новая папка 1 / 231810
.pdf
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Из условия a |
|
5 и c |
|
|
|
3 по формуле b2 |
|
a2 |
|
|
c2 |
находим значение параметра b |
4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя a и b |
|
в каноническое уравнение, имеем: |
|
x 2 |
|
|
|
y 2 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проходящего через точку A( |
3;1,75) и имеющего эксцентриситет e |
0,75 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Имеем |
систему |
|
|
уравнений |
относительно |
|
параметров |
|
a , |
|
b , |
c |
|
|
a 2 |
b2 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 2 |
|
|
|
|
1,752 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a 2 |
|
|
b |
2 |
|
|
0,75. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
|
|
второго |
|
|
уравнения |
находим: |
|
1 |
|
|
b |
2 |
|
|
0,5625, |
|
т.е. |
|
b 2 |
|
0,4375 |
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b 2 0,4375a 2 . |
Подставляя |
это |
значение |
в |
первое |
уравнение, получим |
9 |
|
|
7 |
1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2 |
|
|
a 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тогда a2 |
16 , |
b2 |
7 |
. Уравнение эллипса: |
x 2 |
y 2 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями |
y |
|
|
|
|
|
6 |
x , и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
гипербола проходит через точку A(6; |
4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По |
|
|
|
условию |
|
|
b |
|
|
|
|
|
6 |
|
, |
|
следовательно |
|
b |
|
|
|
|
|
6 |
a . |
Подставляя в |
каноническое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнение |
координаты |
|
точки |
A |
и |
параметр |
b , |
получим |
систему |
уравнений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 |
|
|
16 |
1, |
|
|
36 |
16 9 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a 2 |
b 2 |
|
|
a 2 |
|
|
|
|
6a 2 |
|
|
12, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
b |
|
|
6 |
|
a |
|
|
b |
|
|
6 |
|
a |
|
|
b 2 |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Подставив в уравнение найденные значения, получим: |
x 2 |
|
|
y 2 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Асимптоты гиперболы заданы уравнениями 4y 3x |
0 , а расстояние между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фокусами равно 20. Найти каноническое уравнение гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты гиперболы определяются стандартом |
y |
|
b |
|
x |
|
b |
|
3 |
. |
По условию |
|||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2c |
20 , |
откуда |
c 10 . |
Так как для |
гиперболы |
c2 |
a2 |
b2 , |
то |
для |
нахождения |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значений a |
и b |
получим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
, решая которую найдем |
||||||||||||||
a |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
b 2 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
8, |
b |
6 . Следовательно, каноническое |
уравнение |
гиперболы |
имеет |
вид: |
|||||||||||||||||
|
x 2 |
|
y 2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Парабола с вершиной в начале координат проходит |
через |
точку A(2;4) |
и |
|||||||||||||||||||
симметрична относительно оси Ox . Найти ее уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как парабола симметрична относительно оси Ox , то ее уравнение определяется |
||||||||||||||||||||||
стандартом |
y 2 |
2 px . |
Подставив |
координаты |
точки |
A , |
|
определим |
p |
4 . |
||||||||||||||
Следовательно, искомое уравнение y 2 |
8x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задание
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы x 
4 .
|
Решение |
|
|
|
|
Расстояние директрисы от |
начала координат равно |
p |
, следовательно, |
p 8 . |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
Уравнение параболы имеет вид: |
y 2 16x . |
|
|
|
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ
1)Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой x 2y 2 0.
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ox , если расстояние между фокусами равно 4, а большая ось 8.
3)Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей,
проходящего через точку A(3;1,25) и имеющего эксцентриситет e |
0,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями y |
|
|
8 |
x , |
||
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
||
и гипербола проходит через точку A(1;2) . |
|
|
|
|
|
|
5)Асимптоты гиперболы заданы уравнениями 2y 5x 0 , |
а расстояние между |
|||||
фокусами равно 10. Найти каноническое уравнение гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
6)Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку |
A(2;1) и |
|||||
симметрична относительно оси Ox . Найти ее уравнение. |
|
|
|
|
|
|
23
7)Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение
директрисы x |
3 . |
8)Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой 3x y 3 0 .
9)Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ox , если расстояние между фокусами равно 9, а большая ось 12.
10) Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точку A( 3;2,5) и имеющего эксцентриситет e 0,5 .
ЛИТЕРАТУРА
1.Виленкин, И. В. Высшая математика: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие / И. В. Виленкин, В. М. Гробер. - 6-е изд. - Ростов н/Д.: Феникс, 2011. - 414 с. : ил. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-222-18236-9
2.Виленкин, И. В. Высшая математика: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие / И. В. Виленкин, В. М. Гробер. - 6-е изд. - Ростов н/Д.: Феникс, 2011. - 414 с.: ил. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-222-18236-9
24
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
КРИВАЯ – есть геометрическое место точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной
ПЛОСКОСТЬ - геометрическое место точек пространства, равноудалённых от 2-х данных точек
ПОВЕРХНОСТЬ – двупараметрическое множество точек пространства, т. е., координаты которых являются функциями от 2-х параметров, при этом предполагается, что эти функции дифференцируемы большое число раз
ПОРЯДОК – числовая характеристика многих математических объектов ПРОСТРАНСТВО – множество всех непрерывных на отрезке функций ПРЯМАЯ - одно из основных понятий геометрии, в евклидовой плоскости может
быть определена как геометрическое место точек, в декартовой, как линия удовлетворяющая определённым условиям
ТОЧКА – одно из основных понятий геометрии, косвенное определение которой даётся в аксиомах построении самой геометрии
УРАВНЕНИЕ – есть равенство, в котором одна или несколько переменных называются неизвестными
25
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ |
4 |
|
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
5 |
|
3.1 |
Виды уравнений прямой на плоскости |
5 |
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ |
10 |
|
3.2 |
Виды уравнений плоскости |
10 |
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ |
13 |
|
3.3 |
Прямая в пространстве |
14 |
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ |
16 |
|
3.4 |
Плоскость и прямая в пространстве |
17 |
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ |
18 |
|
3.5 Канонические формы уравнений окружности и эллипса, гиперболы,
параболы |
19 |
ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ |
23 |
ЛИТЕРАТУРА |
24 |
ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ |
25 |
26