новая папка 1 / 543116

УДК 515.17(07) Д332

Рецензент-канд. физ.-мат. наук, проф. Ю.Д. Ермолаев

Денисенко, Ю.И.

Д332 Типовой расчет по дисциплине «Комплексный анализ».[Текст]: задания к типовому расчету по дисциплине «Комплексный анализ» / Ю.И. Денисенко. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. – 17 с.

Метод. указ. соответствуют дисциплине «Комплексный анализ» и содержат варианты заданий к типовому расчету по данной дисциплине. «Комплексный анализ»

Педназначены для самостоятельной работы студентов направлений 010800.62 «Механика и математическое моделирование» и 220100.62 «Системный анализ» по дисциплине «Комплексный анализ» и студентов всех специальностей, на которых изучается теория функций комплексного переменного.

Библиогр. 7 назв.

© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2015

4

Справочный материал

Тригонометрические и гиперболические формулы

1.sh z = – i sin iz;

2.сh z = cos iz;

3.sin iz = – i sh z;

4.cos iz = ch z;

5.sin 2z = 2 sin z cos z;

6.cos 2z = cos 2 z – sin 2 z = 2 cos 2 z – 1 = 1 – 2 sin 2 z;

7.cos 2z = ½(1 + cos2z);

8.sin 2z = ½ (1 – cos2z);

9.sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];

10.cos z1 cos z2 = ½ [сos (z1 - z2) + cos (z1 + z2)];

11.sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 - z2) + sin (z1 + z2)];

12.ch 2 z – sh 2 z = 1;

13.sh 2z = 2 sh z ch z;

14.ch 2z = ch 2z + sh 2z;

15.sh (z1 + z2) = sh z1 ch z2 + sh z2 ch z1;

16.sh (z1 - z2) = sh z1 ch z2 - sh z2 ch z1;

17.ch (z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z2 sh z1;

18.ch (z1 - z2) = ch z1 ch z2 - sh z2 sh z1;

19.sh z1 sh z2 = ½ [сh (z1 - z2) – ch (z1 + z2)];

20.ch z1 ch z2 = ½ [сh (z1 - z2) + ch (z1 + z2)];

21.sh z1 ch z2 = ½ [sh (z1 - z2) + sh (z1 + z2)].

Некоторые элементарные функции комплексного переменного

Корень n –й степени:

Показательная функция:

w = ez = ex+iy = ex (cos y +i siny).

Логарифмическая функция:

w = Lnz = ln|z| + i Arg z = ln r + i (φ + 2πk).

Тригонометрические функции:

5

Теоретические вопросы

1.Комплексные числа, их свойства. Множества на плоскости, области и кривые.

2.Функции комплексного переменного: предел функции, непрерывность, модуль непрерывности.

3.Элементарные функции комплексного переменного и их свойства.

4.Аналитическая функция комплексного переменного и их свойства.

Условие Коши-Римана.

5.Интеграл по комплексному переменному, сведение к интегралу по действительному переменному.

6.Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши, формулы Коши для производных.

6

7.Разложение аналитической функции в ряд Лорана, формулы Коши для коэффициентов.

8.Изолированные особые точки: полюс, порядок полюса.

9.Изолированные особые точки: существенная особая точка, бесконечно удаленная точка.

10.Вычеты, определение вычета. Теоремы Коши о вычетах.

12.Применения вычетов к вычислению определенных интегралов.

13.Применения вычетов к решению дифференциальных уравнений.

14.Вычеты, применения вычетов к решению систем дифференциальных уравнений и интегральных уравнений.

Теоретические упражнения

1. Доказать теорему об извлечении корней из комплексных чисел.

2.Тригонометрическая форма комплексных чисел. Вывести формулы косинуса и синуса тройного аргумента.

3.Показательная форма комплексных чисел. Вывести формулы умножения, возведения в степень.

4.Определить понятия односвязной и многосвязной областей.

Рассмотреть множество {| z - 1| < 5, | z – 2 + i| > 2, | z - i| > 1}.

5.Определить понятия однозначной, многозначной функции комплексного

переменного. Рассмотреть функции w = z , w = Lnz , w = ez , w = z2,

w = Arg z.

6.Доказать теорему о периодичности показательной функции.

7.Вывести формулы логарифма произведения и логарифма частного.

8.Вывести формулы связи между sh z и sinz, сh z и cosz, а также основное гиперболическое тождество.

7

10.Обратные гиперболические функции. Вывести формулы Arcshz, Arcchz Arcthz.

11.Доказать признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда комплексных чисел.

12.Степенная функция w = zn. Какова область конформности у этой функции? Какова область однолистности у функции w = zn?

13.Логарифмическая функция w = Ln z? Какова область конформности у этой функции? Сколько ветвей имеет функция w = Ln z?

Имеет ли логарифмическая функция точки ветвления?

14.Доказать теорему о сведении интеграла от функции комплексного переменного по кривой к определённому интегралу.

15.Доказать теорему о независимости интеграла от пути интегрирования.

16.Доказать теорему об общем виде первообразной функции комплексного переменного. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

17.Понятие ряда Лорана. Что представляет собой в общем случае область сходимости ряда Лорана?

18.Понятие нуля функции, порядка кратности нуля.

19.Понятие изолированной особой точки однозначных функций. Понятия полюса и существенно особой точки.

8

9

10

Задание № 5

Определить вид кривой и построить её на комплексной плоскости:

11

Задание № 6

Найти область сходимости ряда:

12