3230

нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.

Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения

функции понимается как степень выполнения отношения

a b .

Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

множества ( A, μR ) описывается функцией принадлежности

91

альтернатив в множестве ( A, μQ1 ) :

2. Строится нечеткое отношение Q2 :

m

μQ2 (a,b)∑wj μR j (a,b)

j =1

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве ( A, μQ 2 ) :

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа wj в приведенной выше

свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений.

Сущность данного метода заключается в следующем. Пусть U – множество элементов, А – его нечеткое

92

подмножество, степень принадлежности элементов к которому

управления» может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная x2

«стоимость» – значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S «удовлетворительность» также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания:

d1 : «Если x1 =НИЗКОЕ и x2 =ХОРОШЕЕ, то S =ВЫСОКАЯ».

93

W, в то время как Bi – нечеткое подмножество единичного

интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

μH (w,i) = min(1,(1 − μA (w) + μB (i))),

w W

где Н – нечеткое подмножество на W × I , w W , i I. Аналогичным образом высказывания d1 , d 2 ,..., d q ,

преобразуются в множества H1 , H 2 ,..., H q . Их пересечением является множество D:

D = H1 Ç H2 Ç...Ç Hq

и для каждого (w, i) W × I ,

μD (w, i) = min(μH (w, i)), j = 1, q .

w W

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:

G = A O D,

где G – нечеткое подмножество интервала I. Тогда

μG (i) = max(min μ A (w)μD (w,i)).

w W

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества C I определяем α -уровневое множество (α [0,1]) :

Cα = {i | μc (i) ³ α ,i Î I}.

Для каждого Cα можно вычислить среднее число

элементов – M( Ca) :

для множества из п элементов

n

M (Cα ) = ∑i j / n; i j ÎCα ;

j =1

94

где αmax – максимальное значение во множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

Рассмотрим многокритериальный выбор альтернатив на основе метода аддитивной свертки. В рассматриваемом методе экспертные предпочтения представлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принадлежности треугольного вида (рис. 2.10).

95

Рис. 2.10. Треугольное представление нечеткого числа

Пусть имеется множество альтернатив A = {a1 , a2 ,..., am } и множество критериев C = {c1 , c2 ,..., cn }, при этом оценка j-й альтернативы по i-му критерию представлена нечетким числом Rij , a относительная важность i-го критерия

задается коэффициентом αi , i =1, 2, ..., n . Если коэффициенты

имеют треугольный вид, то для них, как и для нечеткого числа

X, вершина X * , а также левая X ' и правая X ' границы определяются следующими соотношениями:

"δ : μ( X ′) = 0; μ( X ′- δ ) = 0; μ( X ′+ δ ) ¹ 0 ;

"δ : μ( X ¢¢) = 0; μ( X ¢¢ - δ ) = 0; μ( X ¢¢ + δ ) ¹ 0; μ( X * ) = 1 .

Взвешенная оценка j-й альтернативы R j является

результатом линейной комбинации нечетких чисел и также будет иметь функцию принадлежности треугольного вида.

96

Вершину и границы нечеткого числа Z = X ×Y , полученного в результате операций сложения или умножения (символ × обозначает обобщенную операцию), можно вычислить следующим образом:

Z ' = X ×Y ; 'Z '= X '×Y '; Z * = X * ×Y *.

Ранжирование альтернатив с использованием полученных взвешенных оценок возможно на основе их нечеткой композиции:

μ j ( j) = sup min μR j (rj ).

Здесь μj ( j) – нечеткое множество альтернатив,

соответствующих понятию «лучшая альтернатива». Лучшей считается альтернатива, имеющая наибольшее значение

μj ( j) .

Приоритет каждой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой границы соответствующего ей нечеткого числа R j с границами не-

четких чисел, представляющих взвешенные оценки альтернатив, расположенных правее на числовой оси (удовлетворяющих условию rk ³ R j ). При этом предполагается, что

правая граница области определения нечетких чисел соответствует самым предпочтительным оценкам, а левая – наихудшим.

Помимо приведенных методов, существует и ряд других, применение которых также возможно в зависимости от постановки задачи проектирования БСС и от вида частных критериев.

97

3. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА БЕСПРОВОДНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ

3.1. Методы комбинаторно-морфологического анализа и синтеза систем

Целями морфологического анализа и синтеза БСС являются: системное исследование всех мыслимых вариантов решения задачи, вытекающих из закономерностей строения (морфологии) разрабатываемого или совершенствуемого объекта. Это позволяет учесть, кроме известных, необычные варианты, которые при простом переборе могли быть упущены исследователем из виду, реализация совокупности операций поиска на морфологическом множестве вариантов описания функциональных подсистем (обобщенных функциональных подсистем – ОФПС), соответствующих исходным требованиям, т.е. условиям задачи. Морфологическое множество вариантов описания функциональных подсистем представляется морфологической таблицей (рис. 3.1)

Рис. 3.1. Морфологическая таблица

В морфологической таблице цепочкой связанных альтернатив показан один из вариантов рассматриваемой системы. Общее число всевозможных вариантов N, образующих морфологическое множество определяется как декартово про-

98

изведение множеств альтернатив, образованных каждой строкой морфологической таблицы:

l=1

Вформуле (3.1) приняты следующие обозначения: Kl -

число способов (альтернатив) для реализации l-той функции или обобщенной подсистемы; L - число всех функций.

Морфологическое множество является областью поиска в пространстве размерностью L. Генерируемый вариант системы представляет выборку альтернатив по одной из каждой строки морфологической таблицы и в общем виде записывает-

ся следующим образом: Si = {A1i , A2i ,K, Alm , ALn ,} , где i =1, K1 ;

j =1, K2 ; m =1, K ; n = 1, Kl .

Правило генерации вариантов исследуемых систем таково, что каждый целостный вариант отличается от любого другого варианта рассматриваемого морфологического множества хотя бы одной альтернативой Alm .

Поиск в морфологическом множестве вариантов системы при решении задачи синтеза осуществляется по различным целевым функциям и алгоритмам, которые рассматриваются в последующих разделах данной главы.

Метод морфологического анализа и синтеза реализуется в несколько этапов.

Этап 1. Проводится формирование исходной цели или проблемы, отражающей основные требования к синтезируемому объекту.

Этап 2. Осуществляются построение морфологической таблицы и заполнение ее альтернативами.

Этап 3. Описываются свойства альтернатив морфологической таблицы. Свойства альтернатив могут характеризоваться в шкале наименований классификационными функциональными и структурными признаками или в числовой шкале, отражающей качество альтернатив по различным критериям.

99

Этап 4. Формируется формализованное поисковое задание и выбирается вид целевой функции.

Этап 5. Реализуется та или иная процедура поиска вариантов решения задачи. Под поиском в данном случае понимается последовательность операций выбора из морфологического множества вариантов описания функциональной системы и операций оценки эффективности и совместимости подсистем, образующих синтезированный целостный вариант. Здесь же определяется соответствие варианта требованиям к искомой функциональной системе - от понятия «подходящее решение» до понятия «оптимальное или рациональное решение».

Рассмотрим методы и подходы по обработке информации на каждом этапе морфологического синтеза систем. Для начала рассмотрим подготовку информации для анализа и синтеза рациональных вариантов построения систем.

Формирование исходной цели синтеза может осуществляться с различной степенью полноты и определенности. Для БСС процесс синтеза связан с совершенствованием конкретных систем-прототипов, исходная цель конкретизируется рядом технических, экономических, и технологических требований, которые могут носить качественный или количественный характер. Последний способ формирования исходной цели синтеза в лучшей степени подлежит формализации, и на его основе реализован ряд подходов по синтезу рациональных вариантов систем. Исходная цель в значительной степени определяет подходы по формированию поисковых заданий и морфологических таблиц.

Рассматривая способы формирования поисковых заданий можно выделить три подхода к их формированию, на основе которых решаются различные задачи морфологического синтеза. В соответствии с первым подходом поисковое задание формируется на основе качественных классификационных признаков и их значений, характеризующих отдельные подсистемы искомого варианта. При втором подходе поисковое задание формируется на основе количественной экспертной

100