нием: |
|
|
|
|
|
|
|
|
определенного выраже- |
|||
изведения некоторого тензора |
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на вектор – орт направления |
|
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина Та |
|
называется |
дифференциальным |
тензо- |
||||||||
ром векторного поля и может служить мерой неоднородности этого поля.
3.2.2. grad Р (градиент давления)
|
|
Пусть под скаляром мы будем понимать давление P. |
||
|
|
Рассмотрим подынтегральное выражение входящее |
||
в формулу (3.19). |
|
|||
|
|
Под знаком интеграла содержится произведение |
||
|
|
, которое дает величину силы давления, приложенного |
||
|
площадке . |
|
||
|
После умножения |
не единичный нормальный вектор |
||
к |
||||
получаем направление действия этой силы, поскольку
давление всегда действует по нормали к рассматриваемой площадке. ∆
Выделим в пространстве некоторый объём или будем рассматривать∆ одну и ту же массу жидкости, занимающую объём , (в данном случае различие точек зрения не меняет смысла понятия градиента давления), тогда
45
ления на |
|
∙ |
дает величину и направление силы дав- |
|
величина - |
|
|||
|
этот объём по площадке . |
|||
Знак минус поставлен на |
том основании, что давле- |
|||
|
||||
ние действует всегда по внутренней нормали, а в формуле |
||||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
к поверхности, охва- |
||||
рассматривается внешняя нормаль |
||||||||||
тывающей объём |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
Проинтегрируем теперь по замкнутой поверхности |
||||||||||
Разделив |
|
|
= − ∙ |
|
|
|
|
|||
и получим суммарную силу давления на. объём ∆: |
(3.22) |
|||||||||
|
|
равенство (3.22) на величину объёма |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
|
получим среднее значение силы давления, действующей∆ |
|
|||||||||
значение |
∆ → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
единичный объём, заключенный внутри поверхности . |
|
|
||||||||
При |
|
|
|
предел этого отношения дает |
точное |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
величины и направления суммарной силы давления, которой подвергается единичный объём, охватывающий интересующую нас точку пространства или центр
инерции движущейся бесконечно малой частички жидко- |
||||||||||
сти. |
3.2.3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
(ротор скорости) |
|
||||||||
|
|
rot u |
= |
∙ |
|
|||||
|
Анализируя выражение (3.19), т.е. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жидкости произвольной формы, |
||||||
и рассматривая частицу ∆ →0 |
|
rot U |
|
|
|
|||||
как это делали при обсуждении |
∆ |
и |
|
, невозмож- |
||||||
|
|
rot U |
|
|
|
. |
|
|
|
|
но дать физическое трактование |
|
|
|
|||||||
|
Замечание: |
|
|
представляет |
собой удвоенную уг- |
|||||
ловую скорость вращения |
частицы жидкости в рассматри- |
|||||||||
|
|
|
|
rot u = 2 . |
|
|
(3.23) |
|||
ваемой точке пространства, т.е. |
|
|
|
|
||||||
46
3.3.Символическое исчисление
3.3.1.Оператор Гамильтона
Рассмотрев внимательно математическое содержание операций div, grad, rot (формулы 3.18, 3.19, 3.20), заме-
чаем, что эти |
три соотношения могут быть представлены |
|
одним общим выражением вида: … , |
(*) |
|
где символ …, называемый оператором Гамильтона или |
|
∆ →0 |
∆ |
… = |
|
вектором Набла, обозначает предел отношения, стоящий в правой части равенств 3.17, 3.18, 3.19.
|
Известна запись определения производной от функ- |
||||
ции |
Запись (*) и (**) |
= ∆ →0 ∆ |
|
|
|
|
… |
∆…. |
(**) |
||
|
|
имеют сходство и различие. |
|
|
|
|
1. Сходство записей (*) и (**): |
|
|
|
|
|
В записи (**) под знаком предела стоит разность |
||||
значений (изменения) функции на границах интервала |
∆ |
, |
|||
отнесенная к величине самого интервала. |
|
|
|||
В записи (*) также под знаком предела стоит отношение изменения (разности) значений некоторой величины (представляемое интегралом по поверхности) на границах интервала к самому интервалу .
Однако в выражении |
(**) рассматривается линей- |
|
∆ |
||
ный интервал, а в выражении (*) трехмерный. |
||
Поэтому знак |
можно трактовать, подобно символу |
|
, как оператор |
дифференцирования, но не по одной |
|
47
координате, а по всем трем координатам сразу, т.е. по объему.
2. Различие записей (*) и (**): |
|
|
|
|
|
примененный к ска- |
|
Известно, что операторскалярную, |
величину, а к век- |
||
лярной функции, всегда дает |
|
|
|
торной – векторную. Но мы ранее установили, что дивергенция вектора – скаляр, градиент скаляра – вектор, ротор вектора – вектор.
Т.е., казалось бы, применение оператора дифференцирования к векторным и скалярным функциям не при-
что знак
водит к однозначности результатов. Однако будем считать, имеет двойственную природу, являясь одновре-
менно и оператором дифференцирования, и особым символическим вектором, т.е. вектором, не имеющим не определенной длины, ни направления.
Замечание:
Исходя из двойственности (двойственной природы) символа , строится изящное исчисление, широко приме-
|
векторном анализе. |
|
|
|
няемоеТв.о.: |
|
= × , |
|
|
|
|
= × , |
(3.24) |
|
на |
× |
– есть = |
× . |
|
|
|
скалярное произведение вектора набла |
||
вектор скорости (и в то же время определенным образом выполненное дифференцирование), поэтому ясно, что дивергенция∙ вектора есть скорость.
– есть вектор (умножение вектора на скаляр), но в то же время осуществляется дифференцирование скалярной функции по объёму.
48