Раздел 6. Схема Бернулли (повторение независимых опытов)

Рассматривается последовательность независимых опытов, в каждом из которых возможны два исхода – появление или не появления некоторого события А. Предполагая вероятность появления события А в каждом опыте известной, необходимо найти вероятность того, что оно появится ровно m раз среди n независимых опытов.

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А происходит с одной и той же вероятностью р, то вероятность Рm,n того, что событие А произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой

Pm,n Cnm pmqn m (m 0,1,...,n),

где q = 1 – p.

Вероятность Rm,n того, что среди n опытов событие А появится не менее m раз, выражается формулой

роятность Rm,n вычислять по формуле

m 1

Rm,n 1 Pk ,n . k 0

Полагая в последней формуле k = 1, получим выражение для вероятности хотя бы одного появления события А при n независимых опытах

R1,n 1 P0,n 1 qn.

Пример 1

Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Какова вероятность 3 попаданий при 5 выстрелах?

Решение. В данной задаче опыт заключается в выстреле по мишени и он повторяется 5 раз. Исходами каждого опыта является попадание или непопадание в мишень; вероятности этих исходов равны р = 0,8 и q = 0.2.

44

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что 4 детали из 5 взятых с конвейера годные. В условиях задачи есть неопределенность, заключающаяся в том, что неизвестно, на каком автомате изготовлена каждая деталь, взятая с конвейера. Чтобы снять эту неопределенность, выдвигаем гипотезы:

Н1 – деталь изготовлена на первом автомате; Н2 – деталь изготовлена на втором автомате.

Поскольку производительность первого автомата втрое больше, чем второго, то вероятность первой гипотезы в три раза больше вероятности второй, а в сумме эти вероятности дают единицу.

Следовательно:

Опыт заключается в том, что с конвейера берется деталь, этот опыт повторяется 5 раз. Исходы каждого опыта состоят в том, что взятая с конвейера деталь годная или негодная. Вероятности этих исходов равны соответственно 0,85 и 0,15. Нас интересуют исходы в серии из 5 опытов, в которых событие В появится 4 раза независимо от того, в каких по счету опытах оно появится.

Таких исходов С 54 , а каждый исход в силу независимости опытов имеет вероятность 0,854 · 0,15. Следовательно, по теореме о повторении опытов имеем

Р(А) = С 54 0,854 ·0,15 ≈ 0,39.

Задачи

6.1. Транзисторный радиоприемник смонтирован на 9 полупроводниках, для которых вероятность брака равна 0,05. Найти вероятность того, что приемник будет неработоспособным, если он отказывает при наличии в нем не менее двух бракованных полупроводников.

46

6.2.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

6.3.Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика включает

всебя 10 объектов. Вероятность безотказной работы каждого объекта в течение времени Т равна 0,9. Объекты выходят из строя независимо один от другого. Вычислить вероятность того, что за время Т: а) откажет хотя бы один объект; б) откажут ровно два объекта; в) откажут не менее двух объектов.

6.4.Алфавит источника сигнала состоит из 10 равновозможных кодовых комбинаций, причем каждый раз в линию связи посылается один из них. Какова вероятность того, что в результате пятикратной передачи одна и та же кодовая комбинация появится не менее трех раз?

6.5.Коды некоторой радиотелеграфной системы с целью большей защищенности от помех, которые могут преобразовать одни коды в другие, составляются только из четного числа импульсов. Коды с нечетным числом импульсов регистрируются приемным устройством как ошибочные и не принимаются. Благодаря этому, искажения получаются только в случаях подавления помехами не менее чем двух импульсов (или 4 и т.д.) одновременно в одном коде или при появлении четного числа ложных импульсов на незанятых позициях кода. Определить вероятность искажения кода, состоящего из двух импульсов и четырех свободных позиций за счет появления ложных импульсов от помех, если вероятность появления ложного импульса (на одной позиции) Р = 0,4 и ложные импульсы на различных позициях появляются независимо один от другого.

6.6.Найти вероятность искажения кода (см. задачу 5.5) при условии, что проверка на четность импульсов на приемном конце линии передачи не производится и для искажения кода достаточно появление хотя бы одного ложного импульса на какой-либо свободной позиции кода.

6.7.Импульсно-кодовая комбинация образуется с помощью шести двоичных сигналов 0 или 1, которые случайным образом появляются на позициях кодовой комбинации независимо друг от друга. Появление сигналов 0 или 1 на каждой позиции равновозможно. Вычислить вероятность того, что в кодовой комбинации появится число нулей меньше двух.

47

6.8.При вращении антенны радиолокатора во время облучения точечной цели (например, самолета) успевают отразиться 8 импульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один оборот антенны радиолокатора, если для этого необходимо прохождение через приемник не менее 5 импульсов, а вероятность подавления импульса помехой в приемнике равна 0,1, и подавление различных импульсов помехами независимые события.

6.9.В семье десять детей. Считая вероятность рождения мальчика или девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми.

6.10.Для того чтобы узнать, сколько рыб в озере, отлавливают 1000 рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. При каком числе рыб в озере будет наибольшей вероятность встретить среди вновь пойманных 150 рыб 10 меченых?

6.11.На ограничитель поступает последовательность из восьми случайных по амплитуде независимых видеоимпульсов. Вероятность превышения порога ограничения каждым импульсов равна 0,25. Вычислить: а) вероятность того, что из 8 импульсов не менее 6 видеоимпульсов превысят порог.

6.12.Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, может быть обнаружен с вероятностью Р. Для контроля, из продукции завода выбирается n изделий. Найти вероятность следующих событий:

А – ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта; В – среди n изделий ровно в двух будет обнаружен дефект;

С – среди n изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.

6.13.Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимание рабочего в течение промежутка времени τ, равна 1/3. Найти вероятность того, что а) за время τ 4 станка потребуют

ксебе внимания рабочего; б) число требований к рабочему со стороны станков за время τ будет между 3 и 6 (включая границы).

6.14Вероятность сбить самолет винтовочным выстрелом равна 0,004. Какова вероятность уничтожения самолета при залпе из 250 винтовок?

6.15.Для увеличения надежности радиосвязи используется метод накопления, при котором каждый символ (0 или 1) передается три раза подряд. На приемном конце регистрируется тот символ, который в принятой последова-

48

тельности из трех символов содержится не менее двух раз. Определить вероятность правильного приема по методу накопления, если вероятность правильного приема каждого символа равна 0,9.

6.16.Три охотника одновременно выстрелили по волку. Вероятности попадания каждым из охотников одинаковы и равны 0,4. Определить вероятность того, что волк будет убит, если известно, что при одном попадании охотники убивают волка с вероятностью 0,2, при двух – с вероятностью 0,5 и при трех – с вероятностью 0,8.

6.17.Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Найти вероятность того, что у стрелка останется хотя бы один неизрасходованный патрон, если он получил десять патронов и вероятность попадания в цель при каждом выстреле постоянна и равна 0,2.

6.18.Производится стрельба тремя ракетами по кораблю. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Для потопления корабля достаточно двух попаданий; при попадании одной ракеты корабль тонет с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что корабль будет потоплен.

6.19.Пункт А нужно связать с 10 абонентами пункта В. Каждый абонент занимает линию 12 минут в час. Вызовы любых двух абонентов независимы. Какое минимальное количество каналов необходимо для того, чтобы можно было в любой момент с вероятностью 0,99 обслужить всех абонентов?

6.20.Телефонная станция обслуживает N абонентов, которые пользуются телефоном одинаково часто и в течение часа производят n разговоров со средней продолжительностью 1/40 часа. Найти вероятность одновременного разговора равно m абонентов.

6.21.АТС обслуживает N абонентов, каждому из которых может предоставить для разговора любую из l линий (l < N), если она свободна. Все абоненты одинаково часто говорят по телефону и в течение часа производят n разговоров средней продолжительностью 1/40 часа каждый. Один из абонентов вызвал АТС. Какова вероятность того, что все линии окажутся занятыми?

6.22.Сорт «Смесь» содержит поровну конфеты четырех наименований, например «а», «б», «в» и «г». Большое количество конфет «Смесь» расфасовывается в кульки по 8 конфет в каждый для подарков на детский праздник. Какова вероятность того, что из 25 подарков в 9 окажется по одной конфете сорта «а»?

49

6.23.Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

6.24.Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

6.25.Радиолокационная станция, работающая в режиме кругового обзора, обнаруживает цель за один цикл обзора с вероятностью р = 0,7. Найти вероятность того, что за 10 циклов обзора: а) сигнал от цели будет зарегистрирован ровно 3 раза; б) не менее 5 раз.

6.26.В условии задачи 6.25 цель за каждый цикл обзора облучается серией из n импульсов. Решение о наличии сигнала от цели принимается, если не менее k импульсов в серии превысили некоторый порог. Вероятность превышения порога одним импульсом равна р1 и одинакова для всех импульсов серии. Найти вероятность того, что за N циклов обзора сигнал от цели будет зарегистрирован не менее m раз.

6.27.На самолете имеется постановщик помех, который включается автоматически от специального приемного устройства, реагирующего на облучение самолета сигналом РЛС. Включение производится, если зарегистрировано не менее 4 импульсов. Вероятность обнаружения каждого импульса равна р. Найти вероятность включения постановщика помех при облучении самолета серией из 20 импульсов.

6.28.Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трех независимых опытов, если вероятности отказа прибора при одной, двух

итрех опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5 и 0,8.

6.29.По линии связи передано четыре радиосигнала, имеющих различные амплитуды. Вероятности приема каждого из сигналов не зависят от приема остальных и соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что будет принято k сигналов (k = 0,1,2,3,4).

6.30.Агрегат состоит из основной и нескольких резервных цепей. Каждая цепь включает в себя пять последовательно соединенных элементов.

50

Надежность каждого элемента 0,98. Сколько нужно иметь резервных цепей, чтобы надежность агрегата была бы не меньше надежности элемента?

6.31. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не менее трех отказов?

51