новая папка 1 / 231810

уравнением первой

степени Ax By

C 0 ,

где

A, B, C –

постоянные

величины,

причем из чисел A и B хотя бы одно отлично от нуля. Уравнение заведомо имеет хотя

бы одно решение

x0 , y0 , то есть

существует

хотя

бы

одна

точка

M 0

x0 , y0 ,

координаты которой удовлетворяют уравнению: Ax0

By0

C

0 .

Вычитая

из

уравнения тождество, получим уравнение,

A(x

x0 ) B( y

y0 ) 0, определяющее

прямую L , проходящую через точку M 0

x0 , y0

и перпендикулярную вектору n

{A; B} ,

коэффициенты

A, B, C отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равен

нулю, то уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

1)

C

0 ,

уравнение Ax

By

0 определяет прямую, проходящую через начало

координат;

2)

B

0 , уравнение Ax

C

0 определяет прямую, параллельную оси Oy ;

3)

A

0 , уравнение By

C

0 определяет прямую, параллельную оси Ox ;

4)

B

0,

C

0 ,

уравнение Ax

0 определяет ось Oy ;

5)

A

0,

C

0 ,

уравнение By

0 определяет ось Ox .

Перепишем общее уравнение в виде

x

y

1 и введем обозначения: a

C

,

C

C

A

A

B

b

C

,

тогда в уравнении

x

y

1, называемом уравнением прямой в «отрезках»,

B

a

b

числа

a

и b

геометрически равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на

L y

b

0

a

x

направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1 (x1 , y1 )

и

имеющей

x

x1

y y1

,

заданный направляющий вектор q {l; m} , определяется равенством,

l

m

которое называют каноническим уравнением прямой. Если прямая проходит через

x

x1

y

y1

,

x2

x1

y2

y1

x x1

y

y1

t , следовательно,

l

m

x

x1

lt,

y

y1

mt.

этой прямой к оси Ox .

Уравнение прямой,

проходящей через заданную точку M1 (x1 , y1 ) и

имеющей

заданный угловой коэффициент k , имеет вид:

y

y1

k(x x1 ) .

Обозначая

постоянную

величину

b

y1

kx1 ,

получим

уравнение

прямой с

угловым

коэффициентом в виде:

y

kx

b.

Если две прямые L1

и

L2

заданы

общими

уравнениями

A1 x B1 y

C1 0 и

A2 x B2 y

C2

0 , то

угол

между

ними

определяется

с помощью формулы:

cos

A1 A2

B1 B2

.

A2

B 2

A2

B 2

1

1

2

2

Условие

параллельности

прямых L1

и L2

заключается в пропорциональности

коэффициентов

уравнений:

A1

B1

,

а

условие

перпендикулярности

прямых

A 2

B2

выражается равенством:

A1 A2

B1B2

0 .

Если две прямые

L

и

L

заданы каноническими уравнениями

x x1

y y1

и

2

1

l1

m1

x x2 y

y2

, то

угол

между

ними

определяется с

помощью

формулы:

l2

m2

cos

l1l2

m1m2

.

l 2

m2

l 2

m2

1

1

2

2

Условие параллельности прямых

L

и

L

определяется пропорцией

l1

m1

,

а

2

1

l2

m2

условие перпендикулярности прямых выражается равенством: l1l2

m1m2

0 .

y

k1 x b1

и y

k2 x

b2 , то угол между ними определяется с помощью формулы:

tg

k 2

k1

.

1 k1 k 2

Условие параллельности

прямых

L1 и L2 определяется равенством

k1 k2 ,

а

условие перпендикулярности прямых выражается отношением k2

1

.

k1

Если точка M (x, y)

лежит на прямой, проходящей через данные точки M1 (x1 , y1 ) ,

M 2 (x2 , y2 )

и делит отрезок

M1M 2 в отношении

M 1 M

, то координаты точки

M

MM 2

x

x1

x2

,

определяются по формулам:

1

y1

y2

y

.

1

В частности,

если

точка M (x, y)

делит отрезок

M1M 2 пополам, то

формулы

x

x1

x2

,

принимают вид:

2

y1

y2

y

.

2

Если положение прямой относительно осей координат определять длиной

перпендикуляра

p ,

опущенного из

начала координат на прямую, и

углом

,

уравнение прямой имеет вид: x cos

y sin

p 0 .

y

0

x

Всякое уравнение прямой общего вида

Ax By C 0 может быть приведено к

нормированному виду умножением всех его членов на нормирующий множитель

,

определяемый по формуле:

1

.

A2 B 2

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного

члена C общего уравнения прямой.

С учетом геометрического смысла параметра

p

в уравнении, для нахождения

расстояния

от

точки

M 0 (x0 , y0 )

до

прямой

L

применяется

формула:

d

Ax0

By0

C

.

A2

B2

Задание

Дана

прямая

5x

y

4

0 .

Найти уравнение

прямой,

проходящей через

точку

M (1; 2) и образующей угол 450

с данной прямой.

Решение

Используя

уравнение

y

y1

k(x

x1 ) , имеем:

y

2

k(x

1) .

Угловой

коэффициент k

искомой прямой найдем из условия, что угол

между прямыми 450 ;

tg

1. Угловой коэффициент данной прямой k1

5 . Если считать за первую прямую

данную,

а за вторую – искомую,

то

в

формулу следует

подставить

k1

5 ,

а

вместо

k2 коэффициент

k :

1

k

5

,

откуда k

2

. Уравнение искомой прямой

1

5k

3

y

2

2

(x

1) , или 2x

3y

4

0 .

3

Считая за первую

прямую искомую, а за вторую данную,

будем иметь:

1

5

k

,

1

5k

откуда k

3

.

2

Уравнение искомой прямой y

2

3

(x

1) или

3x

2y

7

0 .

2

Задание

Даны

вершины

треугольника

A(7;

4) , B(

1;8)

и

C( 12;

1) .

Найти

точку

пересечения медиан этого треугольника.

B

M

D

A

C

Найдем точку D – середину стороны BC :

xD

xB

xC

13

,

yD

yB

yC

7

.

2

2

2

2

Определим

точку,

M

в которой

пересекаются

медианы,

для

этого

разделим

медиану

AD

в отношении

2 :1

2. Абсцисса

точки

M :

xM

x A

xD

2 ,

1

ордината yM

y A

yD

1 .

1

Задание

Перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую, наклонен к оси

абсцисс под углом

и имеет длину 3. Найти нормированное уравнение этой

6

прямой.

Решение

Искомое уравнение определяется стандартом:

x cos

y sin

p

0 . По условию

,

p

3,

следовательно,

cos

3

,

sin

1

.

В

итоге

получим:

6

2

2

3

x

1

y

3

0 .

2

2

Задание

Дан треугольник с вершинами A(1;2) , B(4;3) и C 1;3 . Найти уравнения его сторон.

Решение

Уравнение

стороны

AB

определяется

стандартом:

x

x1

y

y1

. Имеем:

x2

x1

y2

y1

x

1

y

2

, или x

3y

5

0 .

4

1

3

2

Точки

B

и C имеют одинаковые ординаты,

следовательно,

сторона

BC

параллельна оси абсцисс и уравнение её имеет вид:

y

3. Точки

A

и

C имеют

одинаковые абсциссы, следовательно,

сторона

AC

параллельна оси ординат

и ее

уравнение x

1.

абсцисс под углом

и имеет длину 2. Найти нормированное уравнение этой

3

прямой.

4)

Дан треугольник с вершинами

A(3;4) , B(2; 3) и C 1;5 . Найти уравнения его

сторон.

5)

Дана

прямая 5x y 2

0 . Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M ( 1;

2) и образующей угол 450

с данной прямой.

абсцисс под углом