- •Раздел 1. Предварительные сведения
- •1.1. Множества и отображения
- •1.2. Отношения эквивалентности, факторизация множеств и отображений
- •1.3. Отношения порядка, упорядоченные множества
- •1.4. Понятие числового поля
- •1.5. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейные пространства
- •2.1. Понятие линейного пространства
- •2.2. Линейная зависимость векторов в линейном пространстве
- •2.3. Базис и размерность линейного пространства
- •2.4. Изоморфизм линейных пространств
- •2.5. Подпространства линейных пространств
- •2.6. Факторпространства линейных пространств
- •2.7. Преобразование координат при преобразовании базиса конечномерного линейного пространства
- •Раздел 3. Евклидовы и эрмитовы пространства
- •3.1. Определение и основные свойства евклидовых пространств
- •3.2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства
- •3.3. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы
- •3.4. Эрмитовы пространства
- •Раздел 4. Линейные операторы
- •4.1. Определение и основные свойства линейных операторов
- •4.2. Ядро и образ линейного оператора
- •4.3. Матричная запись линейных операторов
- •4.4. Инвариантные подпространства линейных операторов
- •4.5. Характеристический многочлен, собственные числа и собственные векторы линейных операторов
- •4.6. Линейные функционалы и полуторалинейные формы в эрмитовом пространстве
- •4.7. Норма линейного оператора
- •Раздел 5. Двойственное пространство. Сопряженный оператор
- •5.1. Двойственное пространство и двойственный базис
- •5.2. Случай эрмитова пространства
- •5.3. Рефлексивность
- •5.4. Условия линейной независимости
- •5.5. Общее понятие сопряженного оператора
- •Раздел 6. Самосопряженные линейные операторы
- •6.1. Линейные самосопряженные операторы в эрмитовом пространстве
- •6.2. Матрица самосопряженного оператора
- •6.3. Самосопряженные операторы в эрмитовых пространствах с точки зрения общего понятия сопряженного оператора
- •6.4. Свойства самосопряженных операторов
- •6.5. Эрмитовы формы, критерии эрмитовости
- •6.6. Случай евклидова пространства
- •Раздел 7. Канонический вид линейный операторов
- •7.1. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
- •7.2. Канонический вид линейных операторов
- •7.3. Нормальные операторы
- •7.4. Унитарные и ортогональные операторы
- •Раздел 8. Билинейные и квадратичные формы в вещественных пространствах
- •8.1. Матрица билинейной формы
- •8.2. Квадратичные формы
- •8.3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
- •8.4. Закон инерции квадратичных форм
- •8.5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •Раздел 9. Гиперповерхности второго порядка
- •9.1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка
- •9.2. Инварианты уравнения гиперповерхности второго порядка
- •9.3. Упрощение уравнения гиперповерхности второго порядка аффинными преобразованиями
- •9.4. Классификация уравнений центральных гиперповерхностей второго порядка
- •Раздел 10. Дополнительный материал
- •10.1. Решение проблемы собственных значений методом вращений
- •10.2. Псевдообратная матрица
- •10.3. Минимальный многочлен линейного оператора
- •10.4. О структуре канонической матрицы линейного оператора
- •Раздел 11. Понятие о тензорах
- •11.1. Определение и основные свойства тензоров
- •11.2. Случай евклидова пространства. Метрический тензор
- •11.3. Основные операции над тензорами
- •Раздел 12. Программа и задачи к экзамену
- •12.1. Программа экзамена
- •12.2. Задачи к экзамену
10.3. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
115 |
10.3. Минимальный многочлен линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в некотором линейном вещественном или комплексном линейном пространстве X, dim X = n. Пусть P – некоторый многочлен из R[t] или C[t],
P (t) = p0tm + p1tm 1 + + pm 1t + pm;
Тогда формула
P (A) = p0 Am +p1 Am 1 + + pm 1 A +pm E :
корректно определяет линейный оператор P (A) 2 L(X; X). Напомним также, что многочлен P называется нормализованным, если p0 = 1.
Определение. Пусть P – многочлен. Если P (A) = O, то говорят, что P аннулирует оператор A. Нормализованный многочлен минимальной степени, аннулирующий оператор A называется минимальным многочленом для A. Минимальный многочлен оператора A обозначается символом MA,
|
MA(t) = tm + 1tm 1 + + m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Предложение. Для любого оператора A 2 L(X; X) существует минимальный |
|||||||||||||||||||||||||||||
многочлен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Рассмотрим пространство |
L |
(X |
; |
X) и заметим, что dim2 |
L |
(X |
; |
|
|
) = |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
Xm |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
. Выберем наименьшее число m 2 Z+ так, что линейные операторы |
E A A |
|
|
|
A |
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
; ; |
; : : : ;m |
уже |
|||||||||||||||||||||||||||
линейно независимы в пространстве L(X; X), а линейные операторы E; A; : : : ; A |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
линейно зависимы. Это возможно так как |
пространство L( |
X |
; |
X |
) конечномерно. Из ли- |
|||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
нейной зависимости операторов E; A; : : : ; A |
|
вытекает, что существуют такие числа |
||||||||||||||||||||||||||||
0; : : : ; m, не все из которых равны нулю, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 Am + 1 Am 1 + + m 1 A + m E = O; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а из линейной независимости операторов E; A; : : : ; Am 1 следует, что 0 6= 0. Тогда, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
MA(t) = tm + 1tm 1 + + m; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где k = k= 0 при k = 1; : : : ; m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Предложение. Пусть MA(t) = tm + 1tm 1 + + m – минимальный многочлен |
|||||||||||||||||||||||||||||
оператора A. Если m 6= 0, то оператор A обратим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Доказательство. По определению минимального многочлена, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Am + 1 Am 1 + + m 1 A + m E = O; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
откуда (с учетом того, что m 6= 0) |
|
|
n A |
|
|
|
m |
|
E : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
E = A m A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
m |
1 |
|
1 |
|
m |
|
2 |
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение, стоящее в скобках явным образом определяет оператор, обратный к оператору A.
Предложение. Любой многочлен P , аннулирующий оператор A, имеет вид P = QMA для некоторого многочлена Q.
Доказательство. Пусть P – многочлен такой, что P (A) = O. Существуют многочлены Q и R такие, что P = QMA + R и deg R < deg MA. Так как MA – минимальный многочлен для A, то
O = P (A) = Q(A)MA(A) + R(A) = R(A):
Полученное равенство противоречит тому, что MA – минимальный многочлен для A. Следовательно, R 0 и многочлен P , аннулирующий оператор A делится на MA без остатка.
10.3. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
116 |
Нильпотентные операторы. Напомним, что линейный оператор A называется нильпотентным, если Am = O для некоторого m 2 Z+. Минимальное число m 2 Z+ с таким свойством называется индексом нильпотентности.
Предложение 10.4. Пусть A – нильпотентный оператор с индексом нильпотентности m. Тогда m 6 n.
Доказательство. Так как оператор Am 1 6= O (по определению индекса нильпотентности), то найдется вектор x 2 X такой, что Am 1 x 6= 0. Проверим, что векторы x; A x; : : : ; Am 1 x линейно независимы. Для этого рассмотрим линейную комбинацию
w := 0x + 1 A x + + m 1 Am 1 x
и предположим, что w = 0. Так как Am 1 w = 0 и так как Ak = O при k > m, то0 Am 1 x = 0, откуда 0 = 0. Далее, Am 2 w = 0, но
Am 2 w = 0 Am 2 x + 1 Am 1 x = 1 Am 1 x: |
|
|
Следовательно 1 = 0. Рассматривая последовательно равенства |
|
|
Am 3 w = 0; |
; A w = 0; w = 0 |
|
получим, что 2 = 3 = = m 1 |
= 0. Таким образом, векторы x; A x; : : : ; Am 1 x |
|
линейно независимы. Отсюда немедленно вытекает, что m 6 n. |
|
Теорема 10.5. Если A – линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве X, то A всегда имеет одномерное инвариантное подпространство. Если A – линейный оператор, действующий в вещественном линейном пространстве X, то A всегда имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Доказательство. Пусть X – комплексное линейное пространство. Рассмотрим характеристический многочлен PA оператора A. Так как поле C алгебраически замкнуто, то существует корень 2 C многочлена PA. Как было показано выше, является собственным числом оператора A и существует ненулевой вектор x (собственный вектор для A) такой, что A x = x . Ясно, что совокупность f x : 2 Cg образует одномерное инвариантное подпространство для оператора A.
Пусть теперь X – вещественное линейное пространство. Рассмотрим минимальный многочлен MA оператора A. Возможны два случая. Во-первых, многочлен MA может иметь вещественный корень . Тогда MA(t) = (t )Q(t), где Q – некоторый многочлен, причем Q(A) 6= O. Следовательно, найдется вектор y 2 X такой, что x := Q(A)y 6= 0. Заметим далее, что
(A E)x = (A E)Q(A)y = MA(A)y = 0:
Таким образом, A x = x, т.е. x – собственный вектор для A. Как и раньше получаем, что f x : 2 Rg – одномерное инвариантное подпространство.
Пусть теперь минимальный многочлен MA не имеет вещественных корней. Тогда многочлен MA может быть представлен в виде
MA(t) = (t2 at b)Q(t):
Как и в предыдущем случае Q(A) 6= O и, следовательно, найдется вектор y такой, что x := Q(A)y 6= 0. Далее
(A2 a A b E)x = (A2 a A b E)Q(A)y = MA(A)y = 0;
откуда A2 x = a A x + bx. Так как MA не имеет вещественных корней, то A не имеет собственных векторов. Следовательно, векторы x и A x линейно независимы. А тогда, по доказанному, пространство Spanfx; A xg и будет двумерным инвариантным подпространством для A.
10.4. О СТРУКТУРЕ КАНОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
117 |
Теорема Гамильтона-Кэли, общий случай. В теореме 6.13 было доказано, что если A – самосопряженный линейный оператор, действующий в эрмитовом пространстве, то PA(A) = O. На самом деле соответствующее утверждение верно и без предположений о существовании в пространстве X эрмитовой структуры и о самосопряженности оператора A. Эти дополнительные предположения были нужны для использования в доказательстве Теоремы 6.13 утверждения о спектральном разложении самосопряженного оператора.
Теорема 10.6 (теорема Гамильтона-Кэли, общий случай). Для любого линейного оператора A, действующего в комплексном линейном пространстве X верно равенство PA(A) = O.
Доказательство. Для доказательство этого утверждения мы заметим, первым делом, что для любого линейного оператора A, действующего в комплексном линейном пространстве X, существует базис, в котором матрица этого оператора имеет верхнетреугольный вид.
Для доказательства этого факта мы покажем, что A обладает инвариантным подпространством размерности n 1. В самом деле, рассмотрим сопряженный оператор A (действующий в пространстве X ). Пусть – собственно значение A , а f 2 X – соответствующий собственный элемент оператора A. Так как f 6 0, то dim ker f = n 1. Далее, если x 2 ker f, то
f(A x) = hfj A xi = hA fjxi = hfjxi = f(x) = 0;
т.е. A x 2 ker f. Таким образом, ker f – искомое (n 1)-мерное инвариантное подпространство для A.
Теперь мы можем доказать существование базиса, в котором матрица оператора A имеет верхнетреугольный вид по индукции. В самом деле, существует подпространство W, dim W = n 1, такое, что A W W. По предположению индукции, в подпространстве W существует такой базис fe1; : : : ; en 1g, что
A ej = jej + wj; где wj 2 Spanfe1; : : : ; ej 1g:
Пусть en 2 X nW – произвольный вектор. Тогда X = SpanfW; eng. Остается заметить, что A en = nen + w0, где w0 2 W. Таким образом, в базисе fe1; : : : ; eng матрица оператора A имеет верхнетреугольный вид.
Дальнейшее рассуждение будем вести в этом базисе fe1; : : : ; eng. Определим подпространства
Wk := Spanfe1; e2; : : : ; en k 1; en kg
так, что
X = W0 W1 Wn 1 Wn = f0g:
Заметим, что (A n k E)en k 2 Wk+1, откуда (A n k E)Wk Wk+1. Далее, |
|
PA(A)X = (A 1 E)(A 2 E) (A n 1 E)(A n E)W0 |
|
(A 1 E)(A 2 E) (A n 1 E)W1 (A 1 E)Wn 1 = f0g; |
|
а равенство PA(A)X = 0 эквивалентно тому, что PA(A) = O. |
10.4. О структуре канонической матрицы линейного оператора
Пусть X – некоторое комплексное линейное пространство, dim X = n и пусть A 2 L(X; X). В этом разделе мы более подробно изучим структуру корневых инвариантных подпространств оператора A и структуру матрицы AJ оператора A в соответствующем каноническом базисе.
Пусть – некоторое собственное число оператора A. Обозначим через XA( ) – собственное инвариантное подпространство оператора A, соответствующее собственному
10.4. О СТРУКТУРЕ КАНОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
118 |
значению . Через XbA( ) обозначим соответствующее корневое подпространство. Напомним, что
XbA( ) = fx 2 X : (A E)kx = 0 для некоторого k 2 Z+g:
Так как dim XbA( ) 6 n и так как ограничение оператор A E на XbA( ) является нильпотентным оператором, то
A( ) = fx 2 X : (A E)nx = 0g:
Если из контекста ясно, оXbкаком операторе A идет речь, то вместо обозначений XA( ) |
||||||
и XA( ) для собственных и корневых инвариантных подпространств оператора A ис- |
||||||
b |
|
X |
( ) и |
X |
( ). |
A |
пользовать, соответственно, обозначения |
|
|
имеет вид |
|||
|
характеристический многочлен P = PA оператора |
|||||
Предположим, что |
|
m |
|
b |
|
|
|
Yj |
(t j)kj ; |
|
|||
|
P (t) = |
=1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
где 1; : : : ; m, m 6 n, – все характеристические числа оператора A кратности k1; : : : ; km
соответственно; при этом |
|
m |
|
|
j=1 kj = n. |
||
Имеет место |
следующее утверждение |
||
|
P |
|
Теорема 10.7. В приведенных выше обозначениях справедливы следующие утверждения.
1. Пространство Xb( j) является A-инвариантным, dim Xb( j) = kj и
X = Xb( 1) Xb( m):
2. Оператор A j E нильпотентен на Xb( j) и невырожден на Xj := X Xb( j). Число j – единственное собственное значение оператора AjXj .
Доказательство. Рассмотрим многочлены
PA(t)
Pj(t) = (t j)kj :
Ясно, что НОД(P1; : : : ; Pm) = 1 (мы предполагаем, что читатель знаком с понятием наибольшего общего делителя многочленов). Тогда существуют такие многочлены Qj 2
C[t], j = 1; : : : ; m, что
m
X
Pj(t)Qj(t) = 1:
j=1
Читатель, не знакомый с основными фактами теории многочленов, может воспринимать последнюю формулу как известный факт, он будет доказан в курсе алгебры в 3-м семестре.
Определим подпространства
Yj := Pj(A)Qj(A)X; j = 1; : : : ; m
и заметим, что эти подпространства являются A-инвариантными. В самом деле,
A Yj = Pj(A)Qj(A) A X Pj(A)Qj(A)X
так как оператор A коммутирует с Q(A) для любого Q 2 C[t]. Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что
|
Y |
|
X |
(A j E)kj Yj = P (A)Qj(A)X = f0g; |
|
откуда |
|
Pj m |
|||
|
j |
b |
( j). Далее, так как |
m=1 Pj(t)Qj(t) = 1, то |
|
|
|
|
E = |
Pj(A)Qj(A): |
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
=1 |
|
10.4. О СТРУКТУРЕ КАНОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
|
119 |
||||||||
По определению подпространств Yj |
из последнего равенства вытекает, что X = Y1 + |
||||||||||
+ Ym и, тем более, что |
X = X1 + + Xm: |
|
|
||||||||
Пусть |
|
2 X |
|
\X |
. Тогда |
2nX |
|
||||
|
( j) |
|
|
b |
. b |
j как |
|||||
|
x |
|
j |
|
(A |
|
j E)nx = 0 |
Далее, представим вектор x |
|
||
|
P |
|
|
|
|
2 Xs при s = 1; : : : ; m, s 6= j. Далее (A s E) xs = 0 |
|||||
сумму x = |
s6=j xs, где векторы xs |
||||||||||
для любого |
s и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
Y
(A s E)n x = 0:
s6=j
Так как многочлены (t j)n и Qs6=j(t s)n взаимно просты, то существуют такие многочлены F1; F2 2 C[t], что
|
|
|
(t j)nF1(t) + |
(t s)n!F2(t) = 1: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s6=j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последнего равенства получаем, что |
|
|
(A s E)n!x = 0: |
|
|
|
|||||||||||
x = F1(A)(A j E)nx + F2(A) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s6=j |
|
|
|
|
|
|
Таким образом пространства |
Xb |
( j) и Xj |
не пересекаются. Следовательно, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
Xb |
( 1) |
Xb |
( m): |
|
|
|
|
|
||
Одновременно доказано, что |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В частности, |
|
|
|
|
Yj |
|
= Xb( j) = Pj(A)Qj(A)X: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(A j E)nX( j) = 0; |
|
|
|
|
|
|||||
т.е. оператор A j E нильпотентен на X( jb). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
многочленом для оператора A, рассматриваемого как оператор на |
||||||||||||||||
Минимальным |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
(t |
|
|
)kj |
. Из этого, |
подпространстве X |
j |
|
будет некоторый делитель многочлена |
|
j |
|
в частности, вытекает, что число j – единственное собственное значение операто-
ра |
A |
jX( j). |
Матрицей оператора A в базисе, составленном из базисов подпространств |
||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X( j),b j = 1; : : : ; m, имеет вид DiagfA1; : : : ; Amg, где Aj, j = 1; : : : ; m, – матрица по- |
|||||||||||||||||
рядка k0 |
= dim |
X |
( j) с единственным собственным значением j. Так как PA (t) = |
||||||||||||||
b |
|
|
j) |
kjj0 |
|
|
m |
PA |
, то k0 |
= kj при всех j = 1; : : : ; m. |
j |
||||||
(t |
|
|
и так |
как P = |
j=1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
b |
|
j |
j |
|
j E на j |
= |
|
( j) оставляется в |
|||||
|
|
Проверка невырожденности оператора A |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
X |
|
X Xb |
|
качестве простого упражнения. |
|
||||||||||||||||
|
|
Доказанная теорема сводит задачу о нахождении жордановой нормальной формы |
оператора A к случаю, когда оператор A имеет единственное собственное значение , а (A E)m = O для некоторого m 6 n. Таким образом, заменой B = A E задача сведена к задача о нахождении жордановой нормальной формы для нильпотентного оператора B индекса нильпотентности m.
Для произвольного вектора x 2 X рассмотрим подпространство
B[x] := Spanfx; B x; : : : ; Bm(x) 1g;
где m(x) 6 m – наименьшее натуральное число такое, что Bm(x) x = 0. Подпространство B[x] называется циклическим подпространством, порожденным оператором B и вектором x.
10.4. О СТРУКТУРЕ КАНОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
120 |
Предложение 10.8. Пусть B – нильпотентный оператор, действующий в линейном пространстве X, dim X = n. Тогда X представимо в виде прямой суммы циклических подпространств, порожденных оператором B.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности пространства X. Так как оператор B является нильпотентным, то существует такой базис, в котором его матрица имеет верхнетреугольный вид с нулями на главной диагонали. Пусть U X
– подпространство пространства X, являющееся линейной оболочкой первых n 1 векторов указанного базиса. Тогда B X U (в частности. U является B-инвариантным подпространством).
По предположению индукции существуют такие векторы e1; : : : ; ek, что
U = B[e1] B[ek]:
обозначим mj = m(ej) при j = 1; : : : ; k так, что mj 6 m, где m – индекс нильпотентно-
сти B. Без ограничения общности можно считать, что m1 > m2 > k > mk. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Выберем далее вектор x так, чтобы X = Spanfx; Ug, а B x = |
|
|
j=1 jej. Для этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
такой, чтоkX |
= Span y; |
Ug. |
Далее, так как B y |
2 U |
, то |
|||||||||||||||||||||
возьмем произвольный вектор |
|
|
|
|
|
f |
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
найдется такой вектор u 2 U, что B y = |
j=1 jej +B u. Осталось положить x = y u. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
f |
Ug |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, пусть |
|
|
|
|
, а B x =P j=1 |
jej. Возможны два случая. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= Span x; |
|
|
B |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Во-первых, может оказаться, что |
|
|
= |
|
|
|
k = 0. Тогда очевидно, что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
P |
= |
|
|
|
[ |
|
] = |
|||||||||||||||||||||||||||||
Spanfxg, а |
|
|
|
|
|
|
X = U B[x] = B[e1] B[ek] B[x]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
= ` |
|
1 = 0, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
состоит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
` < k |
|
|
|
|
||||||||||||||
Второй случай |
|
|
|
k в том, что существует такое |
1 |
|
|
, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Pj=` |
jej |
. В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
но ` = 0. Тогда B x = |
|
|
|
|
|
|
|
рассмотрим набор векторов |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ej = ej при j 6= `; |
|
e` = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
` |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и определим числа j |
= j= ` |
при j = 1; : : : ; k. Заметим при этом, что вектор |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w := B e` = e` + |
jX |
jej: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=`+1 |
|
|
|
|
|
> |
|
|
> > |
|
|
|
|
|
|||||
m` |
|
|
|
|
ej были упорядочены таким образом, что m1 |
m2 |
|
mk, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
Так как векторы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
B w = 0 Так как |
U |
представляет собой прямую сумму циклических подпространств |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.m |
` |
1 |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B[ej], то B |
|
6= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, в качестве несложного упражнения предлагается проверить, что сумма
Так P |
|
|
|
B[w] + |
j6=` B[ej] также является прямой суммой и совпадает с U. |
||
|
как B[w] |
|
B[e`], то |
X = B[e1] B[ek]:
Остается заметить, что матрица ограничения нильпотентного оператора B на любое его циклическое подпространство имеет вид жордановой клетки. Из этого наблюдения и Предложения 10.8 вытекает, что матрица нильпотентного оператора может быть приведена к жордановой нормальной форме.
Пусть теперь A – произвольный линейный оператор, рассмотренный выше. Получим формулы для вычисления числа N( ; m) жордановых клеток порядка m, соответствующих собственному значению , в матрице жордановой нормальной формы оператора A. Из этих формул будет, в частности, следовать единственность канонического вида оператора A.
Пусть X = Xb( ) X0 – прямая сумма корневого подпространства Xb( ), соответствующего собственному значению , и его дополнения X0 и пусть
Xb( ) = (A E)[e1] (A E)[ek]:
10.4. О СТРУКТУРЕ КАНОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА |
121 |
|||||||||||||
Последнее разложение имеет место так как оператор A E нильпотентен на X( ) |
||||||||||||||
в силу утверждения Теоремы 10.7. Кроме того X |
0 = |
6= X |
( ) |
, где (прямая) |
сумма |
|||||||||
A |
|
|
b |
|||||||||||
берется по всем собственным числамt |
|
оператораt |
отличным от . |
|
||||||||||
|
|
, |
P |
|
|
|
||||||||
Вычислим rt := rg(A |
|
E) = dim(A |
|
E) |
X |
: |
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
k
X
rt = dim(A E)t(A E)[ej] + dim(A E)tX0:
j=1
Сейчас нам удобно считать, что векторы ej, j = 1; : : : ; k пронумерованы так, что числа mj = m(ej) упорядочены следующим образом: m1 6 6 mk.
Если mj 6 t, то (A E)t(A E)[ej] = 0. При mj > t верно равенство
(A E)t(A E)[ej] = Spanf(A E)tej; : : : ; (A E)mj 1ejg;
откуда dim(A E)t(A E)[ej] = mj t. |
|
= dim X0. Таким |
|||
Так как оператор A E невырожден на X0, то dim(A E)tX0 |
|||||
образом, |
j:Xj |
|
|
|
|
|
(mj t) + dim X0: |
|
|
||
|
rt = |
|
|
||
|
m >t |
|
|
|
|
Из последнего равенства вытекает, что |
|
|
|
|
|
X |
X |
|
X |
n |
|
|
X |
||||
rt rt+1 = |
(mj t) |
|
(mj t 1) = |
1 = |
N( ; t + s): |
j: mj>t |
j: mj>t+1 |
j: mj>t+1 |
s=1 |
В последней сумме некоторое число последних слагаемых может быть равно нулю и учтено, что N( ; p) = 0 при p > n. Таким образом, вычисляя разность (rm 1 rm) (rm rm+1) мы приходим к следующей формуле
N( ; m) = rm 1 2rm + rm+1; |
(10.6) |
где, для определенности положено r0 = n.