отклика ЦСФ. Повторить измерения согласно п. 1.1. Определить длительность сигнала Тс, длительность отклика фильтра и длительность главного лепестка этого отклика. Оценить уровень боковых лепестков по отношению к максимальному значению выходного напряжения.

1.5. Указания к отчёту

Отчёт должен содержать:

а) функциональные схемы ЦФ по данным предварительной подготовки; б) результаты моделирования и расчёта основных характеристик ЦФ;

в) таблицы и графики экспериментальной части проведенных исследований; г) анализ полученных результатов и выводы по работе.

1.6.Контрольные вопросы

1.Поясните основные принципы построения ЦФ. Приведите примеры функциональных схем.

2.Запишите разностные уравнения для рекурсивного и нерекурсивного фильтра.

3.Выполните Z-преобразования разностного уравнения рекурсивного и нерекурсивного ЦФ.

4.Получите системную функцию рекурсивного и нерекурсивного ЦФ первого или второго порядков.

5.Объясните, почему АЧХ и ФЧХ ЦФ являются периодическими функциями частоты. Как связаны K(jw) и системная функция Н(z)?

6.Какая взаимосвязь существует между импульсной и системной функциями ЦФ?

7.Какие погрешности характерны для ЦФ?

8. Получите Z-преобразования решетчатых функций x(nT )= an , x(nT )= a n+1 ,

x(nT )= an−1, x(nT )=1, x(nT )= δ(nT ), x(nT )= e−αnT .

9.Приведите функциональные схемы построения цифрового дифференциатора; цифрового резонатора.

10.Поясните основные принципы и приведите функциональную схему построения цифровых согласованных фильтров.

11

Лабораторная работа №2

ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

2.1. Цель работы

Исследование вопросов оптимальной обработки, обнаружения и разрешения простых и сложных сигналов на примерах прямоугольных и фазоманипулированных видеоимпульсов в условиях действия аддитивных помех. Имитируется канал связи; исследуются автокорреляционные функции сигналов; разрешающая способность по времени прихода сигналов, а также характеристики обнаружения – вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения.

2.2. Основные обозначения, расчётные формулы и определения

Как известно [1], основная задача оптимальной линейной фильтрации состоит в выделении сигнала из аддитивной смеси, при наилучшем по определенным правилам полученном соотношении сигнал/помеха. Такая задача относится к обнаружению сигнала в шумах и поэтому сохранение его формы не является обязательным условием.

Можно показать [1, 2], что оптимальное по критерию максимума отношения сигнал/помеха на входе является фильтр согласованный с сигналом и имеющий коэффициент передачи Kопт(jw)= AS* (jw)e− jwt0 , где А

коэффициент пропорциональности; – функция комплексносопряженная по отношению к спектральной плотности сигналаS(jw); t0 – момент времени соответствующий пиковому значению сигнала на выходе.

Импульсная характеристика фильтра может быть найдена как обратное преобразование Фурье и равна g(t)= As(t0 −t). Она представляет собой зер-

кальную копию исследуемого сигнала.

Сигнал на выходе оптимального фильтра (ОФ) и корреляционная функция шума на выходе ОФ по форме совпадают с временной корреляционной функцией сигнала, так как фильтр согласуется с частотно-временными характеристиками сигнала и

sвых (t)= AK(t − t0 )= AK(τ) ,

Kвых (τ)= A2W0 K(τ),

где W0 – интенсивность энергетического спектра белого шума действующего на входе ОФ, а К(τ) – корреляционная функция сигнала.

Максимально возможное отношение сигнал/помеха (по напряжению) на выходе равно:

12

где Э – энергия сигнала; σвых2 = Квых(τ = 0) – дисперсия помехи на выходе. Выигрыш по напряжению в отношении сигнал/помеха, реализуемый

при оптимальной фильтрации равен

нал/помеха не получить, а использование сложных сигналов ( B >>1) позволяет получить существенный выигрыш. Кроме того, необходимость использования сложных сигналов связана с требованиями высокой разрешающей способности, например, по дальности в радиолокационных системах; высокой степени разделения сигналов поверхностного и пространственных лучей в радионавигационных системах; в коротковолновых системах связи при использовании отражений сигналов от ионосферы и др. При выборе таких сигналов обычно стремятся обеспечить постоянство огибающей на длительности сигнала, что выгодно с точки зрения использования по мощности выходных каскадов передатчиков. В то же время требуемые свойства сигналов обеспечиваются путем введения соответствующей модуляции фазы или частоты.

Поскольку корреляционная функция сигнала обычно имеет протяженность порядка 1f , а в оптимальном фильтре сигнал преобразуется в сигнал с

входного, то есть происходит эффективное "сжатие" сигнала в ОФ.

В лабораторной работе в виде сложного сигнала используется сигнал Баркера. У таких сигналов вся длительность сигнала Tc разбивается на N временных позиций длительностью T0 = TNc каждая. На i-ой позиции формируется

колебание U me jφi , где U m и φi – амплитуда и фаза колебания высокой частоты, причем φi может принимать лишь два значения: 0 или π. Аналитическая запись фазоманипулированного (ФМ) сигнала имеет вид u(t)=U m cos(wct + Θ(t)), где

или –1 в порядке, определяемом требуемой формой сигнала.

13

Комплексная огибающая ФМ сигнала определяется выражением

U (t)= U m N∑−1φ(t − kT )(1− d k )

2k=0

идля 13-ти позиционного кода Баркера приведена на рис П.2. приложения 2.фм 0

Можно заметить, что значение комплексной огибающей ФМ сигнала в точках kT0 вычисляются как

Uфм(kT0 )= 1 ∑N d (i)d (i+k ) , N i=1

или в частности при отсутствии временного сдвига ( k = 0 )

U (kT )= 1 ∑N (d (i))2 =1,

Ni=1

апревышение главного максимума над побочными лепестками составляет Nфм 0

раз.

Структурная схема получения ФМ сигнала приведена на рис.3.

u(t)

Рис 3. Формирование N-позиционного сигнала Баркера 1 – Генератор одиночных импульсов; 2 – Линия задержки; блоки ±1 – инверторы;

3– генератор высокой частоты;

4– сумматор;

5- балансный модулятор.

2.3.Предварительная подготовка

1.Привести функциональную схему фильтра, оптимального для простого сигнала прямоугольной формы и сложного 13-ти позиционного сигнала Баркера одинаковой длительности (Tс=1.95мс).

2.Изобразить импульсные характеристики ОФ для отмеченных в п. 1 сигна-

лов. Принять длительность одной позиции То=0.15 мс. Привести пример для несогласованного фильтра.

3.Проиллюстрировать рисунками и найти напряжение на выходе ОФ для прямоугольных импульсов и сигналов Баркера в случаях, если на входе ОФ действуют:

3.1.каждый из названных сигналов в отдельности;

14

3.2. два прямоугольных импульса или сигнала Баркера разнесенные во времени на 1, 2, 3 элемента (позиции) исследуемого сигнала.

вотношении C .

П вых

5.В предположении нормальности воздействующего шумового напряжения

ности ложной тревоги (Рлт) и правильного обнаружения (Рпо) сигналов.

6.Провести моделирование оптимальных фильтров, используя для расчётов материалы приложения 6 и стандартные программы lab_filter.exe (в папке РТЦиС на ВЦ) или MATHCAD.

2.4. Лабораторное задание

Ознакомьтесь с описанием лабораторной установки и контрольноизмерительной аппаратуры, подключите приборы согласно рис.1 и схеме, приведённой на лицевой панели, включите установку нажатием кнопки “Вкл”. При этом все остальные кнопки должны быть выключены. После этого проведите следующие измерения.

1.Синтезируйте исследуемые сигналы и ОФ.

1.1.С помощью программатора сформируйте сигнал передатчика канала связи в виде прямоугольного импульса, включив кнопку “Сигнал” и все 13-ть кнопок программатора, а также кнопку первого канала – “I”.

1.2.Отключите кнопку “Сигнал” программатора и включите кнопку “Отклик”. В этом случае ОФ будет согласован с прямоугольным видеоимпульсом.

1.3.С помощью двухлучевого осциллографа получите и зарисуйте сигналы на входе и выходе ОФ.

1.4.Повторить пункты с п. 1.1 по 1.3 для 13-ти позиционного сигнала Баркера, учитывая, что отклик фильтра должен совпадать с зеркальной копией сигнала.

2.Исследуйте обнаружение и разрешение сигналов при воздействии шумов.

2.1.Уровень шума на входе ЦФ должен быть равен нулю. Включив кнопку

“Скважность”, устанавливают тем самым период повторения Тп=4.9 Тс. Установите кнопками "Разряды АЦП" число разрядов равное 4.

2.2.Сформируйте с помощью программатора 1 значения простого видеосигнала и его импульсного отклика. Включите кнопку “I” канала и установите потенциометром “I” уровень входного сигнала в диапазоне 2

÷3 В.

15

2.3. Отключите кнопку “I” канала и включите кнопку ”II” канала. Установить потенциометром “II” канала уровень входного сигнала задержанного на τ1 в диапазоне напряжений от 1 до 4 В.

2.4.Включите одновременно кнопки “I” и ”II” каналов и зарисуйте осциллограммы на входе и выходе ЦФ.

2.5.Для нескольких различных значений уровня задержанного сигнала по

выходному напряжению ЦФ измерьте величину задержки τ1 , Убедитесь, что τ1 не изменяется.

2.6. Отключите кнопки “I” и “II” каналов и включите кнопку “III” канала. Установите потенциометром “III” уровень входного сигнала, задержанного на время τ2, в диапазоне от 1 до 4 В.

2.7.Включите одновременно каналы “II” и “III” и зафиксируйте осциллограммы. Повторить п. 2.5.

2.8.Сформируйте с помощью программатора сложный 13-ти позиционный сигнал Баркера и соответствующий ему импульсный отклик ОФ. Проведите исследования разрешающей способности сложного сигнала и повторите пункты от п. 2.2. по 2.7.

3.Исследуйте характеристики обнаружения сложных сигналов.

3.1.Выключите кнопку “Скважность”, тем самым устанавливается период

повторения Тп=1.15Тс. Установите число разрядов АЦП равное 4. Сформируйте с помощью программатора 13-ти позиционный код Баркера и его импульсный отклик ЦФ.

3.2.Отключите кнопки “II” и “III” каналов и включите кнопку “I” канала. Подключите генератор шума и частотомер к соответствующим гнездам лабораторной установки. Установите уровень шума на входе ЦФ рав-

ный нулю. С помощью потенциометра «Порог» установите Uпор≤0. Включите частотомер в режим подсчёта числа импульсов и, установите время счёта (1 или 10 с), определите число импульсов, которое будет соответствовать К=Кmax за время измерения.

3.3. Определите вероятность ложной тревоги. Для этого отключите входной сигнал (кнопка “I” выключена) и включите шум. Установите уровень среднеквадратического значения шума σх=2÷4В. Изменяя уровень порога в диапазоне Uпор= 0÷2.5В занесите в таблицу значения количества (К) превышений выбросов шума на выходе ЦФ над порогом Uпор.

занесите в таблицу. Постройте графики PЛТ = f (U пор ). По графику определите значения Uпор соответствующие PЛТ =10−2 и PЛТ =10−3 .

3.4. Определите вероятность правильного обнаружения. Для этого отключите шум и установите Uпор, соответствующее PЛТ =10−2 . Установите

уровень шума на входе ЦФ такой же величины, как и в п. 3.3. Включи-

16

те кнопку “I” канала и, изменяя уровень Um входного сигнала (Um= 0.3÷2.2В), получите количество превышений К выбросов случайного процесса на выходе над заданным Uпор за рекомендуемое выше время

результаты занесите в таблицу. Проведите аналогичные измерения PПО для вероятности ложной тревоги PЛТ =10−3 и результаты так же сведите в таблицу.

2.5. Указания к отчёту

Отчет должён содержать: функциональную схему канала связи и фильтра, оптимального для рассматриваемых сигналов; результаты выполнения домашнего задания; результаты измерений и осциллограммы разрешения и характеристик обнаружения простых и сложных сигналов; анализ полученных результатов и сравнение разрешающей способности сигналов, объяснения характера зависимости Рлт=f(Uпор) и Рпо=f(С/П), а также сравнение с теоретическими зависимостями.

2.6.Контрольные вопросы

1.Объясните основные принципы построения оптимальных фильтров. В чем их преимущества?

2.Приведите основные частотно-временные характеристики оптимальных фильтров.

3.Чему равно максимальное значение отношения (С/П) на выходе фильтра и от чего оно зависит?

4.Для каких сигналов можно реализовать ОФ и каковы условия физической реализуемости ОФ?

5.Сохраняется ли форма сигнала на выходе ОФ и какой вид она имеет?

6.Какие принципы используются при оценке разрешающей способности сигналов и как они реализуются?

7.Изобразите функциональную схему фильтра согласованного с сигналом Баркера.

8.Назовите и поясните основные критерии обнаружения сигналов.

9.Назовите и поясните основные характеристики обнаружения сигналов.

10.Поясните, почему при уменьшении вероятности ложной тревоги снижается вероятность правильного обнаружения при заданном отношении С/П?

17

Приложения

Приложение 1

ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

Обнаружение, приём и обработка сигналов производится по определенным правилам, а оптимальная решающая схема построения приёмного устройства, работающего в условиях различных помех, находится методом теории статистических решений, при заданном критерии качества. Приёмник с оконечными устройствами, работающими по определенным правилам, будет выдавать различные решения, одни из которых будут верными (о наличии сигнала в анализируемой смеси), а другие ошибочными [3]. В.А. Котельников в 1946 г. предложил оценивать работу приёмного устройства по максимуму вероятности правильного приёма сигнала при заданном законе модуляции. Такой приёмник считается идеальным приемником, а используемое правило – критерием идеального наблюдателя. Этот критерий обеспечивается решающей схемой приёмника, построенной по принципу максимума апостериорной

(послеопытной) вероятности. Это коротко можно записать как max P U i y ,

где U i – i-ый анализируемый сигнал в аддитивной смеси y(t) =U i (t) + x(t) , где x(t) – аддитивная помеха.

Согласно известной формуле Байеса [3], условная вероятность передачи сигнала Uj равна:

где P(Uj) априорная (доопытная) вероятность передачи сигнала Uj, то есть та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа смеси y(t), определяемая статистическими характеристиками источника сигнала; w(y) безус-

ловная плотность вероятности смеси; w yU j – условная вероятность анали-

зируемой смеси при условии, что передается сигнал Uj.

Из (П 1.1) можно записать правило принятия решения на основе критерия идеального наблюдателя:

Для построения решающей части такого приёмника необходимо знать априорные вероятности P(Ui), а также свойства модулятора и канала переда-

чи, определяющие w yU j .

18

Правило решения (П 1.2 ) можно записать иначе – решение о том, что передавался сигнал Uj, должно приниматься для всех j ≠ i (j=1,….m), если выполняется m-1 неравенств

Это отношение известно как отношение правдоподобия двух гипотез о том, что передавался сигнал Ui, и о том, что передавался сигнал Uj. Когда все

При осуществлении оптимальной когерентной обработки полагают полностью известные формы используемых сигналов вплоть до знания фазы высокочастотного заполнения и возможный момент прихода на вход приёмника. Неизвестным параметром может быть лишь значение коэффициента передачи по каналу распространения. Для принимаемой смеси y(t)= μU (t)+ x(t), где μ – коэффициент передачи по каналу распространения, тогда решение принимается на основе анализа реализации процесса y(t) при известной форме U(t) в предположении, что момент возможного поступления полезного сигнала на вход обнаружителя t=0. Если воспользоваться при отмеченных условиях критерием Неймана-Пирсона (суть которого заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги Pлт обеспечивается минимальная вероятность пропуска сигнала), то алгоритм оптимального когерентного обнаружения будет иметь вид:

энергия сигнала, W0 – интенсивность энергетического спектра белого шума. В случае, когда сигнал U(t) является узкополосным, что обычно имеет место в реальных условиях, он может быть представлен через низкочастотные

квадратурные составляющие, тогда

u(t)=U m cos(wc t −φ(t))=U m cos(φ(t))cos(wc t)+U m sin(φ(t))sin(wc t).

Представляя аналогично аддитивную смесь, на входе приёмного устройства получим: y(t)= Ac (t)cos(wc t)+ As sin(wc t), где Ac (t) и As (t) – косинусоидальная и синусоидальная низкочастотные составляющие входного сигнала.

В результате (П 1.4) можно привести к виду

19

Структурные схемы устройств, реализующих алгоритмы (П 1.4) и (П 1.5) приведены на рис. П1. а и рис. П1. б, где СФ, СФс и СФs – фильтры согласованные с сигналом U(t) и низкочастотными квадратурными составляющими сигнала; РУрешающее устройство, а остальное – смесители, генератор, фазовращатель, фильтры и сумматор.

СФ РУ

a)Uнп

СФС

СФS

б)

Рис. П1. Примеры построения устройств обнаружения сигналов на основе согласованных (оптимальных)

фильтров

Приложение 2

РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ

Под разрешением (различением) сигналов в радиотехнике (наиболее часто и широко в радиолокации) понимают возможность раздельно обнаруживать и измерять параметры сигналов от близко расположенных целей. Различение сигналов обычно происходит на фоне помех, существенно ухудшающих характеристики разрешения.

Степень различия двух сигналов U1(t) и U2(t), например, имеющих одинаковые энергии (Э1=Э2=Э), аналитически обычно оценивают по величине относительной характеристики, определяемой по алгоритму