Таблица неопределенных интегралов
1. |
|
dx x C . |
|||||||||
|
|||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
a 1 |
||
x |
a |
dx |
|
C, (a 1) . |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
||
3. |
|
dx |
ln x |
|
C . |
||||||
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
a |
x |
|
||
4. |
x |
dx |
|
C . |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
|
|
|
|
ln a |
|||||
5. |
x |
dx e |
x |
C . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
sin xdx cos x C . |
||||||||
|
||||||||||
7. |
|
cos xdx sin x C . |
||||||||
|
||||||||||
8. |
|
|
dx |
|
|
ctgx C . |
||||
sin |
2 |
x |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
|
dx |
|
|
tgx C . |
||||
cos |
2 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
10. |
|
|
|
dx |
|
arctgx C . |
||||
1 |
x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица неопределенных интегралов
11.
12.
|
|
|
dx |
|
arcsin x C . |
|||||
|
1 x |
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
dx |
2 |
|
1 |
arctg |
x |
C . |
|
a |
x |
a |
a |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
16.
17.
|
dx |
|||
x |
2 |
a |
||
|
||||
|
|
|
||
shxdx |
||||
ln 
x
chx C
x |
2 |
a C |
|
|
.
.
13. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
C .. |
||||||||||
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
x a |
|
C |
|||||||||
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
2a |
x a |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
a x |
C . |
||||||||
|
a |
2 |
|
2 |
|
|
2a |
|
|
a x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18. |
|
chxdx shx C . |
|
|||||||
|
|
|||||||||
19. |
|
|
|
dx |
|
|
thx C . |
|
||
|
ch |
2 |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
|
dx |
|
cthx C . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sh |
2 |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства дифференциалов
При интегрировании удобно пользоваться свойствами:
1.dx 1a d (ax)
2.dx 1a d (ax b),
3.xdx 12 dx2 ,
4.x 2 dx 13 dx3 .
Примеры
Пример
.
Вычислить
cos5xdx
.
Решение. В таблице интегралов найдем |
|
|
cos xdx sin x C . |
|
|
Преобразуем данный интеграл к табличному, |
|
воспользовавшись тем, что d ax adx . |
|
Тогда: |
|
|
|
cos5xdx |
|
|
||
=1 sin 5x C
5
cos 5x |
d 5x |
= |
1 |
cos5xd 5x = |
|
5 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры
Пример. Вычислить x 2 3x3 x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла находится сумма четырех слагаемых, то раскладываем интеграл на сумму четырех интегралов:
|
|
2 |
3x |
3 |
x |
|
|
2 |
dx 3 x |
3 |
|
||
x |
|
|
1 dx x |
|
dx xdx dx . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
3 |
x4 |
|
x2 |
|
x C |
|
|
|
|
||
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Независимость от вида переменной
При вычислении интегралов удобно пользоваться следующими свойствами интегралов:
Если |
f x |
f x b dx |
|
Если |
f x |
dx F x C
F x b C
dx F x C
,то
.
,то
f ax b dx
1 a
F ax b C
.
Пример
Вычислим
(2 3x) |
5 |
dx |
1 |
(2 3x) |
6 |
C. |
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методы интегрирования
Интегрирование по частям
Этот метод основан на формуле |
udv uv |
Методом интегрирования по частям берут такие
а) |
x |
n |
sin xdx , где |
n 1,2...k ; |
|
vdu .
интегралы:
б) в)
x |
n |
e |
x |
dx , где |
n 1,2...k ; |
|
|
||||
x |
n |
arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k. ; |
|||
|
|||||
г) x n ln xdx , где
n 0, 1, 2,... k
.
При вычислении интегралов а) и б) вводят
|
n |
|
n 1 |
|
обозначения: x |
u , тогда |
du nx dx , а, например |
||
|
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .
Примеры
Пример. |
Вычислить |
Решение. |
|
x cos xdx
.
x cos xdx |
u x, du dx |
|
dv cos xdx, v sin |
||
|
||
x sin x sin xdx x sin x cos x |
||
x
= C .