Элементы ТФКП
.pdfКАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е.А. Турилова
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Казань - 2009
Печатается по решению секции научно-методического совета КГУ
В учебном пособии достаточно кратко (но полно) излагаются основные понятия теории функций комплексного переменного в объеме, предусмотренном программой по курсу математического анализа для студентов факультета ВМК.
1
§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
1. Комплексным числом z называется выражение вида z = x + {y, где x; y 2 R (здесь { - так называемая мнимая единица, {2 = ¡1). При этом x = Rez - действительная, а y = Imz - мнимая часть числа z.
Два комплексных числа z1 = x1 + {y1 и z2 = x2 + {y2 называются равными, если x1 = x2; y1 = y2. Число z = x ¡ {y называется сопряженным к z = x + {y. Число
¸z = (¸x) + {(¸y).
Всякое комплексное число z = x + {y можно отождествить с точкой (x; y) 2 R2. В этом случае о плоскости R2 мы будем говорить как о комплексной плоскости C.
Для z = x + {y 6= 0 можно рассмотреть модуль z jzj = px2 + y2 и аргумент z Arg z - угол между радиус-вектором точки (x; y) и положительным направлением действительной оси. Arg z определен неоднозначно. Среди множества значений Arg z существует единственный угол ' 2 (¡¼; ¼]. Этот угол будем называть главным значением аргумента и обозначать arg z.
Выражение z = x + {y - алгебраическая форма комплексного числа.
Величины r = jzj и ' = arg z можно рассматривать как полярные координаты точки (x; y). Тогда x = r cos '; y = r sin ' и
z = x + {y = r(cos ' + { sin ')¡
тригонометрическая форма комплексного числа. Используя формулу Л.Эйлера
e{' = cos ' + { sin ';
получаем
z = re{'¡
показательная форма комплексного числа.
В этом случае e{0 = 1; e{' ¢e{Ã = e{('+Ã); e{('+2¼k) = e{' (k 2 Z); e¡{' = e1{' ; je{'j = 1.
2. Пусть z1 = x1 + {y1 и z2 = x2 + {y2. Рассмотрим следующие операции над комплексными числами z1 и z2:
2
- сложение
z1 + z2 = (x1 + x2) + {(y1 + y2);
- вычитание
z1 + z2 = (x1 ¡ x2) + {(y1 ¡ y2);
- умножение
z1 ¢ z2 = (x1 + {y1) ¢ (x2 + {y2) = (x1x2 ¡ y1y2) + {(x1y2 + x2y1);
- деление |
|
|
¢ z2 |
|
|
|
z1 |
= |
z1 |
: |
|
|
z2 |
|
z2 |
¢ z2 |
Некоторые действия с комплексными числами удобно производить, записав числа в тригонометрической форме. Пусть z1 = r1(cos '1 + { sin '1); z2 = r2(cos '2 + { sin '2): Тогда
z1 ¢ z2 = r1 ¢ r2 (cos('1 + '2) + { sin('1 + '2))
(модули комплексных чисел умножаются, а аргументы складываются). Отсюда легко получить формулу Муавра для z = r(cos ' + { sin ')
- возведение в степень
zn = rn(cos n' + { sin n'):
- извлечение корня: корнем n¡ой степени из комплексного числа z называет-
ся комплексное число w, такое что wn = z (тогда w = pz). Если z = r(cos ' +
n
{ sin '); w = ½(cos µ + { sin µ) и z = wn, то
r(cos ' + { sin ') = ½n(cos nµ + { sin nµ):
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
n ; |
0 · k · n ¡ 1; |
|||
|
|
½ = pr; µ = n + |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
' |
|
2¼k |
|
|
||
то есть |
pr Ãcos |
|
|
|
|
! ; 0 · k · n ¡ 1: |
||||||
wk = (pz)k = |
n |
+ { sin |
n |
|||||||||
n |
n |
' + 2¼k |
|
' + 2¼k |
|
Примеры.
1. Пусть z = (1 + p3{): Требуется вычислить z9.
3
Представим z в тригонометрической форме: r = jzj = p1 + 3 = 2; arg z = ¼=3, следовательно,
z = 2(cos ¼=3 + { sin ¼=3:
Тогда
z9 = 29(cos 3¼ + { sin 3¼) = ¡512:
2. Пусть z1 = 1 + 3{; z2 = 2 + {. Требуется вычислить z1 : z2.
|
z1 |
= |
1 + 3{ |
= |
(1 + 3{)(2 ¡ {) |
= |
2 + 6{ ¡ { + 3 |
= |
5 + |
5{ |
= 1 + {: |
|||
|
z2 |
2 + { |
(2 + {)(2 ¡ {) |
4 ¡ {2 |
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Пусть z = ¡1. Требуется вычислить p |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
Представим число z = ¡1 в тригонометрической форме: ¡1 = 1(cos ¼ + { sin ¼).
Тогда |
|
|
|
|
|
= p |
|
Ãcos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ; |
|
|
|
|
||||
wk = p |
|
|
¼ + 2¼k |
+ { sin |
¼ + 2¼k |
0 · k · 1; |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
z |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
то есть |
= p1 |
µcos 2 |
+ { sin 2 |
¶ |
|
|
= p1 |
µcos |
32 |
|
|
32 |
¶ |
= ¡{: |
|||||||||||||
w0 |
= {; w1 |
|
+ { sin |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¼ |
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
¼ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом над полем комплексных чисел существует два квадратных корня из числа ¡1 : { и ¡{.
§2. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть C - комплексная плоскость. Определим функцию ½ :C! R:
q
½(z1; z2) = jz1 ¡ z2j = (x1 ¡ x2)2 + (y1 ¡ y2)2; 8z1 = x1 + {y1; z2 = x2 + {y2:
Очевидно, что функция ½, называемая метрикой в C, обладает 8 z1; z2; z3 2 C следующими свойствами:
1: ½(z1; z2) ¸ 0; ½(z1; z2) = 0 , z1 = z2; 2:½(z1; z2) = ½(z2; z1);
3:½(z1; z2) · ½(z1; z3) + ½(z3; z2):
"¡ окрестностью точки z0 называется множество вида
B"(z0) = fz 2 Cj ½(z; z0) < " g:
4
Пусть E ½ C. Точка z0 2 C называется предельной точкой множества E (соответственно, точкой прикосновения множества E), если
8" > 0 (B"(z0)nfz0g) \ E =6 ;
(соответственно,
8" > 0 B"(z0) \ E 6= ;:)
Множество E ½ C называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.
Множество E ½ C называется ограниченным, если
9 M > 0 8 z 2 E (½(z; 0) = jzj · M):
Теорема Больцано-Вейерштрасса.Всякое бесконечное ограниченное множество в C имеет хотя бы одну предельную точку.
§3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Пусть fzng µ C - последовательность комплексных чисел. Число z0 называется
пределом последовательности fzng, если
|
|
|
|
8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N (jzn ¡ z0j < "): |
|||||||||
(Обозначения: |
z |
0 |
= |
lim z |
n или |
z |
n ! |
z |
0 |
(n |
! 1 |
) |
.) |
|
n |
|
|
|
|
2.Предложение. zn ! z0 () xn ! x0; yn ! y0; (n ! 1):
(здесь zn = xn + {yn; z0 = x0 + {y0.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть zn ! z0. Тогда jzn ¡ z0j ! 0 (n ! 1). Имеем:
q
0 · jxn ¡ x0j · (xn ¡ x0)2 + (yn ¡ y0)2 = jzn ¡ z0j ! 0:
Следовательно, xn ! x0 (n ! 1). Аналогично, yn ! y0 (n ! 1).
5
Достаточность. Пусть xn ! x0 yn ! y0 (n ! 1). Тогда
jzn ¡ z0j2 = (xn ¡ x0)2 + (yn ¡ y0)2 ! 0 (n ! 1): ?
Таким образом, все правила вычисления пределов вещественных последовательностей переносятся на случай комплексных последовательностей.
3. Критерий Коши. Последовательность fzng сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, то есть
8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N 8 p 2 N (½(zn+p; zn) = jzn+p ¡ znj < "):
§4. ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1. Пусть E µ C. Рассмотрим отображение f : E ! C, w = f(z)¡ функция комплексного переменного. Задание этой функции равносильно заданию двух функций u; v : R2 ! R. При этом u = Ref; v = Imf; f(z) = u(x; y) + {v(x; y) для z = x + {y.
Функция f(z) называется однолистной на множестве E, если
8 z1; z2 2 E z1 =6 z2 =) f(z1) =6 f(z2):
2. Пусть f : E ! C (E µ C); z0¡ предельная точка множества E. Для любой последовательности fzng µ E можно рассмотреть последовательность ff(zn)g.
Определение. Число ® 2 C называется пределом функции f(z) в точке z0, если f(zn) ! ® для любой последовательности fzng µ E, такой что zn ! z0 (zn =6 z0) или
8 " > 0 9 ± > 0 8 z 2 E (0 < jz ¡ z0j < ± =) jf(z) ¡ ®j < "):
3. Предложение. Пусть f(z) = u(x; y) + {v(x; y). Существование lim f(z) рав- |
|
носильно двум предельным соотношениям: |
z!z0 |
|
|
lim u(x; y) = a; |
lim v(x; y) = b; |
(x;y)!(x0;y0) |
(x;y)!(x0;y0) |
6
(здесь z0 = x0 + {y0; ® = a + {b).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть lim f(z), то есть
z!z0
8 " > 0 9 ± > 0 8 z 2 E (0 < jz ¡ z0j < ± =) jf(z) ¡ ®j < "):
Пусть z = x + {y таково, что jz ¡ z0j < ±. Тогда k(x; y) ¡ (x0; y0)k < ±. В этом случае ju(x; y)¡aj = jRe(f(z)¡®)j · jf(z)¡®j < "; jv(x; y)¡bj = jIm(f(z)¡®)j · jf(z)¡®j < ":
Достаточность. Пусть " > 0 - произвольно. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
9 |
± > 0 |
8 |
(x; y) (0 < |
k |
(x; y) (x0; y0) |
k |
< ± = |
u(x; y) a |
< p |
|
; |
|
|||||||||||
|
|
¡ |
) j |
¡ j |
2 |
|
В этом случае для z = x + {y при 0 < jz ¡ z0j < ± имеем
q
jf(z) ¡ ®j = (u(x; y) ¡ a)2 + (v(x; y) ¡ b)2 < ":
"
jv(x; y)¡bj < p2):
?
Таким образом, все правила вычисления пределов функций двух переменных переносятся на комплексный случай.
4. Функция f : E ! C (E µ C) называется непрерывной в точке z0 2 E, если для любой последовательности fzng ½ E
zn ! z0 =) f(zn) ! f(z0) (n ! 1):
Если z0 2 E - предельная точка, то функция f непрерывна в z0 тогда и только тогда,
когда lim f(z) = f(z0).
z!z0
Если z0¡ изолированная точка множества E, то всякая функция непрерывна в этой точке.
Непрерывность функции f(z) = u(x; y)+{v(x; y) в точке z0 = x0+{y0 эквивалентна непрерывности функций u(x; y) и v(x; y) в точке (x0; y0).
§5. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ
Отрезок [®; ¯] будем считать ориентированным, если указано, что ® - начало, а ¯ - конец отрезка.
7
Путем в C называется образ ориентированного отрезка при некотором непрерывном отображении, то есть множество вида
fz 2 Cj z = z(t); ® · t · ¯g;
где функция z(t) - непрерывна на [®; ¯].
Одна и та же точка плоскости может изображать несколько точек пути. В этом случае говорят о путях с самопересечениями.
Путь называется жордановым, если он не имеет точек самопересечения.
Путь z(t) = x(t) + {y(t) называется гладким, если x(t); y(t) - непрерывно диффе-
ренцируемы и |
x0 |
(t) + {y0(t) = 0 |
8 |
t |
2 |
[®; ¯]: |
|
6 |
|
|
Множество E µ C называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывным путем в этой области.
Областью называется открытое связное множество.
Если зафиксировать область G µ C, то все точки комплексной плоскости можно разделить на три группы: собственно точки области, которые иногда называют внутренними (каждая лежит в области вместе с некоторой окрестностью), внешние точки (хотя бы одна из окрестностей таких точек имеет пустое пересечение с областью) и граничные точки (в каждой окрестности таких точек есть точки, входящие в область G, и точки, не входящие в G). Множество граничных точек G называется границей области G (обозначается @G).
Связное замкнутое множество называется континуумом.
В дальнейшем мы будем рассматривать только области, границы которых являются континуумами. При этом область G называется односвязной, если граница области - один континуум. В противном случае область называется многосвязной, а количество континуумов, образующих границу, определяет порядок связности.
Примеры. 1. Круг fz 2 Cj jz ¡ z0j < Rg - односвязная область.
2.Кольцо fz 2 Cj r < jz ¡ z0j < Rg - двусвязная область.
3.Комплексная плоскость с n "дырками n-связная область.
8
§6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
1. Пусть G - область в C, f : G ! C, w = f(z) = u(x; y) + {v(x; y). Функция f называется R-дифференцируемой в точке z0 = x0 + {y0 2 G, если функции u и v дифференцируемы в точке (x0; y0) как функции двух переменных.
2. Функция f : G ! C называется C-дифференцируемой в точке z0 2 G, если существует
f(z0 + 4z) ¡ f(z0):
4z
Этот предел называется производной функции f в точке z0 и обозначается f0(z0).
3. Условия Коши-Римана. Пусть f : G ! C; |
w = f(z) = u(x; y) + {v(x; y). |
||||||||
Функция f C-дифференцируема в точке z0 = x0 + {y0 |
тогда и только тогда, когда |
||||||||
f R-дифференцируема в точке z0 и выполнены условия (Коши-Римана): |
|||||||||
|
|
@u |
@v |
|
|||||
|
|
|
|
(x0; y0) = |
|
|
(x0; y0); |
|
|
|
|
@x |
@y |
|
|||||
|
@u |
|
@v |
|
|||||
|
|
(x0; y0) = ¡ |
|
(x0; y0): |
|
||||
|
@y |
@x |
|
До к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция f C-дифференцируема
вточке z0 = x0 + {y0. Тогда
4w = f(z0 + 4z) ¡ f(z0) = f0(z0)4z + ®(z0; 4z)4z;
где ® ! 0 при 4z ! 0. Пусть f0(z0) = a + {b. Тогда
u(x0 + 4x; y0 + 4y) ¡ u(x0; y0) + {(v(x0 + 4x; y0 + 4y) ¡ v(x0; y0)) =
= (a + {b) ¢ (4x + {4y) + (®1 + {®2) ¢ (4x + {4y):
Приравнивая действительные и мнимые части равенства, получаем:
4u(x0; y0) = a4x ¡ b4y + ®14x ¡ ®24y;
4v(x0; y0) = b4x + a4y + ®24x + ®14y;
9