0 a1xi a 2 xi |
|
|
|||||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) ( xi ) 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
2 yi (a 0 a1xi a 2 xi |
|
|
|||||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 0 |
||||
a |
|
2 yi (a 0 a1xi a 2 xi |
|
|
) ( xi |
||||||||||||
2 |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
a 0 |
|
xi |
a1 |
|
xi |
a |
2 |
yi |
||||||
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
||||
|
n |
|
|
|
n |
2 |
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xi |
a 0 |
xi |
a1 |
xi |
a 2 |
yi xi |
|||||||||||
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
||||
|
n |
2 |
|
|
n |
3 |
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
n |
2 |
|
xi |
a 0 |
|
xi |
a1 |
|
xi |
a |
|
2 yi xi |
||||||||
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
7
Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему уравнений
запишем в матричном виде: |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
_ |
a |
0 |
_ |
|
i 0 |
|
|
|
|
||||
_ |
_ |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
N a b |
где |
N |
|
x |
|
|
x |
|
x |
a |
a |
b |
|
y |
x |
|
|||||||||||
|
i |
i |
i |
|
|
1 |
|
i |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
a |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
n |
|
3 |
n |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
y |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
_ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для удобства формирования матрицы коэффициентов |
N |
и столбца свободных членов |
b |
|
|
|
|
введем матрицу |
Ф |
элементы которой определяются |
|
через значения независимой переменной xi, i=0,1,2,…,n
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
||
|
T |
|
|
|
|||||
N Ф Ф |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
x0 |
x1 |
xn |
|
|
|||||
|
|
x2 |
x2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
x |
x |
2 |
_ |
|||
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
b |
|||
|
|
|
||||
|
||||||
|
|
|||||
x |
|
x |
2 |
|
||
|
|
|
|
|||
n |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
2 |
|
|
|
1 |
x0 |
|
||||
|
|
|
x1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
x1 |
|
||||
Ф |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
1 |
n |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
T _ |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
||
Ф |
y x |
0 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
x2 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
тогда
1 |
|
y0 |
||||
y |
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
||
x |
2n |
|
||||
|
|
|
||||
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
yn |
|
||
|
|
|
8 |
|
|
При аппроксимации полиномами высших порядков матрица
Ф
будет иметь вид:
|
|
1 |
x |
|
2 |
|
x |
m |
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
x1 |
2 |
|
|
m |
элемент |
||||
|
|
|
|||||||||
Ф |
|
x1 |
x1 |
|
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
x n |
2 |
|
|
m |
|
|
||
|
|
x n |
x n |
|
|
В общем случае |
|
|
количество строк в матрицы |
Ф |
равно |
|
|
|||
количеству точек, а количество столбцов |
Ф |
равно количеству параметров, где строка состоит из значений частных производных от функции f(x,a0,a1,…,am) по соответствующему параметру.
|
|
|
x |
j |
, |
|
ij |
i |
|||||
|
|
|
||||
|
f (x |
|
|
|||
|
0, |
|||||
|
|
|||||
|
|
a |
0 |
|||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
f (x |
|
|||||
|
|
|
1, |
|||
|
a |
|
||||
|
|
0 |
||||
|
|
|
||||
|
f (xn, |
|||||
|
||||||
|
|
a |
|
|||
|
|
0 |
Пример. Определить параметры зависимости вида
i 0,1,2,..., n, |
j |
|||
|
|
|
|
|
a ) |
f (x |
0, |
a ) |
|
|
|
|
||
|
a |
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a ) |
f (x |
1, |
a ) |
|
|
|
|
||
|
a |
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ) |
f (x |
n, |
a ) |
|
|
|
|
||
|
a |
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
_
f (x, a) a0 a1x
0,1,2,..., m |
||
|
|
|
f (x |
0, |
a ) |
|
|
|
a |
|
|
|
m |
|
|
|
|
f (x |
a ) |
|
|
1, |
|
a |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
n, |
a ) |
|
|
|
a |
|
|
|
m |
|
используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-1 |
0 |
1 |
2 |
9 |
|
yi |
2 |
1 |
2 |
4 |
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Ф 1 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
T |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||||||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
||
|
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4a |
0 |
|
2a1 |
|
9 |
|
|
|
6a1 |
|
|
2a0 |
8 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
||
1 |
|
|||
2 |
6 |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
0.7 |
|
|
1 |
1 |
1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
f (x) 1.9 0.7 x
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
9 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
R 2.3
10