76

— the solution to (7) on [0, T1]. This procedure can be repeated in order to extend the solution to the entire interval [0, T ] in finitely many steps, thereby completing the proof.

Proof of the theorem 2. Let prove the desired result under the hypothesis M1. From

d u3(t, · ) + b1(t, · , u2(α(t), ξ), ξ)dξ = f1(t, u2(α(t), · ), · )dt + σ(t, · )dβ(t), 0 < t ≤ T ,

Rd

u3(t, · ) = φ1(t, · ), − r ≤ t ≤ 0,

i.e. satisfy the following identities

=f1(s, u2(α(s), · ), · ) − f1(s, u3(α(s), · ), · ) ds , 0 < t ≤ T ,

2.2 Hereafter we argue in a similar way as in the proof of theorem 1. We establish that

It follows from the proof of theorem 1 that there exists a constant c(T ) > 0 such that

of the proof is similar to the case of theorem 1.

[9]Tanaka H. "Stochastic di erential equations"Seminar on Probability (in Japanese) 19 (1964)

[10]Yamada T. "On a comparison theorem for solutions of stochastic di erential equations and its applications."Journal of Mathematics of Kyoto University 13, no. 3 (1973): 497-512.

[11]Yamada T. and Yukio O. "On the strong comparison theorems for solutions of stochastic di erential equations."Zeitschrift for Wahrscheinlichkeits theorie und Verwandte Gebiete 56, no. 1 (1981): 3-19.

[12]Da Prato Giuseppe and Jerzy Zabczyk. Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Vol. 152. Cambridge University Press, 2014.

[13]Watanabe, S. and Ikeda, N. Stokhasticheskie di erencial’nye uravneniya i di usionnye processy [Stochastic di erential equations and di usional processes].(M.:1986): Nauka, 445.

[14]Skorokhod, A. V. Issledovaniya po teorii sluchainyh processov [Research on the theory of random processes] .(Kiev: Kiev University, 1961):216

[15]Stanzhitskii A.N. and Tsukanova A.O. Sushestvovanie i edinstvennost’ resheniya zada Koshi dlya stohasticheskogo differencialnogouravneniya reakcii-di uzii neitralnogo tipa [Existence and uniqueness of a solution to the Cauchy problem for a stochastic di erential reaction-di usion equation of neutral type]. Nelineinoe kolebanie. 19,№3 (2016): 408-430.

[16]Butkovsky O. "Subgeometric rates of convergence of Markov processes in the Wasserstein metric."The Annals of Applied Probability 24, no. 2 (2014): 526-552.

[17]Butkovsky O. and Michael S.. "Invariant measures for stochastic functional di erential equations."Electronic Journal of Probability 22 (2017).

[18]Butkovsky O., Kulik A. and Scheutzow M.. "Generalized couplings and ergodic rates for SPDEs and other Markov models."arXiv preprint arXiv:1806.00395 (2018).

[19]Doblin W.. "Elements d’une theorie generale des chaоnes simples constantes de Marko ."In Annales Scientifiques de l’ENS, vol. 57, pp. 61-111. 1940.

[20]Es-Sarhir, A., van Gaans, O. and Scheutzow, M. "Invariant measures for stochastic functional di erential equations with superlinear drift term."Di erential and Integral Equations 23, no. 1/2 (2010): 189-200.

[21]Es-Sarhir, A., Von Renesse, M.K. and Scheutzow, M.,. "Harnack inequality for functional SDEs with bounded memory."Electronic communications in probability 14 (2009): 560-565.

[22]Es-Sarhir, A., Scheutzow, M., Tolle, J.M. and van Gaans, O. "Invariant measures for monotone SPDEs with multiplicative noise term."Applied Mathematics and Optimization 68, no. 2 (2013): 275-287.

[23]Hairer M. and Mattingly J.C. "Yet another look at Harris’ ergodic theorem for Markov chains."In Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications VI, pp. 109-117. Springer, Basel, 2011.

[24]Hairer, M., Mattingly, J.C. and Scheutzow, M. "Asymptotic coupling and a general form of Harris’ theorem with applications to stochastic delay equations."Probability theory and related fields 149, no. 1-2 (2011): 223-259.

[25]Has’minskii R. Z. "Necessary and su cient conditions for the asymptotic stability of linear stochastic systems."Theory Probability Appl 12 (1967): 144-147.

1A.Zh. Adiyeva, 2A.O. Baiarystanov

1PhD student, E-mail: a.aina70@mail.ru

2Сandidate of Physical and Mathematical Sciences, E-mail: oskar_62@mail.ru L. Gumilyov Eurasian National University, Nur-Sultan, Kazakhstan

On an overdetermined weighted di erential inequality of Hardy-type of second order

It is well known that the classical one-dimensional Hardy integral inequality has various applications. Since the 1930s, weighted versions of Hardy’s inequality are intensively studied, but the first results of the criterion-type were obtained in 1969-1970. The one-dimensional weighted Hardy inequality is rather well studied for various parameter values. Hardy’s weighted di erential inequality has the same level of importance as the integral one. Hardy’s weighted di erential inequality is studied under various boundary conditions at the ends of a given interval. Meanwhile, the boundary conditions depend on the behaviour of the weight functions at the ends of the interval. Moreover, the study depends on whether the interval is finite or infinite, since the integral behaviour of weight functions depends on the case. There are various problems, especially in the overdetermined case, i.e. when the number of boundary conditions is higher than the order of di erentiation. Our study relates to the case of a finite interval, when the singularities of the weight functions are concentrated at the same end of the interval and the boundary conditions are

overdetermined.

Key words: weighted di erential Hardy inequality, weighted functions, the boundary value of a function, overdetermined boundary value problems, a locally absolutely continuous function.

1 Введение

Пусть I = (0, 1), u - непрерывная и неотрицательная функция, а положительные функции v и r, соответственно непрерывная и непрерывно дифференцируемая на

48 Об одном переопределенном весовом дифференциальном неравенстве типа Харди . . .

Неравенство вида (2) рассматривалось во многих работах (см. нижеприведенный литературный обзор). Неравенство (1) отличается от неравенства (2) наличием функции r−1 = 1r . Если функция r−1 не интегрируема в окрестности нуля, то из результата по неравенству (1) не следует как следствие результат по неравенству (2). В работе [1] неравенство (1) рассматривалось в бесконечном промежутке с применением результатов к вопросу осцилляции дифференциального уравнения четвертого порядка, когда функция r−1 может иметь неинтегрируемые особенности. В данной статье рассматривается случай, когда функция r−1 может иметь особенности в окрестности нуля. Основной целью работы явлется получение необходимого и достаточного условия выполнения неравенства (1).

2 Обзор литературы

Исследование весовых дифференциальных неравенств Харди высокого порядка вида

(2) при различных граничных условиях начались в начале 80-х годов прошлого века. Граничные условия называются переопределенными, если количество независимых граничных условий больше порядка дифференцирования в неравенстве. Сначала рассматривалось весовое дифференциальное неравенство первого порядка. В этом случае, задача с определенными граничными условиями была эквивалентна известному весовому неравенству Харди, а переопределенный случай оказался открытой проблемой. Эту задачу впервые решил чешский математик P.Gurka и полученный им результат, и другие его обобщения опубликованы в книге [2]. И в связи с важностью этой задачи в теории дифференциальных операторов, в работах [3], [4] получены различные эквивалентные критерии выполнения весового дифференциального неравенства Харди в переопределенном случае. В работах [5], [6], [7], [8],[9], [10], [11] получены критерии выполнения неравенства вида (2) высокого порядка на конечном отрезке с определенными граничными значениями. Более общая ситуация рассмотрена в работах [12], [13]. Неравенство вида (1) для второго и более высокого порядков на конечном отрезке в переопределенном случае исследованы в серии работ [14],[15],[16], [17]. Хотя в этих работах получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства, однако там не даны оценки для наилучшей константы неравенства вида (2). Глава 4 книги [18], [19] посвящена исследованию неравенства вида (2) для производных высокого порядка в определенном и в переопределенном случае и в конце дан краткий анализ полученных результатов. Переопределенный случай на отрезке I = (0, ∞) исследован в работах [20], [21]. В работе [20] неравенство (2) исследовано при различных соотношениях граничных значений функции f: f(0), f (0), f(∞), f (∞), а в работе [21] исследовались неравенства высокого порядка при некоторых переопределенных граничных значениях. В работах [20],[21] найдены критерии выполнения неравенства (2), но при оценке наилучшей постоянной в (2) не указаны значения констант эквивалентности. Мы, используя методы работы [20], вычисляем все константы эквивалентности. История вопроса по неравенствам Харди и полученные результаты можно найти в книгах [2], [18], [19], [22]. Как видно из L RL2p,v(r) мы будем исследовать неравенство (1) только при следующих граничных значениях f(T ) = Dr1f(T ) = 0, Dr1f(0) = 0 функции f L2p,v(r). В работе [1] неравенство (1) рассматривалось на бесконечном промежутке.