БСТ2154АрхангельскийМВ_1L1
.pdfМинистерство цифрового развития связи и массовых коммуникаций Российской федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский технический университет связи и информатики»
Лабораторная работа №1
«Применение базовых средств пакета MATHCAD для решения
нелинейных уравнений»
Вариант 1
Выполнил: Архангельский Максим Вячеславович студент 2 курса группы БСТ-2154
студенческий билет №ЗБСТ21001
Москва 2022г.
1. Задание для решения нелинейных уравнений
• |
уравнение |
tg |
( |
0, 36x + 0, 4 |
) |
= x |
2 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
• |
методы решения |
нелинейных уравнений для ручного расчета – |
|||||||
половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;
2. Отделение корней с использованием MathCad
Отделение корней производим графическим методом (а) с обязательным подтверждением результата аналитически (б)
а)
б) На отрезке [0,9; 1] функция f(x) меняет знак, т.е. существует, по крайней мере, один корень. Поскольку знак первой производной f1(x) < 0 на выбранном отрезке остается постоянным, то можно сказать, что функция на этом отрезке монотонна. Знакопостоянство второй производной f2(x) < 0 на выбранном отрезке является необходимым условием применения метода
Ньютона и метода хорд. Следовательно, уравнение tg (0, 36x + 0, 4) = x2 имеет единственный корень на отрезке [0,9;1].
3. Уточнение корня с использованием MathCad
Метод половинного деления
1)Исследование задания
•Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0,9; 1] функция
•
•
f (x) = tg (0,36x + 0, 4)− x |
2 |
меняет знак |
f (0,9) f (1) 0 |
и монотонна |
|
f (x) 0 , то условие сходимости выполняется.
Выберем за начальное приближение середину отрезка |
x0 |
= 0.95 . |
Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие bn − an , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна
быть меньше заданной точности: |
b − a |
. |
||
2 |
n |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
2) Результаты «ручного расчета» трех итераций
Результаты вычислений представлены в таблице 1.
n |
a |
b |
f(a) |
f(b) |
(a+b)/2 |
f((a+b)/2) |
b-a |
1 |
0,9 |
1 |
0,07417 |
-0,049549 |
0,95 |
0,014264 |
0,05 |
2 |
0,95 |
1 |
0,014264 |
-0,049549 |
0,975 |
-0,017159 |
0,025 |
3 |
0,95 |
0,975 |
0,014256 |
-0,017159 |
0,9625 |
-0,001326 |
0,0125 |
4 |
0,95 |
0,9625 |
|
|
0,95625 |
|
|
После 3 итераций приближение к корню – середина отрезка x = 0,95625.
3) Погрешность численного решения нелинейных уравнений
Оценим погрешность результата после трех итераций |
|
b |
− a |
|
= 0,1 |
|
|
||||
|
3 |
3 |
|
|
.
ОТВЕТ: после трех итераций корень уравнения равен 0,96±0,02.
|
|
|
|
Метод итераций |
|
|
1) Исследование задания для «ручного расчета» |
|
|||||
• |
Приведем уравнение f (x) = 0 к виду x = (x). Тогда рекуррентная |
|||||
формула |
x |
= |
( |
x |
Для сходимости |
процесса итерации |
n+1 |
|
n ), n = 0, 1,.... |
||||
необходимо, чтобы (x) 1 при |
x a;b . Если (x) |
1, то сходимость не |
||||
обеспечена.
Построим функцию x = (x).
Получаем, φ (x) = |
tg |
0, 36x + 0, 4 . |
На интервале [0,9; |
1] |
условие сходимости |
можно использовать итерирующую функцию
выполняется |
|
|
|
φ (x) = 
tg 0, 36x
(x)
1 + 0, 4
и
в
рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже.
•Выберем начальное приближение к корню (в методе итераций x0
–произвольное значение из отрезка [0,9; 1]), например, x0 = 0,96, и с
использованием итерационной функции |
φ (x) = |
tg 0, 36x + 0, 4 |
выполним |
|||||||||||
три итерации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
|
Условие |
окончания процесса |
уточнения корня. Для оценки |
||||||||||
погрешности метода итерации справедливо соотношение: |
|
|
||||||||||||
x |
|
− x* |
|
q |
x |
|
− x |
|
. Процесс итерации следует продолжать до тех пор, |
|||||
n |
|
|
n |
n−1 |
||||||||||
|
1 |
− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пока не выполнится условие останова: xn |
− xn−1 |
1 − q |
|
|
(x) на |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
q |
, где q = max |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выбранном отрезке, ε – заданная точность.
2) «Ручной расчет» трех итераций
Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой:
xn+1 = tg 0,36xn + 0, 4 , x0 = 0, 96 .
Результаты вычислений представлены в табл. 2.
k |
xk |
f(xk) |
|
|
|
0 |
0,96 |
0,001811 |
1 |
0,960943 |
0,000629 |
2 |
0,961270 |
0,000218 |
3 |
0,961384 |
0,000076 |
3) Погрешность численного решения нелинейного уравнения
Оценим погрешность результата после трех итераций:
ОТВЕТ: после трех итераций значение корня равно
0,96138 ± 0,00007.
Метод хорд
1) Исследование задания для «ручного расчета».
•Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости
метода необходимо знакопостоянство
f (x)
на отрезке [a; b].
• Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a; b], для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее
второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.
Рекуррентная формула метода хорд:
xn+1
На f (x) = tg
|
|
|
f(xn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= xn − |
|
|
(x − xn ), где |
x |
- неподвижная точка. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
f(x) − f(xn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
этапе |
|
отделения корня |
|
было показано, что для |
функции |
||||||||
(0,36x + 0, 4)− x |
2 |
вторая производная |
f |
|
(x) <0 на отрезке |
[0.9;1] и, |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||
следовательно, |
||||
( ) |
|
( ) |
|
. |
f 1 |
f |
1 |
0 |
|
неподвижной точкой является точка
x
= b
=
1
, так как
|
|
|
Таким |
|
образом, |
полагая |
x0 = a = 0, 9 , |
получим |
сходящуюся |
|||||||||||||||||||
последовательность приближений к корню. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает |
|||||||||||||||||||||||||
следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= x |
− |
f |
(x |
) |
|
|
(1− x ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
n |
(x |
|
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
n |
− f |
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности |
|||||||||||||||||||||||||
можно |
проводить |
по |
|
любой |
из |
формул |
x* − xn |
f (xn ) |
или |
|||||||||||||||||||
|
m1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
* |
− x |
|
|
M |
|
− m |
|
|
x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
, где m1 |
и M1 |
– наименьшее и наибольшее значения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
m |
|
|
|
n |
n−1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно использовать правило останова |
||||||||
|
(x) на отрезке. В случае, если M1<m1 |
|||||||||||||||||||||||||||
xn − xn−1 
E .
2) «Ручной расчет» трех итераций
Результаты вычислений представлены в виде таблицы 3:
k |
xk |
f(xk) |
|
|
|
0 |
0,9 |
0,7417 |
1 |
0,959951 |
0,001873 |
2 |
0,96141 |
0,000044 |
3 |
0,961443 |
0,000001 |
|
|
|
3) Погрешность численного решения нелинейного уравнения
Погрешность результата, вычисленного методом хорд, оцениваем по формуле
x* − xn M1 − m1 xn − xn−1 . m1
Тогда после трех итераций
ОТВЕТ: после трех итераций значение корня равно 0,961443 ±
0,000005.
4. Решение уравнения средствами MathCad
Для решения нелинейных уравнений вида f(x) = 0 в Mathcad используется функция root(f(x), x, a, b), где f(x) – выражение, стоящее в левой части решаемого уравнения, x – аргумент функции, a и b – границы отрезка с корнем. В приведенном ниже примере z – имя переменной, которой присваивается найденное значение корня. Функция root реализует вычисление корня уравнения численным методом с точностью TOL (по умолчанию TOL = 10-3).