§ 2. Отношения между понятиями

Ав: Здравствуйте, друзья! Подумайте над следующей задачей: кого в мире больше - отцов, сыновей или мужчин?

Сс: Конечно, мужчин.

Ав: А потом?

Сс: Ну, наверное, отцов, а потом сыновей. Хотя с сыновьями и отцами не очень ясно.

Ст. Подождите, мы же уже умеем изображать объемы понятий при помощи кругов Эйлера. (Подходит к доске и рисует следующую картинку:

Рис. 1

Получится вот так! Здорово, взяли и нарисовали мысли! Сс: Ты уверен, что это правильно? Ст: Ты сам так сказал.

Сс: Я-то сказал... Но правильно ли я сказал?

Ав: Да, это очень хороший вопрос. Давайте посмотрим. (Обращается к рисунку Студента-тугодума). Рассмотрим какой-нибудь предмет, который входит в объем

понятия «отец», но не входит в объем понятия «сын», как нарисовано на вашей

картинке. (Подходит к доске и ставит точку в круге «отцы» следующим образом:

Что же получается? У вас существуют отцы, которые не являются сыновьями. Это хорошо?

Ст: Нет, этого не может быть.

Сс: Да, но то же самое можно сказать и о понятиях «сын» и «мужчина». У нас получилось, что не каждый мужчина - сын.

Ав: Придется нам в этом деле разобраться.

Наше рассмотрение объемов понятий и множеств показывает, что один и тот же объект может быть элементом объема различных понятий. Так, Иван Петрович Сидоров одновременно может быть элементом объемов понятий «человек», «студент», «мужчина», «спортсмен», «избиратель» и т.п. Уже этот простой факт показывает, что данные понятия вступают между собой в определенные отношения, поскольку имеют общий элемент. Но ведь a priori¹ можно предположить, что в определенные отношения вступают и те понятия, которые не имеют общих элементов - ведь это уже само по себе определенное отношение.

Рассмотрим произвольную пару понятий A и B.

Понятия A и B назовем сравнимыми, если в содержаниях этих понятий имеется хотя бы один общий признак.

Пример. Понятия «мужчина» и «женщина» сравнимы, поскольку в их содержаниях есть общий признак «быть человеком».

Почти все понятия сравнимы. Даже божий дар и яичница в нашей логической онтологии являются предметами, а следовательно, имеют в своем содержании общий признак. Обратите внимание, что в этом определении речь идет не об основном содержании, а обо всем содержании понятия. Поэтому почти у каждой пары понятий можно найти общий признак.

Понятия A и B назовем несравнимыми, если в содержаниях этих понятий не встречается ни одного общего признака.

Мы не будем иметь дела с несравнимыми понятиями, поэтому не будем их подробно рассматривать.

До сих пор речь шла о содержании понятий. Содержание представляет собой сложный признак, в котором могут встречаться много простых признаков, соединенных различным образом (через «и», «или» и т.п.). Поэтому с рассмотрением соотношения понятий по содержанию возникают сложности. Чтобы избежать неточностей, можно было бы ограничиться основным содержанием понятий, как оно определено в § 2 этой главы. Для этого надо в определениях заменить слово «содержание» на слово «основное содержание». Однако надо иметь в виду, что в таком случае сравнимость и несравнимость понятий будет зависеть от того, каким образом мы сформулируем основное содержание понятий.

Более точной является теория отношений понятий по объему.

Из предшествующего — лат.; в философии: до всякого опыта.

Рассмотрим пару сравнимых понятий A и B.

Понятия A и B назовем совместимыми, если объемы этих понятий имеют хотя бы один общий элемент

Пример. Понятия «футболист» и «гений» совместимы, потому что существуют гениальные футболисты, например, Эдуард Стрельцов или Пеле.

Понятия A и B назовем несовместимыми, если в объемах этих понятий нет ни одного общего элемента.

Пример. Понятия «божий дар» и «яичница», как предполагается в поговорке «спутал божий дар с яичницей», несовместимы, т. е. ни один объект по имени «божий дар» не является в то же время объектом по имени «яичница». Короче говоря, эта поговорка гласит, что ни одна яичница не является божьим даром и наоборот.

Если обозначить объем понятия тем же символом, что и само понятие, то условие совместимости двух понятий можно записать так:

АпВф0,

а условие несовместимости так:

АпВ=0.

В отличие от сравнимости-несравнимости понятий нас будут интересовать как виды совместимости, так и виды несовместимости понятий.

Виды совместимости

Представим себе возможные случаи совместимости двух понятий A и B. Во- первых, может быть так, что объемы понятий A и B совпадают. Во-вторых, может быть так, что объем понятия B целиком входит в объем A, но в то же время имеются такие элементы A, которые не являются элементами объема понятия B. В-третьих, может быть так, что объемы понятий имеют общую часть, но есть такие элементы объема понятия B, которые не являьтся элементами объема понятия A и наоборот.

Рассмотрим эти три случая подробнее.

Понятия A и B назовем равнозначными, если объемы этих понятий состоят из одних и тех же элементов.

Отношения между понятиями по объему удобно иллюстрировать кругами Эйлера. В данном случае получится следующий рисунок:

Пример. Следующие понятия являются равнозначными: (A) Луна и (B) естественный спутник Земли; (A) квадрат и (B) равносторонний прямоугольник; (A) дочь и (B) женщина; (A) сын и (B) мужчина; (A) сын и (B) внук.

Понятие B п о д ч и н яе т с я понятию A, если объем B является собственным подмножеством объема A.

Несложно заметить, что вид понятия подчиняется самому этому понятию, а любое понятие подчиняется своему роду.

При помощи кругов Эйлера это отношение изобразим таким образом:

Рис. 4

Пример: Следующие понятия находятся в отношении подчинения: (B) студент и (A) человек; (B) человек и (A) животное; (B) историк и (A) гуманитарий; (B) мать и (A) дочь — все это пары понятий, из которых первое подчиняетсэ второму.

Понятия A и B находятся в отношении п е ре к ре щ и в а н и я, если они

совместимы и имеются элементы объема понятия A, не являющиеся элементами

объема понятия B, и элементы объема понятия B, не являющиеся элементами объема

понятия A.

При помощи кругов Эйлера отношение перекрещивания можно изобразить следующим образом:

Рис. 5

Пример. (A) студент и (B) спортсмен, (A) женщина и (B) красивый человек, (A) монархия и (B) демократическое государство — все это пары перекрещивающихся понятий.

Как устанмвить, в каком отношении находятся совместимые понятия? Для этого следует задать нашим понятиям A и B два вопроса:

1. Все ли A являются B ?

2. Все ли B являются A ?

Если мы на оба вопроса отвечаем «да», то получаем отношение равнозначности.

Если мы на первый вопрос отвечаем «да», а на второй — «нет», то понятие A подчиняется понятию B.

Если мы на первый вопрос отвечаем «нет», а на второй — «да», то понятие B подчиняется понятию A.

Если мы на оба вопроса отвечаем «нет», то получаем отношение перекрещивания,

Пример. Рассмотрим понятия «сын» и «мужчина». Причем под мужчиной будем понимать человека мужского пола. Зададим наши вопросы.

Все ли сыновья являются мужчинами? - Да. Все ли мужчины являются сыновьями? - Да.

Следовательно, мы получили отношение равнозначности.

Пример. Теперь рассмотрим отношения между понятиями «сын» и «отец».

Всякий ли сын является отцом? - Нет. Всякий ли отец является сыном? - Да.

Мы получили отношение подчинения, причем понятие «отец» подчиняется понятию «сын»¹.

Это дает нам решение задачи, приведенной в диалоге наших персонажей в начале этого параграфа. Графически это решение можно представить следующим образом:

Если подытожить наше рассмотрение видов отношения совместимости, то мы получим следующую диаграмму:

Равнозначность Подчинение Перекрещивание

¹ Обратите внимание, что логические отношения между понятиями отличаются от обычных отношений старшинства в семье.

Виды несовместимости

Отношение несовместимости не менее практически важно для мышления, чем отношение совместимости. В нашем мышлении часто возникает задача показать несовместимость некоторых мыслей, например, в дискуссиях. Тогда нам необходимо знание отношений несовместимости между мыслями и умение его выявлять.

Отношения между несовместимыми понятиями мы будем делить на два вида: соподчинение и противоречие.

Понятия A и B называются соподчиненными, если существует третье понятие C, такое, что A подчиняется C и B подчиняется C, и существует элемент объема понятия С, который не входит ни в объем понятия А, ни в объем понятия B.

Графически это отношение можно изобразить так:

Рис. 8

Пример. Понятия (4) «студент» и (B) «школьник» соподчинены понятию (С) «учащийся», потому что «студент» подчиняется понятию «учащийся», «школьник» подчиняется тому же понятию, но существуют еще учащиеся, например, аспиранты, которые не являются ни школьниками, ни студентами.

Пр отиворечащими называются понятия A и B, если существует третье понятие C, такое, что A подчиняется C и B подчиняется C и не существует такого элемента объема понятия C, который бы не был элементом объема понятия A или элементом объема понятия B.

Короче говоря, прориворечащие понятия делят объем третьего понятия ровно на две несовместимые части.

Графически это отношение между понятиями можно изобразить так:

Пример. Понятия (A) «монархия»» и (B) «республика»» являются противоречащими понятиями, потому, что они несовместимы и оба подчинены понятию (C) «форма правления государства», и никакой другой формы правления, кроме монархии и республики, нет.

Пример. Если отвлечься от наличия среди (C) людей гермафродитов и транссексуалов, то противоречащими понятиями будут понятия (A) «мужчина» и (В) «женщина».

Самый простой¹ способ образования понятия, противоречащего данному, - это добавление к имени, выражающему данное понятие, частицы «не». «Человек» - «нечеловек», «совместимые понятия» - «несовместимые понятия» и т.п. При этом только всегда надо представлять объем какого третьего понятия они делят на несовместимые части.

Отношение противоречия - одно из самых важных в логике. Впоследствии мы будем изучать специальный закон (не)противоречия. На отношении противоречия основывается такая важная логическая операция, как дихотомическое деление, которое мы с вами подробнее изучим в главе 7.

«Tertium non datur» - «третьего не дано» - этой старинной формулой может быть описано отношение противоречия. Если же понятия находятся в отношении соподчинения, то «третье» дано, но дано оно может быть по-разному. Поэтому среди понятий, находящихся в отношении соподчинения, мы выделим простое соподчинение и противоположность.

Понятия A и B находятся в отношении проти в о п о л о ж н о с т и , если A и B соподчинены третьему понятию C и представляют собой крайние степени выраженности некоторого качества.

Определение кажется сложным, но, в принципе, имеет простое содержание, что сразу же выяснится на рисунке и примерах. Учет крайних степеней выраженности качества выходит за пределы логики, поскольку имеет отношение уже не к форме мысли, а к ее содержанию. Поэтому выделение в рамках отношения соподчинения еще и отношения противоположности имеет нелогический характер, однако мы приводим его из-за его близости логике (оно «почти логическое») и практической (и даже философской!) важности

Графически это отношение традиционно изображается следующим образом:

И верный!

Отметим, что, строго говоря, между диаграммой, изображающей отношение соподчинения, и только что приведенной диаграммой никакого различия нет. То, что круги 4 и B примыкают к диаметрально противоположным точкам окружности С, просто означает тот (нелогический) факт, что 4 и B представляют крайние случаи выраженности некоторого качества, присущего элементам С.

Пример. Пусть понятием С будет «цвет». Тогда A - это «белый цвет», а B - это «черный цвет». Понятно, что они представляют собой крайние степени выраженности качества цвета.

Пример. Пусть С - это понятие «человек». Тогда А - это «мудрец», B - это «глупец». Последние понятия представляют собой крайние степени наличия у человека ума, а между ними расположено множество людей со средними умственными способностями¹.

В свое время Аристотель разработал теорию, согласно которой добродетель - это среднее между двумя крайними степенями развития некоторого качества души. Так, например, такие противоположности - трусость и безрассудная отвага, а между ними - добродетель «мужество». Графически это можно изобразить так:

Рис. 11

На этом основании можно сказать, что трусость - это недостаток, а безрассудная отвага - избыток того качества души, которое, будучи присуще душе в меру, представляет собой мужество.

Точно также можно охарактеризовать то качество души, которое определяет бережливое отнмшение к своему имуществу. Избыток этого качества - скупость, недостаток - расточительность, среднее между ними - щедрость.

Нетрудно заметить, что отец логики - Аристотель - применил здесь учение о противоположных понятиях для того, чтобы выработать свое учение о добродетели.

Мы получили следующую классификацию пар понятий, находящихся в отношении несовместимости:

Правда, древние философы из школы стоиков считали, что все люди делятся на мудрецов и глупцов. Какие отношения между понятиями «мудрец» и «глупец» получаются в таком случае?

Несо_пв_ом_не_яс_тт_ии_ямые

Противоречие

Соподчинение

Простое Противоположность

соподчинение

Рис. 12

Если эту классификацию соединить с классификацией совместимых понятий, то мы получим классификацию всех отношений между сравнимыми понятиями, а следовательно, и классификацию всех отношений между понятиями.

Теория отношений между понятиями создает в нашей голове мощную структуру, позволяющую систематизировать отношения между любыми понятиями, и на основе ясного и отчетливого знания этих отношений строить свои дальнейшие рассуждения об этих понятиях. Если вам удастся овладеть этой структурой, то у вас не останется каких- либо трудностей в решении задач на отношения между понятиями, как учебных, типа той, что мы решали с нашими героями в начале этого параграфа, так и реальных задач, возникающих при обучении и исследовании.