Лекция 3, МГ, СЖД

Рис. 3.8. Расчетная схема к задаче Мичелла

Наибольшее главное напряжение 1 направлено по биссектрисе угла видимости.

Кроме приведенных напряжений нормально к любой плоскости, параллельной плоскости xOz, действуют напряжения

y 2 ( 1 3) 2 p .

Анализ напряженного состояния. На рис. 3.9 показаны эпюры напря-

жений при a 1 вдоль трех вертикальных линий: под центром загруженной полосы (x 0), под краем (x 1,0) и в стороне от нагрузки (x 1,5).

Рис. 3.9. Эпюры напряжений z, x и xz вдоль вертикальных линий x 0; x 1,0; x 1,5

Качественно вид этих эпюр повторяет то, что было в задаче Фламана (см. рис. 3.5), и основной результат, на который следует обратить внимание – это уменьшение напряжений по мере удаления от нагрузки. Однако есть и отличия. В частности, в задаче Фламана нагрузка прикладывалась по бесконечно узкой полосе, что приводило к бесконечно большим напряжениям в точке приложения нагрузки. Здесь же нагрузка распределена по ширине 2a, и вертикальные напряжения z под нагрузкой равны давлению p, что, кстати, отвечает граничным условиям. При этом под краем загруженной площади имеем z p/2.

На рис. 3.10 показаны графики вертикальных напряжений z вдоль горизонтальных линий на различных глубинах.

Рис. 3.10. Графики z вдоль горизонтальных линий на различной глубине

Формула для осадки поверхности. Осадку поверхности в задаче Мичелла определим также на основе решения Фламана (3.6) с точностью до произвольной постоянной:

К сожалению, данная формула имеет те же недостатки, что и формула (3.6) – невозможность в рамках принятых граничных условий определить произвольную постоянную (здесь она принята равной нулю) и выход деформированной поверхности в отрицательную область: s при x . На рис. 3.11 приведен пример графика осадки с точностью до произвольной постоянной при следующих исходных данных: p 1, a 1, 0,3, E 100.

За исключением формулы для осадки, рассмотренное решение имеет важное практическое значение. Полученные здесь картины распределения напряжений в основании носят принципиальный характер и качественно соответствуют очертаниям полей напряжений для широкого круга практических задач. Прямое применение этого решения – основание центрально загруженного ленточного фундамента.

3.6. Задача Польшина, 1933

Расчетная схема и формулы для напряжений. Решение Польшина име-

ет значение, прежде всего, для строителей железных и автомобильных дорог и для строителей-гидротехников, поскольку оно используется при определении напряжений в основаниях насыпей. Расчетная схема задачи дана на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Схема к определению напряжений в основании от треугольной полосовой нагрузки

Решение достигается интегрированием выражений (3.7), в которых следует положить:

p( ) p . 2a

В результате напряжения в точке M(x, z), возникающие в основании от действия треугольной полосовой нагрузки, могут быть найдены по формулам:

Графики вертикальных напряжений. На рис. 3.13 даны графики напря-

жений z, построенные вдоль горизонтальных линий на различной глубине z. Отличительным признаком распределения напряжений в этой задаче по

сравнению с задачей Мичелла является ожидаемая асимметрия графиков в виду несимметричности нагрузки.

Осадка поверхности. Вертикальное перемещение точек поверхности в случае действия треугольной нагрузки составит:

Эта формула обладает теми же недостатками, что и формулы для осадок в

задачах Фламана и Мичелла, и представляет лишь теоретический интерес.

Рис. 3.13. Графики вертикальных напряжений вдоль горизонтальных линий на различной глубине

Определение напряжений в основании насыпи. Граничные условия этой задачи показаны на рис. 3.14. Если разбить трапецеидальную нагрузку от насыпи на три участка равномерно распределенную интенсивностью p и две треугольные, то, применяя принцип суперпозиции, в каждой точке основания можно отдельно определять напряжения от каждой из трех составляющих общей нагрузки, а затем их сложить.

Рис. 3.14. Расчетная схема силового воздействия насыпи на слабое основание

Напряжения в основании от такой нагрузки удобно рассчитывать с использованием углов видимости 1, 2, 3. В этом случае решение может быть приведено к виду:

Здесь обозначено:

Z 1a [a( 1 2 3) b( 1 3) x( 1 3 )] ,

T za ( 1 3 ) .

Углы видимости 1, 2, 3 и расстояния R1, R2, R3, R4 равны: