Математические методы в проектировании изделий электроники кр

Таким образом,

рег( ) 487,422расч = ад( ) = 8,541 = 57,1.

Таким образом, подставив значение в соотношение расч > кр, получается 57,1 > 4,6. Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами и откликом принимается.

После того как выполняется проверка статистической значимости регрессионного уравнения в целом, осуществляется проверка на статистическую значимость полученных коэффициентов уравнения регрессии по t-критерию Стьюдента.

соответствующий коэффициент из модели удаляется.

Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для модели = ln был получен коэффициент = 19,5 (рисунок 1.7).

11

Рисунок 1.7 – Получение коэффициента для модели = ln

12

Значение определяется по следующей формуле:

получается 68,9 > 4,6. Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами и откликом принимается.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента

значимость коэффициента регрессии подтверждается.

Для адекватной модели рассчитывается характеристика точности, такая как средняя относительная ошибка (в процентах):

13

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 2,838 %. Поскольку ошибка меньше 5 %, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Продолжение таблицы 1.5

Значение определяется по следующей формуле:

показательной функцией = , > 0 представлена на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8 – Диаграмма разброса параметров и с показательной функцией = , > 0

Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для функции = , > 0 были получены эмпирические коэффициенты: = 0,0035; = 4,156 (рисунок 1.9).

15

Рисунок 1.9 – Получение эмпирических коэффициентов и

Коэффициент определяется из рисунка 1.9, а коэффициент

получается 84,3 > 4,6. Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами и откликом принимается.

16

Расчетные значения t-критерия Стьюдента а расч и расч:

Оценка коэффициента признается статистически значимой, если выполняется следующее условие

расч > кр.

кр = 2,145. Получается

а расч > кр

9,28 > 2,145

расч > кр

159,3 > 2,145

Для адекватной модели рассчитывается характеристика точности, такая как средняя относительная ошибка (в процентах):

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 2,132 %. Поскольку ошибка меньше 5 %, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Вывод:

По результатам однофакторного пассивного эксперимента были выбраны три элементарные функции (линейная, логарифмическая и показательная), которые описывали зависимость между и . Лучше всего поведение описывает показательная модель = 63,8 ∙ 0,0035∙, так как она имеет наименьшую относительную ошибку ∆ = 2,132 % и согласно методу наименьших квадратов выполняется условие = = 84,7.

17

Задание №2. Получение математической модели по результатам многофакторного пассивного эксперимента

Цель задания:

Сгенерировать на ЭВМ результаты опытов многофакторного эксперимента и получить математическую модель РЭУ с помощью прикладных программ для ЭВМ.

Решение:

Результаты многофакторного эксперимента, сгенерированные с помощью ЭВМ, представлены на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Результаты многофакторного эксперимента, сгенерированные с помощью ЭВМ

18

Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для линейного полинома первой степени

= 0 + 1 1 + + =

= 0 + ∑ = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5,

=1

были получены коэффициенты 0, 1, 2, 3, 4, 5 (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Получение коэффициентов 0, 1, 2, 3, 4, 5 для линейной полиномы первой степени = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5

Значения коэффициентов регрессии и результаты проверки их статистической значимости, полученные при реализации процедуры пошагового регрессионного анализа, представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Значения коэффициентов регрессии и результаты проверки их статической значимости

Оценка коэффициента признается статистически значимой, если выполняется условие расч > кр. Из таблицы 2.1 видно, что значимым

19

является только пятый коэффициент модели. Таким образом, математический вид уравнения регрессии, полученного после выполнения первого шага регрессионного анализа и содержащего только слагаемые со статистически значимыми коэффициентами:

= 2,02 5.

Заключение о статистической значимости линейного полинома экспериментальным данным принимают с помощью F-статистики Фишера по формуле:

ад( )расч = ( ) ,

где ад( ) − дисперсия адекватности отклика , характеризует расхождение между результатами опыта и расчетными значениями , полученными по построенной модели (конечному виду полиномы);

( ) − полная (общая) дисперсия отклика, характеризует разброс экспериментальных значений относительно среднего значения отклика.

Дисперсии ад( ) и ( ) подсчитываются по формулам

− значение , рассчитанное по построенной модели для i-го опыта;

− число опытов эксперимента;

− число значимых коэффициентов в построенной модели;

( ) − оченка математического ожидания отклика (среднее значение), подсчитанное по результатам всех опытов.

Дисперсия адекватности ад( ) можно рассчитать по формуле:

=1

20