Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3115

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

и т.д. Теорема справедлива и в том случае, когда x . Действи-

тельно,								положив							x					1	,				получим
тельно,								положив							x					z	,				получим
																				z
			1						1						1						1
			f (				)		( f (				))		f (				)(				)
	f (x)																z				z 2				f (x)
lim	f (x)	lim			z			lim			z			lim			z				z 2			lim	f (x)	.
lim	(x)	lim	1					lim	1					lim	1						1			lim	(x)	.
x	(x)	z 0	1					z 0	1					z 0	1						1			x	(x)
			(			)			( (			))			(			)(				)
			(	z		)			( (	z		))			(	z		)(			z 2	)

Пример 4.1. Найти предел

lim

ln 2 x

2 ln x

ln 2

ln 2 x

ln x

Решение.

lim

2 lim

ln x

lim

0 .

Пример 4.2. Найти предел

lim

4x2

3x2 7x 4

Решение.

lim

4x2

lim

4x 2

3x2

lim

Правило Лопиталя может быть использовано для исследова-

ния неопределенностей вида

, 0 ,

00 ,

для чего указанные виды неопределенностей сводятся к неопреде-

ленностям	0	или	.

	0

Пример 4.3. Найти предел lim xtgx .

Решение.

ln x

lim

x 0

tgx

tgx ln x

ctgx

lim

lim e

0 ctgx

sin 2 x

x 0

lim

sin 2

lim

2sin x cos x

= e

x 0

Пример 4.4. Найти предел lim

1 x ln x

Решение.

lim

1)'

lim

x 1 x ln x

x 1 (x ln x)'

x 1 ln x 1

Пример 4.5. Найти предел lim

cos8x

Решение.

lim

cos 8x

lim

8sin 8x

4 lim

8 cos 8x

32.

x 2

x 0

Пример 4.6. Найти предел lim

tg3x

tg5x

Решение.

lim

tg3x

lim

3cos2 5x

lim

cos10x

5 cos2 3x

tg5x

5 x

cos 6x

lim

10 sin 10x

lim

sin 10x

lim

10 cos10x

5 x

6 sin 6x

sin 6x

6 cos 6x

Пример 4.7. Найти предел

lim

1 ln x

x 1

Решение.

ln x

lim

x 1

ln x x 1

x 1 ln x (x 1)

x 1

ln x

lim

x 2

x 1

x 2

Пример 4.8. Найти предел lim (cos 2x) x2 .

Решение.

ln cos 2x

lim

sin 2x 2

2 lim

tg 2x

lim (cos 2x) x2

lim e

e x

2x cos 2x

e x 0 2x

x 0

2 lim

2cos2 2x

x 0

Некорректное использование правила Лопиталя может при-

вести к неверному результату.

Например, предел lim

sin x

вычисляется без правила Ло-

питаля простым делением числителя и знаменателя на x

sin x

lim

= lim

Однако, правило Лопиталя при вычислении этого предела дает

неверный результат:

lim

sin x

lim

cos x

lim cos x .

Противоречие связано с невыполнением условия правила Лопиталя, состоящего в существовании предела отношения производных бесконечно больших величин.

4.5. Формула Тейлора

Приращение дифференцируемой функции y f x , соответ-

ствующее приращению аргумента			x , равно
	y f x0	x f x0		f x0		x	x ,
где	x есть бесконечно малая величина более высокого порядка
малости по сравнению с		x , т.е.	x		0	. Данная формула часто

			x

используется в простых вариантах приближенных вычислений, когда вместо приращения функции y вычисляется дифференциал

dy f x0 x . Подобный подход оказывается оправданным для достаточно малых значений x и вызывает сомнения при увеличении значений x , поскольку остается открытым вопрос о точности такого приближения. Формула Тейлора существенно расширяет воз-

можности приближенного вычисления значений функции

y f x

уточняя и конкретизируя вид слагаемого

x .

Теорема Тейлора. Пусть функция

f x

имеет в точке x0

ее окрестности производные до n

1 -го порядка включительно,

тогда для любого

из указанной окрестности найдется такая внут-

ренняя точка

x0 , x , что будет справедлива следующая формула:

f (x) f (x0 )

f (x0 )

x0 )

f (x0 )

x0 )

...

f n (x0 )

x0 )

f (n 1) ( )

(x x0 )n 1 .

(n 1)!

Формула называется формулой Тейлора, а последнее слагаемое

f n 1

n 1 - остаточным членом в форме Ла-

n 1

n 1 !

гранжа.

Доказательство: Представим функцию y

в виде много-

члена Pn

a x

2 ...

n .

Коэффициенты a0 , a1 ,..., an

находятся из условий:

Pn x0 ;

x0 ;

;

…………………

Найдем производные многочлена Pn

x :

P x

3a x

2 ...

x x

n 1

P x

+ 3 2 a x x

+…+ n n 1 a

x x

n 2 ,

P x

3 2 a

+…+ n n 1 n 2 a

x x

n 3 ,

………………………………………………………..……,

P n n

n n 1 n 2

... 4 3 2 1 an .

Если положить

формулах

для

производных

многочлена

x x0 , то получим:

Pn x0

a1 ,

f x0

Pn x0

2 1 a2 ,

f x0

Pn x0

3 2 1 a3 ,

………………………………………,

f n

P n n

1 ...3

2 1 an .

Выражения для коэффициентов a0 , a1,..., an

многочлена Pn x

f x

, …, a

f n x0

позволяют приближенно представить функцию y

в виде:

f (x)

f (x

)

(x0 )

)

f (x0 )

) 2

...

f n (x0 )

) n .

Точно функция y f xможет быть представлена в виде:

f x P

f (x

)

(x0 )

)

(x0 )

)2 ...

f n (x0 )

x0 )

x ,

где слагаемое

представляет собой погрешность, связанную с

заменой функции

на многочлен Pn

x .

Ищем Rn

в виде

n 1 Q x

Для уточнения вида

1 !

множителя Q x

рассмотрим вспомогательную функцию F t

F t

( f t

x t

...

f n t

x t n

Q x

x t

n 1

) .

1 !

Можно убедиться подстановкой, что вспомогательная функция F t удовлетворяет условиям:

F t	x	0 ,
F t	x0	0 .
По теореме Ролля найдется		такая внутренняя	точка
x0 , x , в которой будет обращаться в нуль производная			F	.

Вычисление производной F t после приведения подобных членов дает выражение:

F t	x t n	f n 1 t	x t n Q x	.
F t		n!	n!	.
		n!	n!

Из условия F 0 имеем: Q x f n 1, откуда и получается формула Тейлора.

При x0 0 имеем частный случай формулы Тейлора, извест-

ный как формула Маклорена:

f (x) f (0)

f '(0)

f "(0)

...

f (n) (0)

f (n 1) ( )

n 1

(n 1)!

где	является некоторой внутренней точкой промежутка					0, x .
	Стоит отметить, что при n		0 формула Тейлора имеет вид
f x	f x0 f	x x0 или f x	f x0	f	x x0	, совпа-

дая с формулой конечных приращений, т.е. формулой Лагранжа. Рассмотренная ранее формула приближенных вычислений

f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )

оказалась частным вариантом использования формулы Тейлора.

4.6. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

1.Разложение функции

ex .

Найдем

производные

от

функции

e x ,

f x

e x ,…, f

n x

ex . Используя

0 f

f n

1, по-

лучим:

e x

...

xn 1

1 !

где

0, x .

Пример 4.9. Найти число e с точностью до 0.01.

Решение. В формуле Маклорена для функции

f x

поло-

жим x 1:

...

(n 1)!

Для нахождения e с точностью 0,01 определим число слагае-

мых n из условия, что остаточный член

должен быть мень-

1)!

ше

0,01. Поскольку

0 <

<1, то

< 3 ,

то

при

имеем

0,004

0,01. Для вычисления e

с точностью до 0,01 не-

720

обходимо учесть в формуле Маклорена шесть слагаемых:

2 + 0,5 + 0,1667 + 0,042 + 0,008=

= 2,718

2,72 .

2.Разложение функции

sin x .

Последовательное

нахождение

производных

функции

sin x дает:

cos x

sin( x

) ,

sin x

sin( x

) ,

cos x

sin( x

) ,

…………………………………..

sin( x

) ,

n 1

sin( x

) ,

0 ,

f 0 1,

0 , f

1,…, f

sin

Подстановка полученных производных в формулу Макларена

дает разложение функции

sin x :

sin x

...

sin

xn 1

sin

1)!

где

0, x .

3.Разложение функции

cos x .

Найдем производные от функции f

x :

sin x

cos

cos x

cos

sin x

cos

……………………………….

f n

cos x

f 0 1,

0 0 ,

f 0

0 ,…, f

cos

. В ре-

зультате получаем разложение функции

cos x

по формуле

Маклорена:

cos x

x 2

...

x n

cos

x n 1

cos

n 1

1)!

где

0, x .

Приведем разложение по формуле Маклорена некоторых дру-

гих элементарных функций:

x 2

x 4

n 1 x n

x n 1

ln(1

...

( 1)

(

1)(1

)n 1

(

...

(

1)...(

(

1)...(

n)(1

)

n 1

xn 1 ,

1)!

где

0, x .

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте теорему Ролля. Почему между двумя точками, соответствующими нулевым значениям дифференцируемой функции, найдется значение аргумента, при котором производная обращается в нуль?

2.Сформулируйте теорему Лагранжа. Каков геометрический смысл теоремы?

3.Что такое правило Лопиталя?

4.О чем говорит теорема Тейлора?

5.Каков смысл остаточного члена?

6.Чем отличается формула Маклорена от формулы Тейлора?

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие пределы:

			ln 1	1

1.	lim				x 2			.	Ответ: 1.
					x 2
			arcctgx2
	x		arcctgx2
2.	lim	ln sin 5x					.		Ответ: 1.
2.	lim						.		Ответ: 1.
	x 0 ln sin 2x
				1						1
3.	lim	ctgx		ln x		.			Ответ:	1	.
3.	lim	ctgx		ln x		.			Ответ:		.
	x 0									e

Написать формулу Маклорена третьего порядка для функции y = arctgx .

Ответ:	arctgx x -	x3	12x 2			1 x4
		3		2	1	4	4!

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

5.1. Возрастание и убывание функции

Одним из простейших приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.99 Mб43050.pdf
#
15.11.20223 Mб03053.pdf
#
15.11.20223 Mб33054.pdf
#
15.11.20223.01 Mб33109.pdf
#
15.11.20223.01 Mб23110.pdf
#
15.11.20223.04 Mб13115.pdf
#
15.11.20223.04 Mб03118.pdf
#
15.11.20223.05 Mб03119.pdf
#
15.11.20223.05 Mб03123.pdf
#
15.11.20223.06 Mб103125.pdf
#
15.11.20223.06 Mб13126.pdf