Примеры
Пример. |
Вычислить |
|
u ln x, du |
dx |
|
|
x |
||
x ln xdx |
|
||
|
x |
2 |
|
|
|
||
|
dv xdx, v |
|
|
|
2 |
||
|
|
||
=
x |
2 |
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
ln x |
|
|
||||
2 |
2 |
x |
|||||
|
|
||||||
|
x |
2 |
|
1 |
|
x |
2 |
|
1 |
x |
2 |
|
|
= |
|
ln x |
xdx |
|
ln x |
|
C . |
|
|||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод замены переменной
Пусть требуется найти
f x dx
, причем
непосредственно подобрать первообразную |
|||||
для f x |
мы не можем, но нам известно, что |
||||
она существует. Часто удается найти |
|||||
первообразную, введя новую переменную, |
|||||
по формуле |
|
|
|||
|
f x dx |
|
f t dt , где x t , а t - новая |
||
|
|
t |
|||
переменная |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим интеграл |
|
ax b |
dx |
, |
|
2 |
px q |
|
|||
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
содержащий квадратный трехчлен в |
|
|
|||
знаменателе подынтегрального |
|
|
|
||
выражения. Такой интеграл берут также |
|
||||
методом подстановки, предварительно |
|
||||
выделив в знаменателе полный |
|
|
|
||
квадрат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
Вычислить |
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Преобразуем x |
2 |
4x 5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
выделяя полный квадрат по формуле |
a b |
2 |
a |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда получаем : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
2 |
4x 5 x |
2 |
2 x 2 4 |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
4 1 |
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x 2 t |
|
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
x 2 2 |
|
t 2 1 |
|
|
||||||||||||||||
4x 5 |
1 |
|
|
dx dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgt C arctg x 2 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2ab
b |
2 |
|
.
Найти
Пример
|
1 |
|
x |
|
|
|
x t, x t |
2 |
, |
|
|
|
|
1 t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|||||||||
|
|
|
dx 2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
t |
2 |
|
|
|
d (t |
|
2 |
1) |
|
||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
t |
|
|
1 t |
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln(t |
|
2 |
1) |
2 dt 2 |
|
|
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
t |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
ln( x 1) 2
x 2arctg 
x
2tdt |
|
|
|
|
|
2 |
1 t |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
t |
dt |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
C.