3448
.pdf292. Докажите, что существует гомоморфизм группы S3 на группу G {1, 1}, . Найдите ядро гомоморфизма и фак-
торгруппу по ядру.
293. Пусть G1 ( , ) - аддитивная группа действительных чисел, G2 - мультипликативная группа, комплексных чисел, модуль которых равен единице. Докажите, что отображение : G1 G2 , определяемое формулой(x) cos 2 x i sin 2 x , есть гомоморфизм групп и найдите ядро этого гомоморфизма.
294.Докажите, что:
1)для любых элементов a , b мультипликативной группы G одинаковый порядок имеют элементы a и a 1 , ab и ba ;
2)сопряженные элементы группы a и b 1ab имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно.
295.Докажите, что группа G порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней есть элемент порядка n .
296.Докажите:
1) если ord a m и ak e , то k m ; |
|
||||
2) если |
ord a m , |
ord b n , |
НОД(m, n) 1 и |
ab ba , то |
|
ord (ab) mn . |
|
|
|
|
|
297. |
Пусть a |
и |
b - элементы группы |
G , причем |
|
ab ba , ord a 4 , |
ord b 10 . Найти ord (ab) . |
|
298.Докажите, что если : G1 G2 - изоморфизм групп, то для любого элемента a G1 верно ord a ord (a) .
299.Опишите элементы конечных порядков в группах
( , ) и ( |
* , ) ; покажите, что эти группы не изоморфны. |
|
300. |
Докажите, что если H - подгруппа группы G и |
|
g G , то |
|
g 1Hg - тоже подгруппа. |
61
301.Докажите, что любые два смежных класса (правых или левых) по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают.
302.(Теорема Лагранжа) Докажите, что порядок и индекс подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы.
303.Докажите, что подгруппа индекса 2 является нормальным делителем.
304.Опишите все конечные группы, разбивающиеся ровно на два класса сопряженных элементов.
КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ. ПОЛЯ
305. Выясните, будет ли |
|
a |
0 |
, a |
|
подколь- |
||
K |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цом, идеалом кольца K M 2 ( ) ? В случае положительного ответа укажите единицу этого подкольца.
|
|
|
306. Пусть |
K |
|
6 , |
K1 {0, 2, 4} , |
K2 {0, 3}. |
Докажите, |
|||||||||||||||
что K1 |
и K2 – подкольца K . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
307. Пусть |
K |
|
a b |
; a,b |
|
|
K |
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
2 |
|
|
|
|
; a,b , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 b |
|
|
|
|
||||||
K |
|
|
a |
b |
; a, b, c |
|
. |
Являются ли |
K , |
K |
|
, |
|
K |
|
под- |
||||||||
3 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кольцами кольца K M 2 ( |
) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
308. |
Выясните, |
является |
ли |
|
множество |
матриц |
|||||||||||||||
a |
a |
; a |
|
подгруппой аддитивной группы, |
подколь- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
; a, b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
цом, идеалом кольца матриц |
|
? |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
309. Покажите, что множества всех верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц, всех диагональных матриц, всех скалярных матриц (т.е. матриц вида E ) являются подкольцами кольца матриц Mn ( ) . Выясните, какие из них яв-
ляются идеалами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
310. Выясните, являются ли идеалами кольца многочле- |
|||||||||||
нов P[x] |
следующие множества: 1) множество всех много- |
||||||||||||
членов с фиксированным корнем c P ; |
2) множество всех |
||||||||||||
многочленов, кратных данному многочлену; |
3) |
|
множество |
||||||||||
всех многочленов P[x](n) |
степеней, не превосходящих n . |
|
|||||||||||
|
|
311. Докажите, что если A - идеал кольца K и K1 - под- |
|||||||||||
кольцо кольца K , то A |
K1 есть идеал кольца K1 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
312. |
Докажите, |
что для колец |
|
a |
b |
|
; a, b |
|
|||
|
|
K |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
K2 |
|
отображение |
: K1 K2 , |
заданное |
|
|
формулой |
||||||
|
a |
b |
a b , является гомоморфизмом. |
Найдите ядро |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого гомоморфизма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
что для колец K1 a bi |
|
|
, |
||||||
|
|
313. |
Докажите, |
3; a,b |
|||||||||
K |
|
|
a |
3b ; a,b |
|
отображение : K K , заданное |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
формулой a bi |
|
|
a |
3 |
|
||
|
|
|
b |
3b
, является гомоморфизмом. a
314. Выясните, какие из следующих отображений являются гомоморфизмами указанных колец. Для гомоморфизмов найдите ядро:
1) : |
a |
a ; a, b |
|
|
, a |
a a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
b |
|
b |
b |
63
2) : |
a |
0 ; a, b |
|
|
, a |
0 b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
b |
|
|
0 |
b |
|
3) те же кольца, что в 2), но |
a |
0 |
a b ; |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
b |
|
4) : |
M2 ( ) , |
a |
0 |
|
|
(a) |
0 |
0 |
. |
||
|
|
|
|
315. Покажите, что матрицы вида |
a |
b |
, где a |
|
|
b |
|
||
|
|
a |
|
действительные числа, образуют поле, изоморфное комплексных чисел.
и b -
полю
64
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
316. Выясните, является ли вещественным линейным пространством относительно сложения матриц и умножения матрицы на число:
a |
b |
, |
a, b ; |
1) множество матриц вида |
|
||
b |
a |
|
|
a |
b |
, a, b . |
2) множество невырожденных матриц вида |
|
|
b |
a |
|
317.Выясните, является ли вещественным линейным пространством:
1)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx ;
2)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx b , b 0 .
318.Является ли линейным пространством множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат: 1) в первой четверти; 2) в первой или третьей четверти?
319.Пусть L – это множество всех упорядоченных пар
положительных действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , а умноже-
ние на действительное число равенством x (x1 , x2 ) ? 320. Пусть L – это множество всех упорядоченных пар
действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , а умножение на действительное число равенством x ( x1, x2 ) ?
321. Может ли вещественное линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из двух различных векторов?
65
322.Из вещественного линейного пространства исключен вектор x . Может ли полученное после этого множество остаться линейным пространством?
323.Выясните, является ли вещественным линейным
пространством множество векторов (x , x ,..., x ) из n , удо- |
|||
|
|
1 2 |
n |
влетворяющих условию: 1) x1 x2 |
... xn 0 ; 2) |
x1 x2 ... xn 1. |
|
|
324. Покажите, что данная система векторов e1 , e2 ,..., en |
||
образует базис в пространстве |
n , и найдите координаты |
||
вектора x в этом базисе: |
|
|
|
1) |
e1 (1, 0,1) , e2 (0,1, 0) , e3 (2,3, 4) , x (1, 3, 3) ; |
||
2) |
e1 (1, 2, 1, 2) , e2 (2,3, 0, 1) , e3 (1, 2,1, 4) , |
e4 (1,3, 1, 0) , |
x(7,14, 1, 2) ;
3)e1 (1, 2,3) , e2 ( 1, 4, 0) , e3 (1,0,0) , x (5, 2, 6) ;
4)e1 (0, 1, 4) , e2 (3, 0, 1) , e3 (2,1, 2) , x ( 1, 0, 5) ;
5) e1 (1,1,1,1) , e2 (1,1, 1, 1) , e3 (1, 1,1, 1) , e4 (1, 1, 1,1) ,
x(1, 2,1,1) .
325.Найдите координаты многочлена (1 x2 )(1 5x) в каноническом базисе пространства многочленов степени 4 .
326. |
Докажите, что система многочленов x2 1, |
x2 2x , |
x2 x образует базис в пространстве многочленов |
степени 2 . Найдите координаты многочлена 2x2 x 1 в этом базисе.
327. Докажите, что система многочленов 1 x , x , x2 x ,
x3 , x4 x |
образует базис в пространстве многочленов сте- |
|||
пени |
4 . |
Найдите |
координаты |
многочлена |
1 2x 3x2 4x3 |
5x4 в этом базисе. |
|
328. Укажите какой-либо базис пространства Mm n всех матриц размера m n . Докажите, что dim Mm n mn .
66
329. В пространстве M 2 ( |
|
) даны четыре матрицы: |
||||||||
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
|
. |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
|
1 |
4 |
|
1 |
0 |
Образуют ли эти матрицы базис в данном пространстве?
330. Докажите, что элементы |
e1 |
1 |
0 |
|
, |
e2 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1
0 ,
e3 |
0 |
0 |
вещественного |
линейного |
пространства |
||
|
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
, , , |
|
образуют базис. Найдите коор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
в этом базисе. |
динаты вектора x |
4 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
331. При каких значениях |
|
|
система векторов ( ,1, 0) , |
|||||||||||||||
(1, ,1) , |
(0,1, ) |
образует базис пространства: 1) |
3 ; 2) |
3 ? |
||||||||||||||
332. |
Пусть |
B : e ,e |
2 |
,e |
3 |
и |
B : e |
,e |
,e |
- |
два |
базиса |
про- |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
странства L , dim L 3 и |
T |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
- матрица пере- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
хода от базиса B к базису B . Найдите: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) координаты вектора x 2e1 |
3e2 |
e3 в базисе B ; |
|
|||||||||||||||
2) координаты вектора |
y |
|
|
|
|
|
|
в базисе B . |
|
|||||||||
3e1 |
e2 e3 |
|
||||||||||||||||
333. Найдите матрицы перехода от базиса B : e1, e2 ,..., en |
||||||||||||||||||
к базису B : e , e ,..., e |
|
и обратно, а так же координаты век- |
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора x в каждом из этих базисов, если: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) e1 (1, 1, 0) , e2 |
(1, 2,3) , e3 (0,1, 1) , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
e (3, 1, 4) |
, e |
(1, 2, 5) |
, |
e |
(3, 2, 1) , x (2, 3, 1) ; |
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
2) e1 (1, 2, 1,0) , e2
e |
(2,1, 0,1) , |
e |
1 |
|
2 |
(1, 1,1,1) , |
e3 |
( 1, 2,1,1) , |
e4 ( 1, 1,0,1) , |
|
(0,1, 2, 2) , |
e |
( 2,1,1, 2) |
, e |
(1, 3,1, 2) , |
|
3 |
|
4 |
|
x(1, 2,1,1) .
334.Lокажите, что каждая из двух данных систем векто-
ров B : e ,e |
2 |
,...,e |
n |
и B |
: e , e ,..., e является базисом. Найдите |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|||
матрицу перехода от базиса B к базису B , а так же коорди- |
|||||||||||||
наты векторов x и y в каждом из этих базисов: |
|||||||||||||
1) |
e |
1, e |
2 |
t , |
e |
3 |
t2 ; |
e 2 , |
e t 1 , e (t 1)2 ; |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
||
|
x 6t2 4t 5 ; y 3t3 5t 2 4t 2 ; |
|
|||||||||||
2) |
e 1 i |
, e |
2 |
1 i ; |
e |
2 , |
e 2i ; |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
x 2 2i ; |
y 2 2i . |
|
|
|
||||||||
|
335. В пространстве |
3 даны два базиса: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f1 (1, 2,3) , |
f2 (2,1, 2) , |
f3 (0,1,1) и |
|||||
|
|
|
|
|
|
g1 (0,1,1) , |
g2 (1,0,1) , |
g3 (1,1,0) . |
Найдите:
1)матрицу перехода от базиса f1,f2 ,f3 к базису g1, g2 , g3 ;
2)матрицу обратного перехода;
3)координаты векторов f1 и g3 в каждом из базисов;
4)координаты вектора x 2f1 3f2 f3 в базисе g1, g2 , g3 .
336.Как изменится матрица перехода от одного базаса к другому, если:
1)поменять местами два вектора первого базиса;
2)поменять местами два вектора второго базиса;
3)записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
337.Является ли подпространством множество всех векторов произвольного линейного пространства L , dim L n , координаты которых в фиксированном базисе удовлетворя-
ют условию: 1) x1 xn ; |
2) x1 x2 1? |
68
338.Пусть L – множество векторов плоскости, выходящих из начала координат. Является ли подпространством множество всех векторов, концы которых лежат в первом и втором координатных углах?
339.Является ли подпространством множество всех матриц порядка n , удовлетворяющих условию:
1) |
A AT (симметричные матрицы); |
2) det A 0 ? |
|
340. Найдите базис и размерность подпространства ли- |
|
нейного пространства n , натянутого на данные векторы: |
||
1) |
a1 (2,1,1, 0) , a2 (3,2, 1, 2) , a3 (1,1, 2, 2) , a4 ( 1,0, 3, 2) ; |
2)a1 (1, 0, 0, 1) , a2 (2,1,1, 0) , a3 (1,1,1,1) , a4 (1, 2,3, 4) , a5 (0,1, 2,3) ;
3)a1 (1,1,1,1, 0) , a2 (1,1, 1, 1, 1) , a3 (2, 2,0,0, 1) ,
a4 (1,1, 5, 5, 2) , a5 (1, 1, 1,0,0) ;
4) a1 (2, 0,1,3, 1) , a2 (0, 2,1, 5, 3) , a3 (1,1,0, 1,1) , a4 (1, 3, 2,9, 5) .
341. Найдите базис и размерность подпространства линейного пространства многочленов степени 6 , натянутого
на векторы f (x) 2x 4x3 x6 , f |
2 |
(x) x 2x3 x6 , f |
(x) x 3x3 x6 |
, |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
f |
4 |
(x) x3 x6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
342. Найдите базис и размерность линейной оболочки |
|||||||
многочленов |
p (x) 3x2 2x 1 , |
p (x) 4x2 3x 2 |
, |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
p (x) 3x2 2x 3 , |
p (x) x2 |
x 1, |
p (x) 4x2 3x 4 . |
|
|||||
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
343. Пусть |
L1 и |
L2 - подпространства конечномерного |
линейного пространства V . Докажите, что:
1)если L1 L2 , то dim L1 dim L2 , причем равенство имеет место только при L1 L2 ;
2) если dim(L1 L2 ) 1 dim(L1 |
L2 ) , то сумма L1 L2 равна |
69
одному из этих подпространств, а пересечение |
L1 |
L2 – |
||||||
другому; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) если dim L1 dim L2 dimV , то L1 |
|
L2 0 . |
|
|
|
|||
344. Найдите размерность и базисы подпространств |
A , |
|||||||
B , A B , |
A |
B , если |
A a1,a2 ,a3 |
- подпространство, |
||||
натянутое на векторы a1 , a2 , a3 , и B b1 , b2 , b3 |
- подпро- |
|||||||
странство, натянутое на векторы b1 , |
b2 , b3 , где |
|
|
|
||||
a1 (1, 2, 1, 2) , a2 (3,1,1,1) , a3 |
( 1,0,1, 1) , |
|
|
|
||||
b1 (2,5, 6, 5) , b2 ( 1, 2, 7, 3) , |
b3 (4,1,8,1) . |
|
|
|||||
345. Найдите размерность и базисы подпространств |
A , |
|||||||
B , A B , |
A |
B , если |
A a1,a2 ,a3 |
и B b1, b2 |
, |
где |
||
a1 (1,1, 1) , |
a2 (1,0, 1) , a3 |
(2,1, 2) , |
b1 (1,1,0) , b2 |
( 1, 1,1) . |
Выясните, какому из этих подпространств принадлежит век-
тор x (2, 0, 1) .
|
346. Найдите размерность и базисы подпространств A , |
||||||
B , A B , A |
B , если A a1,a2 ,a3 |
и B b1 , b2 , b3 , где |
|||||
|
a1 (1, 2,1, 2) , |
a2 (2,3,1, 0) , a3 |
(1, 2, 2, 3) , |
||||
|
b1 (1,1,1,1) , b2 (1, 0,1, 1) , b3 (1,3,0, 4) . |
||||||
|
347. Найдите базисы суммы и пересечения линейных |
||||||
оболочек a1,a2 ,a3 |
и b1 , b2 , b3 , если: |
|
|
||||
1) |
a1 (1, 2,1) , |
a2 (1,1, 1) , a3 (1,3,3) , |
|
|
|||
|
b1 (1, 2, 2) , b2 |
(2, 3, 1) , b3 (1,1, 3) ; |
|
||||
2) |
a1 ( 1, 6, 4, 7, 2) , a2 ( 2,3, 0,5, 2) , |
a3 |
( 3,6,5,6, 5) , |
||||
|
b1 (1,1, 2,1, 1) , |
b2 (0, 2, 0, 1, 5) , |
b3 |
(2,0, 2,1, 3) ; |
|||
3) |
a1 (1, 2,1, 0) , a2 |
( 1,1,1,1) , b1 |
(2, 1,0,1) , |
b2 (1, 1,3,7) ; |
|||
4) |
a1 (1, 2, 1, 2) , |
a2 (3,1,1,1) , |
a3 |
( 1,0,1, 1) , |
b1 (2,5, 6, 5) , b2 ( 1, 2, 7, 3) .
70