4. Игра задана платежной матрицей. Найдите оптимальные смешанные стратегии игроков а и в и цену игры графическим способом.
|
|
В1 |
В2 |
|
А1 |
4 |
7 |
|
А2 |
5 |
3 |
Решение.
Дадим геометрическую интерпретацию игре. Возьмем участок оси абсцисс единичной длины и проведем через его концы вертикальные прямые a1 и a2 соответствующие нашим стратегиям A1 и A2. Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B1 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A1, то наш выигрыш составит 3.Отметим соответствующую ему точку на оси a1. Если же мы будем использовать чистую стратегию A2, то наш выигрыш составит 4. Отметим соответствующую ему точку на оси a2.
Очевидно, если мы будем применять, смешивая в различных пропорциях стратегии A1 и A2, наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 3) и (1 , 4), назовем ее линией стратегии B1 (показана красным цветом). Абсцисса любой точки на данной прямой равна вероятности p2 (частоте), с которой мы применяем стратегию A2, а ордината - получаемому при этом выигрышу k.
Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B2 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A1, то наш выигрыш составит 6.Если же мы будем использовать чистую стратегию A2, то наш выигрыш составит 2. Аналогично, если мы будем смешивать в различных пропорциях стратегии A1 и A2, наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 6) и (1 , 2), назовем ее линией стратегии B2. Как и в предыдущем случае, абсцисса любой точки на этой прямой равна вероятности, с которой мы применяем стратегию A2, а ордината - получаемому при этом выигрышу, но только для стратегии B2.
Получаем следующие значения:
v=4,6 – цена игры;
p2=0.60 – оптимальная частота для игрока А.
v=4.6 – цена игры;
q2=0.2 – оптимальная частота для игрока В.
Теперь
найдем 
и 
.
Теперь составим матрицы оптимальных стратегий.
5.Выбирая санаторную путёвку в туристической фирме, клиент руководствуется рекомендациями, ценой и местонахождением санатория.
Рекомендациям, цене и местонахождению санатория приписывается вес 15%,60 % и 25% соответственно. Клиенту предложили три путёвки.
Используя системный анализ для оценки санаториев, были получены приближенные следующие оценки
|
|
|
санатории |
|
|
критерии |
А |
В |
С |
|
рекомендации |
20% |
35 % |
45 % |
|
цена |
60% |
25 % |
15 % |
|
местонахождение |
40% |
30 % |
30 % |
Найти оптимальный выбор путевки.
Решение.
Оценка
трех кандидатов основана на вычислении
комбинированного
весового коэффициента
для
каждого из них.
Кандидат А:
Кандидат В:
Кандидат С:
На основе этих вычислений кандидат С получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, будет выбран.
6.Пусть в распоряжении статиста имеется три стратегии А1,А2,А3. а у природы предполагается четыре возможные состояния В1, В2, В3, В4. Выигрыш статиста при каждой паре стратегий задан платежной матрицей.
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
3 |
5 |
6 |
1 |
|
А2 |
3 |
2 |
5 |
5 |
|
А3 |
5 |
8 |
4 |
3 |
1)Построить матрицу рисков.
2)Найти оптимальную байесовскую стратегию с известными вероятностями состояния природы p1=0.2, p2=0.3, p3=0.4, p4=0.1 соответственно и средний выигрыш.
3) Найти оптимальную байесовскую стратегию, если не известны предпочтения ни одной гипотезы.
4)Вероятности состояния природы не известны. Требуется определить оптимальную стратегию, используя критерий Вальда.