Лекция 3, МГ, СЖД

ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЫТОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Бытовые и дополнительные напряжения. Определение бытовых напряжений в различных грунтовых условиях. Задача Фламана. Определение напряжений от произвольной полосовой нагрузки. Задача Мичелла. Задача Польшина.

3.1. Бытовые и дополнительные напряжения

При решении практических задач в рамках ТЛДС принято отдельно определять напряжения, возникающие от собственного веса грунта, и напряжения, возникающие от внешних нагрузок, а затем алгебраическим суммированием получать величину напряжений от суммарного воздействия указанных факторов. Такой подход вполне оправдан, поскольку в ТЛДС справедлив принцип суперпозиции, или принцип независимости действия сил. В соответствии со сказанным введем понятия бытовых и дополнительных напряжений.

Бытовые напряжения это напряжения, возникающие в основании только от действия собственного веса грунта веса вышележащих слоев. Обозначаются индексом «g», например, zg.

Дополнительные напряжения это напряжения, возникающие в основании только от действия внешней нагрузки. Обозначаются индексом «p»,

например, zp.

Общее напряженное состояние находится суммированием:

и т.д.

В дальнейшем при раздельном анализе бытового и дополнительного напряженного состояния индексы «g» и «p» будем, как правило, опускать.

3.2. Определение бытовых напряжений в различных грунтовых усло-

виях

Определение бытового напряженного состояния, вообще говоря, является крайне сложной задачей, поскольку для этого необходимо знать всю историю осадконакопления на территории каждой конкретной строительной площадки. При этом может оказаться, что принцип линейной деформируемости будет вообще неприменим. Вместе с тем, на практике бытовые напряжения рассчитываются весьма просто вследствие обычно принимаемых дополнительных гипотез об упрощенном характере процесса осадконакопления. В большинстве случаев этого достаточно для инженерных целей.

Однородное основание. Рассмотрим простейший случай определения бытового напряженного состояния однородного изотропного линейно-

В произвольном i-м слое остальные напряжения определятся как

сона i-го слоя.

Однородное обводненное основание. Допустим. что требуется определить бытовые напряжения в однородном основании, которое полностью обводнено и сложено водопроницаемым грунтом (рис. 3.2, б). В этом случае вода свободно перемещается по порам грунта и оказывает взвешивающее воздействие на частицы грунта.

В таких условиях на глубине z бытовые напряжения равны:

где sb ( s – w)/(1 e) удельный вес грунта с учетом взвешивания водой, s удельный вес частиц грунта, w 9,8 кН/м3 удельный вес воды, e коэффициент пористости.

Степень взвешивания частиц грунта при его обводнении для разных видов грунтов будет различна. Чем меньше общая площадь контактов между частицами, тем полнее проявляется взвешивание для каждой из них. Поскольку по площадям контактов между частицами гидростатическое давление воды не может передаваться, то в этом случае имеет место, как говорят, неполное взвешивание частиц. Принято считать, что полному взвешиванию подвергаются пески и супеси, несколько хуже суглинки, а для плотных глин взвешивания вообще может не быть.

В практических расчетах взвешивание частиц грунта водой обычно не учитывают, если коэффициент фильтрации k < 10–5 м/сут и IL < 0,25. Совсем грубая оценка взвешивания частиц производится в зависимости от вида грунта

– пески и супеси принимаются как водопроницаемые грунты, а тяжелые суглинки и глины рассматриваются как водоупор.

Двухслойное обводненное основание. Рассмотрим определение бытовых напряжений в обводненном основании дна водоема. Допустим, что с поверхности дна залегает песчаный грунт (ИГЭ №1) с удельным весом 1, а подстилает его слой плотной глины (ИГЭ №2) с удельным весом 2 (рис. 3.3, а). ИГЭ №1 является водопроницаемым грунтом, а ИГЭ №2 можно считать водоупорным. Такая ситуация нередко встречается в транспортном строительстве, в частности, при сооружении мостовых переходов.

Благодаря тому, что вода свободно перемещается в песках, каждая частица песка (ИГЭ №1) подвергаются давлению воды со всех сторон по закону Паскаля, что и создает эффект взвешивания. Соответственно, в уровне подошвы песчаного слоя вертикальные бытовые напряжения составят (рис. 3.3, а):

z sb,1h1,

где sb,1 удельный вес песчаного грунта с учетом взвешивания водой, h1 мощность его слоя.

В глине вода такого воздействия на частицы уже не оказывает, т.е. взвешивающая сила исчезает. Глина будет воспринимать и давление от веса песка (с учетом его взвешивания водой), и давление от веса столба воды высотой Hw. В результате на границе слоев песка и глины на эпюре вертикальных напряжений возникает скачок, равный давлению от столба воды wHw. Эпюра бытовых вертикальных напряжений примет такой вид, как показано на схеме (см. рис. 3.3, а), а компоненты бытовых напряжений в точке M на глубине z h1 h2 определятся зависимостями:

z sb,1h1 wHw 2h2 ,

где 2 – коэффициент бокового давления в грунте ИГЭ №2.

Рис. 3.3. Бытовые напряжения в основании дна водоема (WL – уровень воды, NL – природный уровень дна): а – верхний слой проницаемый, подстилающий слой водоупорный; б – верхний слой водоупорный, подстилающий слой проницаемый

Если водоупор залегает с поверхности, а проницаемый слой является подстилающим, то скачок на эпюре бытовых напряжений, равный давлению от столба воды высотой Hw, будет находиться в уровне z 0. В этом случае взвешивания не будет ни для одного из слоев, а эпюра бытовых вертикальных напряжений будет такой, как показано на рис. 3.3, б (здесь ИГЭ №1 – водоупор, ИГЭ №2 – водопроницаемый грунт).

3.3. Задача Фламана, 1892

Все нижеследующие решения задач о дополнительных напряжениях в грунте, приведенные ниже, даны без учета собственного веса.

Расчетная схема и искомое решение. Пусть вдоль оси Oy нормально к поверхности основания действует погонная нагрузка P (рис. 3.4). Остальная часть поверхности остается свободной. Требуется определить напряженнодеформированное состояние основания от такой нагрузки.

Решение системы уравнений (2.5)…(2.7) для данных граничных условий имеет вид:

где R – длина радиус-вектора точки M.

Выражения для деформаций и перемещений нетрудно получить, используя непосредственно формулы (2.6) и (2.7).

M (x, z)

z

Рис. 3.4. Расчетная схема задачи Фламана

Для условий плоской деформации, кроме напряжений (3.5), нормально к плоскости хОz действуют главные напряжения y 2. Их величину можно определить из закона Гука для условий плоской деформации (2.4):

Подставив сюда выражения для x и z из (3.5), получим

Проверка правильности решения. Формулы (3.5) действительно явля-

ются искомым решением, если они удовлетворяют уравнениям исходной системы (2.5)…(2.7) и граничным условиям.

В качестве иллюстрации того, как выполняются подобные проверки, покажем, что, например, формулы для напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия. Напомним, что в уравнениях равновесия (2.5) следует положить 0, поскольку рассматриваются только дополнительные напряжения.

Итак, подстановка (3.5) в первое из уравнений (2.5) даст:

Эпюры x, z симметричны относительно оси Oz, а эпюра xz обратно симметрична. При этом z имеет на оси Oz максимальное значение, а x и xz равны нулю.

Чем дальше от поверхности находится рассматриваемая точка, тем больший массив грунта включается в восприятие нагрузки, т.е. напряжения, как говорят, рассеиваются. Все напряжения на любой прямой, проходящей через начало координат O, уменьшаются по мере удаления от точки O и при r (r

– радиус-вектор рассматриваемой точки) обращаются в нуль, а при r 0 неограниченно растут.

Осадка поверхности. Выражение для осадки в задаче Фламана имеет

вид:

где C произвольная постоянная.

График осадки поверхности основания показан на рис. 3.6.

P

x

s(x)

z

Рис. 3.6. Осадка s(x) поверхности

Обратим внимание, что при x 0 имеем s . Это объясняется тем, что в точке приложения нагрузки (0, 0), как было установлено ранее, вертикальные напряжения z стремятся к бесконечности, вызывая согласно закону Гука столь же большие деформации.

Однако решение (3.6) имеет еще две важные особенности, препятствующие ее непосредственному практическому применению.

Во-первых, формула (3.6) содержит произвольную постоянную, которая не может быть определена из имеющихся граничных условий. И это уже является существенным недостатком. Во-вторых, при любом значении произвольной постоянной C линия, определяющая деформированный вид поверхности, пересекает ось Ox и бесконечно «уходит» вверх, т.е. s(x) при x (см. рис. 3.6). Такое положение дел прямо противоречит существующим представлениям о деформациях оснований.

Таким образом, решение Фламана, имеющее очень большое значение в ТЛДС, не позволяет сколько-нибудь адекватно оценить осадку при данных граничных условиях. Тем не менее, как оказалось, в качестве базовой зависимости, выражение (3.6) все-таки может быть использовано при решении ряда задач, например, в контактной задаче, что будет рассмотрено нами ниже.

3.4. Задача о произвольной полосовой нагрузке

Решение Фламана не может напрямую использоваться для расчетов грунтовых оснований, поскольку нагрузка в этой задаче приложена по бесконечно узкой полосе. В то же время передача нагрузок на основание от реальных сооружений всегда происходит по конечной площади. Причем чем больше площадь передачи нагрузки, тем меньше давление, к чему всегда стремятся при проектировании оснований и фундаментов.

Вместе с тем задача Фламана имеет фундаментальное значение в механике грунтов, поскольку на ее основе решаются разнообразные задачи о напря- женно-деформированном состоянии оснований в условиях плоской деформации.

Выделим на поверхности основания полосу шириной 2a и бесконечной длины в направлении оси Oy (рис. 3.7). К ней приложим давление, изменяющееся поперек полосы по произвольному закону p p(x) при a x a. Вдоль Oy давление не меняется. Определим напряжения в точке M.

Рис. 3.7. К определению напряжений от произвольной полосовой нагрузки

Возьмем в основании произвольную точку M с координатами (x, z), а на полосе загружения на расстоянии от начала координат выделим бесконечно узкую полоску шириной d . В точке x по полоске d действует давление p( ), которое заменим эквивалентной бесконечно малой погонной нагрузкой dPp( )d . Расстояние от точки приложения этой силы до точки M определяется координатой z и разностью x . Используя формулы Фламана (3.5), можно определить бесконечно малые величины напряжений в точке М от силы dP. Для этого достаточно в формулах (3.5) заменить нагрузку P на dP p( )d , а координату x на x :