новая папка 1 / 603891

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x − t) − f (x − 0)

f (x + t) − f (x + 0)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

397.48 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ ФУРЬЕ»

Учебно-методическое пособие

Воронеж Издательский дом ВГУ

2016

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики

Составители: Г.А. Виноградова, И.П. Половинкин, П.С. Украинский, Э.Л. Шишкина

Рецензент – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета А.В. Глушко

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендовано для студентов факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского госуниверситета всех форм обучения.

Для специальностей: 01.03.02 – Прикладная математика и информатика; 02.03.02 – Фундаментальная информатика

иинформационные технологии;

02.03.03– Математическое обеспечение

и администрирование информационных систем; 02.04.03 – Механика и математическое моделирование

1. Определение тригонометрического ряда Фурье

	A0	∞
Определение. Ряд вида		+ (Ak cos kt + Bk sin kt) называется тригоно-

2		k =0
метрическим.			A0	n

Частичные суммы такого ряда Sn (t) =				+ (Ak cos kt + Bk sin kt) являются

		2		k =0
линейными комбинациями функций, входящими в систему функций
{1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t, sin 3t, } .					(1)

Система (1) называется тригонометрической системой функций.

Определение. Функции ϕ (t) и ψ (t) , определенные на промежутке (a,b) , называются ортогональными на этом промежутке, если интеграл от их

произведения равен нулю, то есть ϕ (t)ψ (t)dt = 0 .

Лемма 1. Тригонометрическая система функций (1) обладает свойством ортогональности на отрезке [−π ,π ] .

Ортогональность тригонометрической системы выражается следующими равенствами:

π sin mt sin ntdt = 0 ,

π cos mt cos ntdt = 0 ,

m ≠ n , m.n N

−π

sin mt cos ntdt = 0 ,

m, n = 1,2,3, ,

−π

1 sin mtdt = 0 ,

1 cos mtdt = 0 ,

m = 1,2,3, .

−π

Определение. Функция f (x) называется абсолютно интегрируемой на

промежутке (a, b) , если сходится интеграл

| f (x) | dx .

Пусть

функция

f (x)

абсолютно

интегрируема на

промежутке

(a, a + 2l) , тогда интегралы

a+ 2l

kπx

a+ 2l

kπx

сходятся абсо-

f (x) cos

f (x) sin

лютно (по

признаку

сравнения), так

как

справедливы

неравенства

f (x) cos

kπx

≤|

f (x) | ,

f (x) sin

kπx

≤| f (x) | .

∞

kπx

Определение.

Тригонометрический

ряд

+ ak cos

+ bk sin

k =1

коэффициенты которого определяются функцией f (x) , абсолютно интег-

рируемой на

промежутке

(a, a + 2l) , по

формулам ak = 1

a+ 2l

kπx

dx ,

f (x) cos

bk =

a+ 2l

a0 =

a+ 2l

f (x) sin kπx dx ,

f (x)dx , называется рядом Фурье этой функ-

ции.

Так, в частном случае,

если функция

f (x) абсолютно интегрируема на

промежутке (−π ,π ) , ей можно поставить в соответствие (соответствие обозначим символом ) ряд Фурье

f (x)

+ (ak cos kx + bk sin kx), где

∞

k =1

f (x) cos kxdx , bk

f (x) sin kxdx , a0

f (x)dx .

−π

Определение.

Пусть

f (x)

– абсолютно интегрируемая на промежутке

(−l, l)

периодическая

функция,

имеющая

период

T = 2l , тогда

ряд

∞

kπx

+ ak cos

+ bk sin

коэффициенты

которого

определяются

по

k =1

формулам ak

= 1

kπx

a0 = 1

f (x) cos

dx ,

f (x) sin

dx ,

f (x)dx , называ-

−l

ется рядом Фурье этой функции.

2. Периодическое продолжение функции

Определение. Функция				f (x) , определенная на всей числовой оси, назы-
вается периодической, если найдется такое число T > 0 ,									что для любого
вещественного		x справедливо равенство				f (x + T ) = f (x) .			При этом число
T называется периодом.
Для	Т-периодических				функций, интегрируемых				по промежутку
(a, a + T ) справедливо следующее утверждение.
Лемма 2.		Пусть Т-периодическая функция						f (x) интегрируема по про-
межутку	(a, a + T ) ,		тогда	для любого		b R		справедливо		равенство
b+T	a+T
f (x)dx = f (x)dx .
b	a
Доказательство.			В силу		периодичности		f (x) справедливо			равенство
b+T	b	а
f (x)dx = f (x)dx = − f (x)dx , тогда в силу свойства аддитивности интеграла
a+T	a	b
имеем	b+T	a		a+T	b+T		a+T
имеем	f (x)dx = f (x)dx +				f (x)dx + f (x)dx =		f (x)dx .
	b	b		a	a+T		a

Определение. Пусть		функция f (x) определена на полуинтервале
[a, a + 2l) . Периодическим		продолжением этой функции называется
2l -периодическая функция		(x) , значения которой совпадают со значениями
2l -периодическая функция	f	(x) , значения которой совпадают со значениями

f (x) на полуинтервале [a, a + 2l) (период равен длине полуинтервала), то есть


	(x) = f (x),	если		x [a, a + 2l)		.
f
	f (x − 2lk), если	x [a + 2lk, a + 2lk + 2l), k = 0,±1,±2,...
Из определения следует, если функция			f (x)	непрерывна на полуинтер-
					(x) ,
вале [a, a + 2l) , то ее периодическое продолжение, функция f
а) непрерывна в любой точке x ≠ a + 2lk , k = 0,±1,±2,...
б) может иметь разрывы в точках x = a + 2lk ,				k = 0,±1,±2,...
в) непрерывна в точках x = a + 2lk , если			lim	f (x) = f (a) .
			x→a+2l	−0

Замечание. Функция f (x) , заданная на отрезке [a, a + 2l] , имеет периодическое продолжение в случае, если f (a) = f (a + 2l) .

3. Представление частичных сумм ряда Фурье. Интеграл Дирихле

Пусть функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке (−π ,π )

(полученные результаты будут справедливы и для случаев других промежутков). Найдем удобное представление частичных сумм ряда Фурье. Подставив выражения для коэффициентов Фурье в частичную сумму, получаем

Sn (x) = a0

(ak cos kx + bk sin kx) =

f (t)dt +

2π

k =1

−π

n π

f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt ==

f (t)

+ cos k(t − x) dt

k =1 −π

−π

k =1

Обозначим

Dn (t) =

+ cos kt

k =1

( Dn (t) называется ядром Дирихле), тогда (2) переписывается в виде

Sn (t) = 1 π f (t)Dn (t − x)dt .

π −π

(2)

(3)

(4)

Интеграл (4) называется интегралом Дирихле.

Прежде чем привести свойства ядра Дирихле, приведем две простые леммы, которые будут часто использоваться ниже.

Лемма 3. Пусть f (x) – нечетная, абсолютно интегрируемая на про-

межутке (−l,l) функция, тогда f (x)dx = 0 .

−l

Доказательство. В силу свойства аддитивности интеграла имеем

l	0		l
f (x)dx =		f (x)dx + f (x)dx . В первом интеграле сделаем замену переменной
−l	−l		0
x = −t		и	используем		нечетность	функции,	получаем
0		0	l		l
f (x)dx = − f (− y)dy = f (− x)dx = − f (x)dx .
−l		l	0		0
	Лемма 4. Пусть f (x) – четная, абсолютно интегрируемая на проме-
жутке (−l,l) функция, тогда				l	l
жутке (−l,l) функция, тогда					f (x)dx = 2 f (x)dx .
				−l	0

Последняя лемма доказывается аналогично лемме 3.

Приведем свойства ядра Дирихле.

Лемма 5. Ядро Дирихле 1) Четная, непрерывная, 2π периодическая функция, причем

	Dn (0) = n +			1 ;
				2
2)	1		π			;
	1		Dn (t)dt = 1
		π	Dn (t)dt = 1
		π	−π
3)	2		π		;
	2		Dn (t)dt = 1
		π	Dn (t)dt = 1
		π	0
							sin n + 1		t
								2
4)	при t ≠ 2πk , k = 0,±1,±2,... , Dn (t) =							2		.
4)	при t ≠ 2πk , k = 0,±1,±2,... , Dn (t) =						2sin	t		.
								t
								2
								2

Доказательство. Первое свойство вытекает автоматически из определения ядра Дирихле (3).

Для доказательства второго свойства проинтегрируем равенство (3)

по отрезку	[−π ,π ], получаем	π	1	π	n π
по отрезку	[−π ,π ], получаем	Dn (t)dt =	1	dt + cos ktdt = π , так как
		−π	2	−π	k =1 −π
π	, для любого k N .
cos ktdt = 0	, для любого k N .

−π

Третье свойство следует из второго в силу четности ядра Дирихле и

леммы 4, поэтому

Dn (t)dt = 2 Dn (t)dt .

−π

Докажем четвертое свойство.

Dn (t) =

+ cos kt =

sin

+ 2sin

cos kt

k =1

2sin

k =1

2k + 1

2k − 1

sin n +

t − sin

, t ≠ 2πk , k = 0,±1,±2,....

sin

2 sin

k =1

2 sin

Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть f (x) – абсолютно интегрируемая на промежутке (−π ,π ) , 2π – периодическая функция, тогда частичная сумма ряда Фурье имеет следующие представления

(x) =

Dn (t) f (x − t)dt ,

−π

Sn (x) =

Dn (t)[ f (x − t) + f (x + t)]dt .

Доказательство. В интеграле Дирихле сделаем замену переменных

t = x − y

и используем четность и периодичность ядра Дирихле, а также

лемму 2. Получаем

π + x

(x) =

Dn (t − x) f (t)dt =

Dn (− y) f (x − y)dy =

−π

−π + x

−π

=1 π Dn ( y) f (x − y)dy .

π−π

Таким образом, первое равенство доказано. Для доказательства второго равенства разобьем промежуток интегрирования и воспользуемся свойством аддитивности интеграла. Получаем

Sn (x) =

Dn ( y) f (x − y)dy = .

Dn ( y) f (x − y)dy +

Dn ( y) f (x − y)dy .

−π

В первом интеграле сделаем замену переменной − y = t ,

а во втором

y = t , учитывая, что Dn (−t) = Dn (t) , получаем

(x) = −

D (−t) f (x + t)dt +

π D (−t) f (x − t)dt = −

1 0

D (t) f

(x + t)dt +

π D (t) f (x − t)dt =

π π

0 Dn (t) f (x + t)dt +

0 Dn (t) f (x − t)dt ==

0 Dn (t)[ f (x − t) + f (x + t)]dt

Лемма доказана.

4. Сходимость ряда Фурье в точке

Определение. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b] , если она имеет конечное число точек разрыва, причем все точки разрыва первого рода.

Для кусочно-непрерывной функции отрезок [a,b] разбивается на ко-

нечное число промежутков, внутри которых функция непрерывна, а в каждой точке x0 отрезка существуют односторонние конечные пределы, кото-

рые мы обозначим

lim f (x) = f (x0 + 0) для x [a, b) ,	lim	f (x) = f (x0 − 0) для x (a, b] .
x→ x0 +0	x→ x0 −0
В точках непрерывности очевидно f (x0		+ 0) = f (x0 − 0) = f (x0 ) .

Определение. Функция f (x) называется кусочно-дифференцируемой на отрезке [a,b] , если она кусочно-непрерывна, и отрезок разбивается на

конечное число промежутков, внутри которых функция дифференцируема, а на концах этих промежутков существуют односторонние производные.

Обозначим односторонние производные

f ′

	f+ (x) = lim	f (x + h) − f (x + 0)	для	x [a,b) ,
	′	h
	h→+0	h
	f− (x) = lim	f (x + h) − f (x − 0)	для	x (a, b] .
	′	h
	h→−0	h
Очевидно, что в тех		точках, где функция f (x) дифференцируема,
′	′
(x) = f−	(x) = f (x) .

Замечание. Кусочно-непрерывные и кусочно-дифференцируемые на отрезке функции интегрируемы по Риману и, следовательно, являются абсолютно интегрируемыми на этом отрезке.

Большое значение в теории рядов Фурье имеет следующая теорема

Теорема Римана. Пусть функция f (x) абсолютно интегрируема на

интервале (a, b) , тогда		b		b
интервале (a, b) , тогда	γlim→∞	f (x) sin γxdx =	γlim→∞	f (x) cosγxdx = 0 .
		a		a
Теорема 1. Если	функция f (x)		– 2l-периодическая, кусочно-

дифференцируемая на отрезке [−l,l], то ее ряд Фурье в каждой точке x сходится, причем

∞

kπx

f (x + 0) + f (x − 0)

+ ak cos

+ bk sin

k =1

Доказательство. Докажем теорему (не умаляя общности) для случая

l = π . В силу свойства 3) ядра Дирихле имеем

f (x + 0) + f (x − 0)

+ f (x − 0)

f (x + 0)

Dn (t)dt .

Для частичной суммы ряда Фурье в силу леммы 4 справедливо пред-

ставление Sn (x) =

Dn (t)[ f (x − t) + f (x + t)]dt . Тогда получаем в силу свойства

4) ядра Дирихле

Sn (x) −

f (x + 0) + f (x − 0)

π [ f (x − t) + f (x + t) − f (x + 0) − f (x

1 π [ f (x + t) + f (x − t) − f (x

+ 0) − f (x − 0)]

1 π

sin

n +

tdt =

2π 0

sin

где g(t) =

f (x + t) + f (x − t) − f (x + 0) − f (x − 0)

– функция,

sin

число точек разрыва первого рода на полуинтервале

− 0)]Dn (t)dt =

	1
g(t) sin n +	2	dt , (5)
	2

имеющая конечное

(0,π ] , так же как и

функции f (x + t) и f (x − t) . Точка t = 0 также является точкой разрыва первого рода, поскольку конечен предел


lim g(t) = lim		f (x + t) − f (x − 0)	+

		t
t→+0	t→+0	t

+ 2 lim	f (x − t) − f (x − 0)	= 2( f ′ (x)

t→+0	t	+

− f− (x)) . Таким образом, функция g(t)	являет-
′

ся кусочно-непрерывной, а, следовательно, и абсолютно интегрируемой на отрезке [0,π ]. По теореме Римана интеграл (5) стремится к нулю при n → ∞ ,

то есть

lim S (x) −

n→∞ n

lim Sn (x) =

n→∞

f (x + 0) + f (x − 0)

. Отсюда получаем

= lim

g(t) sin n +

dt = 0

n→∞

+ (ak

cos kx + bk sin kx) = f (x + 0) + f (x − 0) . Теорема доказана.

∞

k =1

Следствие

Если

функция

f (x) – 2l -периодическая, кусочно-

дифференцируемая на отрезке [−l,l],

непрерывна в точке x , то ее ряд Фу-

рье

этой

точке

сходится

к значению

f (x) , то есть

∞

kπx

+ ak cos

+ bk

sin

= f (x) .

k =1

Доказательство следствия 1 вытекает из равенства в точке непрерыв-


ности односторонних	пределов	значению	функции,			то есть
f (x + 0) = f (x − 0) = f (x) . Отсюда имеем		f (x + 0) + f (x − 0)		=	f (x) + f (x)	= f (x) .

		2	2
Следствие 2. Если	f (x) – 2l-периодическая,		непрерывная			функция,

имеющая кусочно-непрерывную на отрезке [−l, l] производную, то ее ряд

Фурье сходится к значению			f (x) на всей числовой оси, то есть для любого
x R
	a0	∞		kπx		kπx
		+ ak cos			+ bk sin		= f (x) .
2		+ ak cos		l	+ bk sin	l	= f (x) .
2		k =1		l		l

Определение. Если ряд Фурье сходится к функции на промежутке, будем говорить, что функция раскладывается на этом промежутке в ряд Фурье.

Теорема 2. Если функция f (x) – кусочно-дифференцируемая на отрезке [−l, l], то ее ряд Фурье в каждой точке x сходится, причем

∞		kπ x
+ ak cos		l
k =1		l


			f (x + 0) + f (x − 0)		,
+ bk sin	kπ x		2		,
	kπ x		2
		=		f (l − 0) + f (−l + 0)
	l	=
	l					,
			2			,
			2

если x (−l,l)

если x = ±l

Доказательство. Пусть f (x) – периодическое продолжение функции f (x) , рассмотренной на полуинтервале [−l,l) . Отметим, что ряд Фурье функции, абсолютно интегрируемой на промежутке (a, a + 2l) , совпадает с рядом Фурье ее периодического продолжения. В самом деле, пусть ak , bk –

коэффициенты Фурье функции f (x) , а ak ,

bk – коэффициенты Фурье перио-

(x) , тогда в силу леммы 2

дического ее продолжения f

a+ 2l

ak = 1

(x) cos kπx dx =

f (x) cos kπx dx = ak , k = 0,1,2,... .

−l

Аналогично показывается, что

bk = bk .

(x) = f (x)

Так как по определению периодического продолжения f

для любого x (a, a + 2l) ,

то

(x + 0) + f (x − 0)

f (x + 0)

+ f (x − 0)

, а для точек

x = ±l

имеем

(−l − 0) = f (l − 0) ,

f (l − 0) = f (l − 0)

f (−l + 0) = f (−l + 0) ,

(l + 0) = f (−l + 0) ,

поэтому

(l + 0) + f

(l − 0)

f (−l + 0) + f (−l − 0)

f (−l + 0) + f (l − 0)

Следствие 1. Если

f (x) –

непрерывная на отрезке [−l,l] функция,

имеющая кусочно-непрерывную производную, то ее ряд Фурье сходится к

значению f (x)			на (−l, l) , то есть для любого x (−l,l)
	a0	∞		kπx		kπx
		+ ak cos			+ bk sin		= f (x) .
2				l		l
		k =1

Доказательство следствия основано на том факте, что периодическим продолжением непрерывной на полуинтервале [−l, l) функции f (x) является

		f (x),	если	x [−l,l)
функция f (x) =		− 2lk), если	x [−l	+ 2kl, l + 2kl), k = ±1,±2,...
	f (x
непрерывная	на всей числовой оси,			за исключением, Возможно, точек
x = l(2k + 1),	k = 0,±1,±2, . По следствию 1 к теореме 1 ряд Фурье функции

f (x) сходится к самой функции во всех точках непрерывности, то есть

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023470.18 Кб0599910.pdf
#
26.02.2023596.83 Кб0603113.pdf
#
26.02.2023275.98 Кб1603881.pdf
#
26.02.2023477.32 Кб1603886.pdf
#
26.02.2023334.47 Кб3603889.pdf
#
26.02.2023397.48 Кб0603891.pdf
#
26.02.2023610.59 Кб0603896.pdf
#
26.02.2023580.06 Кб0603897.pdf
#
26.02.2023334 Кб0603898.pdf
#
26.02.2023236.08 Кб0603899.pdf
#
26.02.2023282.33 Кб2603984.pdf