3364

где интегрирование производится по области определения задачи и части ее границы Г2, принимает стационарное значе-

ние для функции (x, y, z), являющейся решением краевой задачи (1.8) при условии, что допустимые функции удовлетворяют краевому условию (1.8b) на Г1 (главное краевое условие). Условие на Г2 является естественным.

Для первой вариации имеем

Последний интеграл равен нулю, так как и + удовлетворяют главному краевому условию на 1. Поскольку ва-

риация произвольна, для F = 0 необходимо, чтобы

Для получения приближенного решения вариационной задачи обычно используется метод Релея-Ритца, согласно которому неизвестная функция заменяется суммой

где {Nm} система независимых базисных (пробных) функций; { m } параметры, как правило, значения функции ˆ и ее

производных в определенных точках узлах.

Подставляя (1.12) в (1.9), заметим, что функционал F теперь является функцией только величин 1, 2, ... , M.

11

Необходимое условие стационарности F

приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно { j}

Решив систему, искомую функцию ˆ найдем с помощью (1.12). Матрица (1.16) – симметричная и положительно определенная.

Формально совершая предельный переход при M ,

получим функцию mNm , являющуюся точным реше-

m 1

нием рассматриваемой вариационной задачи. Если ограничиться лишь M первыми членами, то получим приближенное решение вариационной задачи.

Если таким методом определяется абсолютный минимум функционала, то приближенное значение минимума функционала находится с избытком. При нахождении тем же методом максимального значения функционала получим приближенное значение максимума функционала с недостатком.

12

Выбор последовательности функций N1, N2..., Nm сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора базисной системы функций в значительной мере зависит успех применения этого метода.

Для того, чтобы функции ˆ mNm были допусти-

m 1

мыми, прежде всего, необходимо удовлетворить граничным условиям (конечно, не следует забывать и о других ограничениях, которые могут быть наложены на допустимые функции, например, требованиях, касающихся их непрерывности или гладкости, а также полноты).

Упражнения

1. Длина кривой, соединяющей две точки (x0, y0) и (x1, y1)

есть

Используя соответствующее уравнение Эйлера, найти путь наименьшей длины между этими точками.

2. Найти кривую y(x), проходящую через две точки (x0, y0) и (x1, y1) и дающую минимальную площадь поверхности вращения при вращении кривой вокруг оси x. Рассмотреть функционал

3. Найти уравнение Эйлера, соответствующее функцио-

налу

13

где k и T – постоянные. Найти уравнение Эйлера и выяснить вид главных и естественных краевых условий при x = 0 и x = L. Уравнение Эйлера описывает малые отклонения нагруженного троса, покоящегосяна упругомоснованиижесткостьюk.

5. Рассмотреть функционал

где k, Q, и q зависят только от x, y. Найти уравнение Эйлера и выяснить вид естественного краевого условия, если допус-

тимые функции удовлетворяют условию = на Г1 = Г – Г2.

6. Показать, что стационарное значение функционала

14

– это минимальное значение для всех допустимых функций ,

удовлетворяющих главному краевому условию = на Г1=Г–Г2. Указание. Рассмотреть функционал для функции Т+ h,

где Т – точное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее краевым условиям, h – достаточное число раз дифференцируемая функция, обращающаяся в 0 на границе, – малый параметр (действительное число).

7. Методом Релея-Ритца провести дискретизацию краевой задачи d2 /dx2 + + 1 = 0, 0 x 1; =0 при x=0; d /dx=1

при x=1. Показать, что матрица полученной системы является положительно определенной.

1.3. Проекционные методы дискретизации

Основной принцип методов проекций базируется на теореме, присущей гильбертовым пространствам и определяющей пространство, в котором только нулевой вектор ортогонален всем векторам пространства. В пространстве L2, в котором можно расположить большинство физических задач, ортогональность двух функций f и g определяется в виде скалярного произведения:

( f ,g) f gd 0.

Рассмотрим для определенности краевую задачу (1.8). Метод взвешенных невязок состоит в проекции функций, назы-

на семейства независимых функций {Wm} и {Wm} с помощью скалярных произведений

R Wmd , R 2Wmd .

2

15

Можно также потребовать равенство нулю невязки на 1, однако это выгоды не дает, поскольку условие Дирихле (1.8b) точно учитывается путем соответствующей модификации системы уравнений (см. разд. 1.4).

Множество функций {Wm} образует пространство, в котором, для того чтобы R = 0, невязка в должна быть орто-

гональна всем базисным векторам. Аналогичное утверждение

справедливо в отношении функций Wm. Тем самым необходимо потребовать

2

Полученная система имеет большой недостаток, что имеет 2m уравнений, и для ее разрешимости необходимо иметь столько же неизвестных – параметров аппроксимации. Однако, если сложить почленно уравнения, придем к системе с вдвое меньшим числом уравнений и неизвестных:

Показано, что такой переход не нарушает основного требования ортогональности невязок соответствующим системам

функций {Wm} и {Wm }. Итак, имеем

Если {Wm} образует пространство бесконечных размеров, т.е. M= , то можно достичь эквивалентности между задачей в частных производных и ее интегральным представлением при условии, что удовлетворяет главному краевому условию (1.8с). Однако при практическом применении функции Wm образуют конечномерное пространство, так как при использовании аппроксимации (1.12) имеем конечное число параметров1, ... , M (степеней свободы), которые определяют число функций Wm в соответствии с числом уравнений.

16

Подставив выражение для (1.12) в (1.20), получим систему уравнений для определения параметров { i}. Однако в этом случае потребуется вычисление интегралов вида

x Nxi y Nyi z Nzi Wj dxdydz ,

для исключения особенностей в которых необходимо, чтобы базисные функции {Ni} принадлежали классу гладкости С1, т.е. были непрерывны вместе со своими первыми производными. Такое ограничение наряду с несимметричностью матрицы системы уравнений крайне нежелательно при использовании вычислительных процедур, в частности МКЭ. Поэтому преобразуем первый интеграл в (1.20) по формуле Грина:

Теперь базисные функции {Nm} и {Wm} должны принадлежать классу гладкости С0 (быть только непрерывными). Подобное преобразование, обеспечивающее понижение степени гладкости допустимых функций, является ключевым для ко- нечно-элементной формулировки задачи. Ограничив выбор базисных функций требованием

17

Если положить Wj = Nj, что соответствует методу Галеркина, получим те же итоговые выражения (1.15)-(1.17), что и при использовании вариационного метода Релея-Ритца. Преимущество проекционных методов заключается в том, что не требуется знания естественного вариационного принципа, соответствующего рассматриваемой краевой задаче. Однако, если известно вариационное представление задачи, то его использовать предпочтительнее, так как, во-первых, это гарантирует симметричную форму уравнений, обеспечивает нужный класс гладкости базисных функций, во-вторых, функционал часто представляет конкретную физическую величину, например, энергию поля. Если минимизация такого функционала ведет к точному решению, то приближенное значение функционала дает оценку сверху для минимального его значения.

Среди других формулировок для МКЭ можно использовать смешанные вариационные формулировки с множителями Лагранжа, сопряженные вариационные принципы, метод штрафных функций и метод наименьших квадратов [3].

Упражнения

1. Составить систему линейных алгебраических уравнений, получающуюся при аппроксимации по Галеркинурешениязадачи

2 / x2+ 2 / y2=0; x,y [–1, 1], =100 при y= 1; / n= =–1– при x= 1. Ввести три невязки: в области и на двух границах, соответствующихразличным краевым условиям.

2. Рассмотреть дискретизацию уравнения 2 / x2=– (x) методом взвешенных невязок, если в качестве весовых функций использовать -функции Дирака: Wj = (x–xj). Каким образом можно обеспечить выполнение краевых условий Дирихле

иНеймана?

3.Провести дискретизацию уравнения

2 / x2 + 2 / y2 +2 / y=0

проекционным методом. Функцию на Г считать заданной.

18

4. Показать, что если исключить из рассмотрения невязку на Г2, то решение, полученное с помощью метода взвешенных

невязок, будет удовлетворять условию / n=0.

5. Получить систему алгебраических уравнений для краевой задачи (1.8), при условии, что = ( ).

1.4. Конечные элементы и аппроксимация

Конечным элементом внутри рассматриваемой областиназывают некоторую подобласть e, геометрические размеры которой очень малы по сравнению с размерами области , но при этом остаются конечными. Элемент характеризуется числом геометрических узлов, типом аппроксимирующих функций и степенью аппроксимации неизвестной функции. Границы элементов могут быть как прямолинейными, так и криволинейными.

Решение трехмерной краевой задачи внутри элемента e можно представить в виде суммы

m 1

(e)

Базисные функции Nm , относящиеся к элементу e, называются функциями формы этого элемента. Вне пределов e

ждая функция формы обычно связывается с узлом m, причем Nm(e)(xn, yn, zn)= mn , т.е. она равна нулю во всех узлах, за исключением m-го, в котором равна единице.

На всей области определения решение можно предста-

19

Последняя запись символическая; значение функции в точке (x, y, z) всецело определяется параметрами m, связанными с элементом e, которому принадлежит эта точка. Если обратиться к вариационной формулировке задачи, легко показать, что полный функционал задачи, относящийся ко всей области определения, равен сумме функционалов, вычисленных на каждом элементе:

F( ˆ ) F(e)

(e)

(свойство аддитивности функционала). В силу этого можно получить необходимое условие экстремума { F m 0} не

находя полный функционал F, а формально применяя его для каждого элементного функционала Fe и получая систему типа (1.15); причем интегрирование в (1.16)-(1.17) производится только по области конечного элемента e и его границе e, если последняя является частью . Сформированные таким образом локальные системы уравнений добавляются в одну общую (глобальную) систему по определенным правилам, рассмотренным ниже. Именно такой обычно подход используется в практических реализациях МКЭ, поскольку элементы обрабатываются в цикле и для каждого из них естественным образом определяется вклад в итоговую систему.

Поскольку при реализации МКЭ требуется вычислять интегралы от функций формы и их производных по области конечного элемента e, целесообразно ограничиться рассмотрением стандартного элемента *,e имеющего правильную форму. Поэтому, чтобы сделать процесс вычислений единообразным для всех элементов, делается замена

f (x, y,z)dxdydz f x(u,v,w), detJ dudvdw.

Здесь det J – якобиан преобразования. Теперь функции формы

(e)

{Nm (u,v,w)} определяются раз и навсегда для стандартного элемента *e .

20