книги / 191

Из (П 2.2), после преобразований получим

где R(τ) – нормированная автокорреляционная функция сигнала.

Из [1] известно, что при оптимальной обработке сигнала, отклик на выходе оптимального приёмника (фильтра) описывается как автокорреляционная функция исследуемого сигнала. Поэтому выражение (П 2.3) следует понимать так, что при задержке τ = 0 , 2 (τ) = 0 , так как R(τ = 0) =1 , а для повышения разрешающей способности по времени необходимо так выбирать форму сигнала, чтобы при всех значениях задержек τ ≠ 0 , функция R(τ) имела как можно меньшее значение и тогда степень различия 2 (τ) будет иметь существенное значение.

Лучшее разрешение сигналов по времени приема, очевидно, будет в том случае, когда отклики оптимального фильтра на эти сигналы не перекрываются во времени. Поэтому, если использовать только простые сигналы, например, прямоугольные видеоимпульсы, то для лучшего различения сигналов необходимо было бы уменьшать длительность импульсов. Но для сохранения заданной энергии и обеспечения требуемой дальности передачи уменьшение Tc потребовало бы увеличения амплитуды Um, что неблагоприятно сказывается на работе передатчиков таких систем. Поэтому используют сложные сигналы, позволяющие получить малое значение центрального лепестка автокорреляционной функции. Так при использовании сложных сигналов в виде сигналов Баркера и простого прямоугольного сигнала той же длительности Tc, сигналы Баркера можно различать на выходе оптимального фильтра даже при наличии аддитивного шума в канале. Два же простых сигнала практически не различаются, так как длительность автокорреляционной функции таких сигналов на выходе фильтра равна 2Тс.

На рис. П.2 приведен пример разрешения фазоманипулированных сигналов Баркера, а точнее их комплексных огибающих, построенных на основе 13–и элементного кода и поступающих на вход ОФ с различными задержками. Такая ситуация возникает при приёме радиолокационной станцией сигналов в случае их отражения от двух объектов, разнесенных по дальности и имеющих одинаковую скорость движения. На этом же рисунке показана форма комплексной огибающей суммарного сигнала на входе и выходе оптимального фильтра. Из рисунков видно, что в представленной ситуации по отклику ОФ на воздействие суммы двух сигналов, разнесенных во времени, можно определить значение величины задержки. Несложно убедиться в том, что подобное разрешение сигналов по времени в случае использования простых сигналов той же длительности оказывается практически невозможным, особенно при наличии аддитивного шума.

В дополнение следует отметить, что фазоманипулированные сигналы, построенные на основе кодов Баркера, позволяют получить превышение главного максимума модуля комплексной огибающей нормированной авто-

21

корреляционной функции над побочными максимумами в N раз. Так, для N=13 относительная величина побочных максимумов оказывается равной 1/13. Ширина спектра фазоманипулированного сигнала будет определяться шириной спектра наименьшего по длительности импульса длительностью T0 (рис. П.2). Занимаемая таким сигналом полоса частот может быть определена по критерию максимальной концентрации энергии [1] и будет равна F ≈ 2/ T0 ≈2N/ Tc, а значение базы фазоманипулированного сигнала равно В=2N.

в

U вых (t)=R 1( τ)- R2( τ)

1

Рис. П.2. Вид комплексных огибающих перекрывающихся ФМ сигналов и их разделение в ОФ

Приложение 3

ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛОВ

Помехоустойчивость устройства обнаружения сигналов (приёмника сигналов) может быть количественно оценена с помощью характеристик обнаружения, известных как вероятность ложной тревоги Рлт и вероятность правильного обнаружения [3].

Если в аддитивной смеси, поступающей на вход устройства обнаружения, положить, что сигнал отсутствует, то есть y(t)= x(t), тогда вероятность

22

выполнения условия (П 1.1) и будет равна вероятности ложной тревоги Рлт. Левая часть этого неравенства является случайной величиной с нормальным распределением, поскольку представляет собой результат линейного преобразования нормального случайного процесса x(t). Можно показать [3] что

График зависимости Рлт от относительного порогового напряжения α приведён на рис. П 3.1. Из рисунка можно сделать вывод, что для уменьшения Рлт необходимо увеличить величину порога по сравнению с уровнем среднеквадратического значения шума на входе согласованного фильтра σвых. Кроме того, используя эту зависимость РЛТ = f (α) и задавая требуемое значение Рлт

для конкретной задачи, можно на основании критерия Неймана-Пирсона определить необходимое значение α и, следовательно, величину требуемого порога UНП, которую нужно установить в приёмнике.

Для вычисления вероятности правильного обнаружения Рпо необходимо учитывать всю аддитивную смесь, при этом Рпо вычисляется как вероятность выполнения неравенства

23

Приложение 4

24

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ 1. Теоретические сведения

См. курс лекций по РТЦиС и рекомендованные учебники (РТЦиС Гоноровского И.С. и др.).

1.2. Описание программы

Вид окна программы «Дискретная фильтрация сигналов» (lab_discrfilter.exe) показан на рис.

Рис. П 4.1.

Примечание. Выполняемое в программе моделирование процессов фильтрации основано на дискретной обработке сигналов, поэтому все приводимые в данном описании физические единицы измерения являются условными и используются исключительно для представления параметров сигналов и фильтров в наглядном виде.

Рис. П 4.1. Окно программы «Дискретная фильтрация сигналов» В окне имеются следующие элементы управления:

•Переключатели Входной сигнал и Непрерывный входной сигнал позво-

ляют выбирать тип используемого сигнала из числа следующих вариантов:

•Одиночный импульс: генерируется дискретный одиночный импульс, то есть один отсчёт с величиной, равной единице. Последующие отсчёты входного сигнала равны нулю. Данный сигнал генерируется однократно, перед началом его формирования устанавливается нулевое начальное состояние фильтра.

•Ступенька: генерируется последовательность отсчётов, равных единице. Данный сигнал генерируется однократно, перед началом его формирования устанавливается нулевое начальное состояние фильтра.

•Синусоида: генерируются дискретные отсчеты гармонического сигнала. Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с по-

25

мощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.

•Меандр: генерируются дискретные отсчёты меандра. Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.

•Треугольные импульсы: генерируются дискретные отсчёты периодической последовательности симметричных треугольных импульсов. Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.

•Пилообразный сигнал: генерируются дискретные отсчёты периодической последовательности несимметричных треугольных импульсов (вертикальный фронт справа, наклонный участок является возрастающим). Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.

•Шум: генерируется последовательность случайных чисел, некоррелированных друг с другом и имеющих нормальное распределение вероятности с нулевым средним значением и дисперсией, равной единице.

•Поле ввода Частота непрерывного сигнала позволяет задавать частоту периодических сигналов (значение должно быть целым числом; единицы измерения частоты являются условными, частоте дискретизации соответствует значение 250, поэтому максимально допустимое значение частоты сигнала равно 125). Кнопки со стрелками, расположенные в правой части поля, осуществляют изменение значения с шагом, равным единице.

•Группа полей ввода Коэффициенты фильтра позволяет задавать коэффициенты дискретного рекурсивного фильтра второго порядка. Обозначения коэффициентов соответствуют представлению системной функции

собой числа с одним десятичным разрядом после запятой. Кнопки со стрелками, расположенные в правой части полей, осуществляют изменение значений с шагом 0,1.

•Кнопки Старт и Стоп служат для запуска и остановки процесса моделирования. При выборе непериодических сигналов (Одиночный импульс и Ступенька) при щелчке на кнопке Старт осуществляется один цикл моделирования (генерируется 100 отсчётов входного и выходного сигналов), использование кнопки Стоп при этом не нужно. При выборе периодических сигналов щелчок на кнопке Старт запускает процесс моделирования, который продолжается до щелчка на кнопке Стоп, при этом графики сигналов на экране обновляются каждые 0,5 с.

26

Внижней части окна расположен график расположения нулей (кружки)

иполюсов фильтра (крестики) на комплексной плоскости. Сплошной линией показана единичная окружность. Изображение обновляется при каждом изменении значений коэффициентов фильтра.

Вправой части окна расположены три графика, которые в реальном времени показывают следующие сигналы:

• Верхний график – сигнал на входе фильтра.

• Средний график – сигнал на выходе фильтра.

• Нижний график – нормированная корреляционная функция выходного

сигнала.

2.Выполнение работы

2.1.Исследование нерекурсивного фильтра первого порядка

Для реализации нерекурсивного фильтра первого порядка установите следующие значения коэффициентов: a2 = b1 = b2 = 0. Оставшиеся значения a0 и a1 определяют свойства исследуемого фильтра.

Зарисуйте расположение нулей и полюсов и произведите измерение АЧХ для следующих значений коэффициентов:

а) a0 = 1, a1 = 1;

б) a0 = 1, a1 = –1. Значения АЧХ занесите в таблицу.

f |K(f)|

Напоминание – Измерение АЧХ фильтров производится по точкам, путем варьирования частоты входного синусоидального сигнала и измерения амплитуды сигнала на выходе. Амплитуда входной синусоиды равна единице, поэтому амплитуда выходного сигнала равна значению АЧХ на данной частоте.

2.2. Исследование нерекурсивного фильтра второго порядка

Для реализации нерекурсивного фильтра второго порядка установить следующие значения коэффициентов: b1 = b2 = 0. Оставшиеся значения a0, a1 и a2 определяют свойства исследуемого фильтра.

Зарисуйте расположение нулей и полюсов и произведите измерение АЧХ для следующих случаев:

а) a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1; б) a0 = –1, a1 = 2, a2 = –1;

в) a0 = 1, a1 = 0, a2 = –1. Значения АЧХ занесите в таблицу.

f |K(f)|

2.3. Исследование рекурсивного фильтра первого порядка

Для реализации рекурсивного фильтра первого порядка установить следующие значения коэффициентов: a0 = 1, a1 = a2 = b2 = 0. Оставшееся значение b1 определяет свойства исследуемого фильтра.

27

Измерьте зависимость «постоянной времени» фильтра τ (в отсчётах) от значения коэффициента b1, изменяя это значение в пределах 0…1. Данные занесите в таблицу.

b1 τ

Отображение импульсной характеристики фильтра. Для вывода графика импульсной характеристики фильтра следует выбрать сигнал «Одиночный импульс» и щелкнуть на кнопке Старт.

Методика измерения постоянной времени для рекурсивного фильтра первого порядка. ИХ рекурсивного фильтра первого порядка является экспоненциальной, под «постоянной времени» понимается число отсчётов, за которое ИХ затухает до уровня 1/e ≈ 0,37. Для измерения этой величины следует вывести график импульсной характеристики (выбрать сигнал «Одиночный импульс» и щелкнуть на кнопке Старт) и, увеличив масштаб необходимого фрагмента графика, определить, между какими отсчётами достигается указанный уровень. Для увеличения масштаба следует растянуть мышью рамку на графике слева направо сверху вниз. Для возврата к исходному масштабу следует растянуть мышью рамку на графике по диагонали в любом из других направлений (например, справа налево сверху вниз). Кроме того, можно пере-

мещать график при нажатой правой кнопке мыши.

Зарисовать расположение нулей и полюсов и произвести измерение АЧХ для следующих случаев:

а) b1 = 0,5…0,9 (выбрать произвольное значение в указанном диапазоне); б) b1 = -0,9…-0,5 (выбрать произвольное значение в указанном диапазоне). Значения АЧХ занести в таблицу.

f|K(f)|

2.4. Исследование области устойчивости рекурсивного фильтра второго

порядка

Коэффициенты нерекурсивной части фильтра устанавливаются равными:

a0 = 1, a1 = a2 = 0. Изменяя значения коэффициентов b1 и b2, необходимо определить границы области на плоскости (b1 и b2), соответствующие устойчивому фильтру, а также определить границу, разделяющие области вещественных и комплексных полюсов фильтра. Измерения производятся при синусоидальном входном сигнале, частота сигнала может быть произвольной. Для

каждого значения b1, лежащего в пределах от -2 до +2, необходимо выполнить следующее:

1.Установите b2 = -1. Это соответствует фильтру, находящемуся на границе устойчивости.

28

2. Постепенно увеличивая значение b2 и наблюдая выходной сигнал и расположение полюсов на комплексной плоскости, зафиксируйте следующие значения этого коэффициента:

а) значение, соответствующее превращению вещественных полюсов в комплексные. Это может быть одно значение, при котором два полюса сливаются, образуя кратный полюс, либо пара соседних значений, одно из которых соответствует вещественным, а другое – комплексно-сопряженным полюсам. б) значение, при котором фильтр снова окажется на границе устойчивости или станет неустойчивым.

Устойчивость фильтра определяется по виду выходного сигнала и расположению полюсов на комплексной плоскости:

•устойчивый фильтр: выходной сигнал представляет собой дискретные отсчёты синусоиды, полюсы лежат внутри единичной окружности;

•фильтр находится на грани устойчивости: хотя бы один из полюсов ле-

жит на единичной окружности, в выходном сигнале могут появиться нарушения синусоидальной структуры, но он сохраняет периодичность и стабильную амплитуду;

•неустойчивый фильтр: хотя бы один из полюсов лежит снаружи единичной окружности, выходной сигнал перестает быть даже похож на синусоиду, его уровень резко возрастает (для предотвращения переполнений в программе реализован ограничитель уровня выходного сигнала на уров-

не ±100).

Полученные данные занесите в таблицу.

2. 5. Исследование резонатора второго порядка

Для реализации резонатора второго порядка установите следующие значения коэффициентов: a0 = -1, a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1, b2= -0,8.

Для всех комбинаций значений коэффициентов b1 = {0,0; 0,5; 1,0; 1,5} и b2 = {-0,7; -0,8; -0,9} определите параметры ИХ фильтра: постоянную времени затухания огибающей τ и период колебаний T (в отсчетах). Данные занесите в таблицу.

Установите значения коэффициентов b1 = 1, b2= -0,8. Зарисуйте ИХ, расположение нулей и полюсов и произведите измерение АЧХ для данного фильтра. Значения АЧХ занести в таблицу.

f |K(f)|

29

2.6. Исследование преобразования шума в дискретном фильтре

Используйте рекурсивные фильтры первого и второго порядка:

а) a0 = 1, a1 = a2 = 0, b1 = 0,9, b2 = 0 (фильтр первого порядка); б) a0 = 1, a1 = a2 = 0, b1 = -0,9, b2 = 0 (фильтр первого порядка);

в) a0 = -1, a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1,5, b2 = -0,9 (фильтр второго порядка); г) a0 = -1, a1 = 0, a2 = 1, b1 = 0, b2 = -0,9 (фильтр второго порядка); д) a0 = -1, a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1,5, b2 = -0,8 (фильтр второго порядка);

Выберите входной сигнал «Шум» и зарисуйте нормированную КФ выходного сигнала для каждого из перечисленных фильтров.

3.Содержание отчёта

•Результаты исследований оформите как и стандартные физические лабораторные работы.

•Целесообразно дополнить отчёт моделированием отдельных характеристик в одном из известных пакетах, например MatchCad.

•При домашней подготовке и оформлении отчёта используйте про-

грамму SpectrAn.

4.Основные контрольные вопросы

•Дайте общую характеристику цифровой обработки сигналов.

•Приведите схему и поясните работу трансверсального фильтра.

•Поясните передаточную характеристику нерекурсивного фильтра.

•Поясните передаточную характеристику рекурсивного фильтра.

•Приведите каноническую структуру цифрового фильтра.

•Исследуйте нерекурсивный фильтр первого порядка.

•Исследуйте рекурсивный фильтр первого порядка.

•Исследуйте рекурсивный фильтр первого порядка методом z- преобразований.

•Дайте характеристику погрешностей при цифровой обработке сигналов.

Приложение 5

ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ 1. Теоретические сведения

См. курс лекций по СиОС и рекомендованные учебники (РТЦиС Гоноровского И.С. [1] и др.).

1.2. Описание программы

Вид окна программы «Оптимальная фильтрация сигналов» (lab_filter.exe – на ВЦ) показан на рис.

Рис. П 4.1.

Примечание. Выполняемое в программе моделирование процессов фильтрации основано на дискретной обработке сигналов, поэтому все приводимые в

30