3115

x2 (2

x)

0;

x

0,

x

2;

(0,0),

(2,0) .

4. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные:

3 2x 2

x3

k

lim

lim

3

2

1

1,

x

x

x

x

2x 2

x3

x3

b

lim

3 2x2

x3

x

lim

3 2

x

x

3

2x

2

x

x

3

2x

2

x

3

x

2

lim

2

2

.

3

1

4

5

6

2

x

3

3

x6 4x 4x

x

x

1

1

Функция имеет наклонную асимптоту

у= х+2/3.

5. Ищем критические точки первого рода.

y

4x 3x2

4

3x

x1

0, x2

2, x3

4 / 3.

3 x4 (2 x)2

3 3 x(2 x)2

6. Ищем критические точки второго рода.

1

1

33 x(2

x) 2

(4

3x)

[(2

x) 2

x2(2 x)]

3 3 x

y

1

2 (2

x)4

=

3

3 x 2 (2 x) 4

93 x3(2

x)6

(4

3x)(2

x)[2

x

2x]

9x(2

x)

(4

3x)(2 3x)

93 x4 (2 x)8

93 x4 (2 x)5

18x 9x2 8 12x 6x 9x2

8

,

x1 0, x2

2.

93 x4 (2 x)5

93 x4 (2 x)5

Таблица 3.

х

(

; 0 )

0

(0;4/3)

4/3

(4/3;2)

2

(2; )

y

н.

+

0

н.с.

с.

y

н.

с.

y

max

т.п.

3

у=0

2

4

y

3

4/3

2

x

0

при x =

π

.

Ответ:

ymax

2

4

4.

y

x

1 ln x

1 .

Ответ:

ymin = -

1

при x =

1

-1.

e

e

5.

Показать, что график функции y xarctgx не имеет экстре-

мумов.

6.

Найти асимптоту графика функции y

1

.

x2

2x 2

Ответ:

y

0 .

1

7.

Найти асимптоты графика функции y e x

1 -1.

Ответ:

y

0 , x

1

0 .

ций…………………………………………………...

47

3.6. Гиперболические функции и их производные…….

48

3.7. Таблица производных……………………………….

50

3.8. Метод логарифмического дифференцирования…...

51

3.9. Производная параметрически заданной функции...

52

3.10. Неявная функция, и ее дифференцирование……..

53

3.11. Уравнение касательной и нормали к графику функ-

ции……………………………………………..

54

3.12. Производные высших порядков явно заданной функ-

ции

55

3.13. Формула Лейбница…………………………………

56

параметрически…………………………

58

3.16. Дифференциалы высших порядков………………

59

4. Теоремы о дифференцируемых функциях

64

4.1. Теорема Ролля……………………………………….

64

4.2. Теорема Лагранжа…………………………………..

65

4.3 Теорема Коши………………………………………..

67

4.4. Правило Лопиталя…………………………………..

68

4.5. Формула Тейлора……………………………………

72

4.6. Разложение некоторых элементарных функций по

формуле Маклорена………………………………..

75

5. Исследование функции и построение графика функ-

ции……………………………………………………………….

78

5.1. Возрастание и убывание функции…………………

78

5.2. Максимум и минимум функции……………………

80

5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке……………………………………………

83

5.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки

перегиба……………………………………………..

85

5.5. Асимптоты графика функции и их построение……

87

Библиографический список………………………………….

103