Konspekt_Tv_2020_ch_4
.pdfКонспект лекций по теории вероятностей и математической статистике.
Авторы: Лохвицкий М.С., Синева И.С.
3 семестр 2020/2021 учебный год.
Лектор – Лохвицкий Михаил Сергеевич
Часть 4
3.Некоторые важные распределения вероятностей
Из огромного количества распределений в данный раздел отобраны те, которые наиболее часто встречаются в различных приложениях и знание которых обязательно для эффективного использования вероятностностатистических методов при решении практических задач.
3.1. Дискретные случайные величины
3.1.1. Вырожденное распределение
Случайная величина – постоянная a.Тогда:
( )
Данное распределение в каком-то смысле «примиряет» детерминистов и вероятностников, поскольку неслучайные величины оказываются частным случаем случайных величин.
3.1.2. Биномиальное распределение B(n, p). (Распределение Бернулли).
Случайная величина X – число наступлений события А в n испытаниях схемы Бернулли.
X может принять значения 0, 1,…,n. Закон распределения СВ (в форме ряда распределения) имеет вид:
X |
0 |
1 |
|
… |
k |
|
… |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
( |
) |
… |
( |
) |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Закон называется биномиальным так как вероятности, стоящие во второй строчке таблицы, являются слагаемыми бином Ньютона:
( )
Параметрами у этого закона являются: n, p.
Для нахождения числовых характеристик СВ введем в рассмотрение новые случайные величины k=0, 1, …, n.
|
{ |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
∑ |
Действительно, в этой сумме столько единиц, |
|||||
сколько раз произошло событие A в n испытаниях. |
|
|
|||||
Ряд распределения для |
имеет вид: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
p |
|
|
q |
|
p |
|
Математическое ожидание |
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
Дисперсия D |
( ) |
( |
) |
( |
) |
||
Найдем математическое ожидание и дисперсию X: |
|
|
|||||
∑ |
∑ |
|
|
|
|
|
(3.1) |
DX=∑ |
∑ |
|
√ |
|
|
|
(3.2) |
|
|
|
|
Пример 3.1. Гнутая монетка подбрасывается 30 раз .Вероятность выпадения герба p=0,6.Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение для СВ –числа появлений герба в 30 испытаниях.
Решение.
√=√
3.1.3. Гипергеометрическое распределение
( )
Встречается в задачах выбора без возвращения: в исходной совокупности из N элементов имеется М элементов вида А и N-М элементов вида В. Наудачу выбирается n элементов. Данное распределение описывает вероятность того, что из избранных n элементов k принадлежит классу A и n- k классу В.
Используемые параметры:
3.1.4. Распределение Пуассона П( )
( |
) |
|
(3.3) |
|
Появляется как предельное распределение для биномиального при (теорема Пуассона). Это распределение является одним из основных распределений, появляющихся в задачах массового
обслуживания (распределение количества заявок в очереди, числа занятых каналов, числа поступивших заявок за определѐнное время и т.п.)
Используемые параметры:
Найдем математическое ожидание :
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
( ) |
|||||||
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|||
|
|
|
|
Комментарии к действиям: 1. При переходе от первой суммы ко второй вынесли за знак суммы экспоненту и изменили нижний индекс с 0 на1, т.к. при k= 0 первое слагаемое в сумме равно 0. 2. При переходе от второй суммы к третьей сократили k и k!, в знаменателе стало (k-1)! 3. При переходе к четвертой сумме сделали замену (k-1)=l, k=l+1. 4.При переходе к пятой сумме вынесли в первой степени за знак суммы. 5. Полученный
в 5 сумме ряд – это ряд Маклорена для |
. |
|
Итак, параметр |
в законе Пуассона имеет смысл математического |
ожидания (среднего значения) и называется интенсивностью закона. В
системах массового |
обслуживания |
|
|
|
равен |
среднему числу вызовов в |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
единицу времени. |
Дисперсию |
будем находить по вычислительной формуле. |
||||||||||||||||||||
Для этого найдем |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( |
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
||||||
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Комментарии к действиям: Действия были такими же, как при вычислении |
||||||||||||||||||||||
Только замены делали два раза: (k-1)=l, k=l+1, и |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ. |
|
|
|
|
|
|
Итак, для СВ, распределѐнной по закону Пуассона, выполнятся равенство:
Замечание. Последнее свойство можно использовать при проверке гипотезы о том, что СВ распределена по закону Пуассона: если оценки величин близки, то нет оснований отвергать эту гипотезу. Но если оценки величин существенно отличаются, то гипотезу о распределении Пуассона нужно отвергнуть.
Пример 3.2. На базовую станцию поступает 120 вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом промежутке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за три минуты на станцию поступит а) три вызова; б) не менее трех вызовов; в) хотя бы один вызов.
Решение. В минуту на станцию поступает |
⁄ |
|
вызова. Тогда за |
||||||||
|
три минуты |
поступает |
|
|
|
вызовов. а) |
|
||||
( |
|
) |
|
|
б) |
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ( ) |
( ) |
( )) |
|
|
( |
⁄ |
+ ⁄ ) |
|
|
) ( |
) |
|
|
( ) |
|
|
1-0,0025=0,9975 |
|
|
3.1.5. Геометрическое распределение |
|
|
|||
|
( |
) |
( |
) |
|
Возникает в схеме Бернулли как распределение первого наступления |
|||||
события A. Используемые параметры: |
[ |
] |
|
||
Необходимо подчеркнуть, что во всех распределениях, связанных со |
|||||
схемой Бернулли, |
( ) |
одно и то же число. |
|
||
Многоугольники распределений для приведенных выше распределений |
|||||
приведены на рисунке 3.1. (Обозначения |
|
( |
) ). |
Вырожденное распределение |
Биноминальное распределение при |
Гипергеометрическое распределе - |
ние при N=30,n=10,M=10 и M=20
Распределение Пуассона при |
Геометрическое распределение при |
ʎ=2 и ʎ=4,5 |
p=0,3 и p=0,4 |
Рис 3.1 Многоугольники важнейших дискретных распределений вероятностей.
3.2.Непрерывные случайные величины
3.2.1.Равномерное распределение R(a,b)
( ) |
{ |
[ |
] |
(3.4) |
|
[ |
|
] |
|||
|
|
|
|
||
|
Т.е. плотность |
|
распределения вероятностей есть величина |
постоянная на некотором интервале. Это распределение используется в теории сигналов, моделях массового обслуживания: а) при фазовой или
частотной модуляции в системах передачи сигнала фаза |
равномерно |
||||
распределена |
на |
интервале [ |
]; б) время ожидания |
транспорта при |
|
фиксированном интервале |
|
движения T равномерно распределена на |
|||
интервале [ |
]; |
в) фаза в |
сети переменного тока в момент включения; г) |
угол остановки фиксированной точки у сбалансированного колеса, д) величина погрешности при округлении.
Используемые |
параметры: |
|
|
Постоянную |
С |
||
определим из условия нормировки плотности: |
|
|
|||||
∫ |
( ) |
∫ |
|
( |
) |
⁄ |
(3.5) |
Замечание. Проще можно найти значение c из геометрического смысла условия нормировки: площадь под графиком плотности равна 1. В данном случае это прямоугольник с длиной основания ( ) поэтому высота должна равняться
⁄.
Два распределения равномерного закона c различными значениями параметров a,b (а именно, ) изображены на рисунке 3.3. Найдем функцию распределения равномерного закона
( ) ∫ ( ) |
{∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
={
График функции распределения изображен на рисунке 3.2.:
Рисунок 3.2. График функции распределения равномерного закона.
Вероятность попадания в |
интервал |
( |
) |
|
( |
) по свойству 5 |
||||||||||||||||
функции распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
X |
) = |
|
( ) – F ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем математическое ожидание и дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∫ |
( |
) |
∫ |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
) |
|
|
( ) ∫ |
( ) |
∫ |
|
dx= |
|
|
|
|
( ) |
( ) |
( ) ( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
( )
Математическое ожидание у равномерного закона совпадает с серединой интервала. Дисперсия пропорциональна квадрату длины интервала, а среднее квадратическое отклонение пропорционально длине
интервала; √
√
Рисунок 3.3. Равномерное распределение |
Экспоненциальное распределение |
3.2.2. Экспоненциальное (показательное) распределение ( )
( ) |
{ |
(3.6) |
Случайная величина с таким распределением встречается в задачах теории надѐжности (время «жизни» элемента системы), теории массового обслуживания (время обслуживания, время ожидания), приложениях физики элементарных частиц и т. п. Часто возникает в паре с распределением Пуассона (см. выше), причѐм значение параметра в этих распределениях одно и то же.
Параметр: |
>0. |
Найдем функцию |
распределения |
показательного |
|||
закона. Если |
, то ( |
) |
|
Если |
|
|
|
( ) |
∫ |
( |
) |
∫ |
( |
)| |
. |
|
|
( |
) |
{ |
|
|
|
График функции распределения изображен на рисунке 3.4.
Рисунок 3.4. Функция распределения экспоненциального закона распределения.
Найдем математическое ожидание и дисперсию экспоненциального закона распределения:
∫ |
( ) |
∫ |
dx = |
|
. |
|
( ) ∫
Замечание. При вычисление MX нужно применить интегрирование по частям, а при вычисление DX нужно применить интегрирование по частям дважды.
( ) ( ) ( ( )) ,
Вероятность попадания показательно распределенной случайной
величины X в заданный интервал ( |
) находится по формуле (при |
): |
||||
( |
) |
( ) |
( ) ( |
) ( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
Пример.3.3 Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону: |
|
|
|
( ) { |
|
Найти ( |
). |
|
Параметром данного показательного распределения является |
. |
|
( |
) |
|
Пример.3.3 Длительность разговора по мобильному телефону, в
среднем, равна 3 минуты. Какова вероятность того, что произвольный
телефонный разговор будет длиться от трех до семи минут?
Пусть случайная величина X - длительность разговора по мобильному
телефону, по |
условию, |
( ) |
. Очевидно, случайная |
величина |
||||||||
распределена по показательному закону. Тогда из того, что |
( ) |
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как ( |
) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.3. Распределение Лапласа
( ) |
| |
| |
|
|
|
|
Широко используется в описании речевых сигналов и изображений как распределение отклонений от некоторого среднего уровня или распределение изменений сигнала (изображения) при переходе к соседней точке.
Параметры:
3.2.4. Нормальное (гауссовское) распределение ( |
) |
Плотность распределения нормального закона имеет вид