2965

межуточными. По аналогии углы 1(А1), 2(В1), 4(А2), 5(В2) и т.д., противолежащие связующим сторонам, называются связующими, а остальные углы 3(С1),

6(С2), 9(С3) и т.д. - промежуточными.

Длины сторон треугольников определяют по теореме синусов:

Расчет длин сторон треугольников ведется в таблице, в которую выписывают значения углов с округлением до минут так, чтобы их сумма в треугольнике была равна 180° (табл. 6). Длину исходной стороны и длины вычисленных сторон можно округлять до 1м.

Для рассматриваемого примера (см. табл. 6) в первом треугольнике по стороне в1 и углу 2(В1) находят длины сторон а1 и с1 по формулам (142). Последнее значение длины линии а1 в первом треугольнике служит исходным для решения второго треугольника, т.е. в2 = а1. Длины сторон последующих треугольников определяют аналогичным образом.

71

Окончательным контролем правильности решения треугольников служит сходимость вычисленной в последнем треугольнике длины исходной Стороны аn с ее начальным значением b1 (в нашем примере а6 = b1). Для сети триангуляции 2 разряда расхождение начального и конечного значений исходной стороны не должно превышать 10 м.

§28. Вычисление поправок за центрировку и редукцию

Для проведения направлений к центрам пунктов необходимо вычислить поправки в направления за центрировку и редукцию, используя значения угловых и линейных элементов приведения. Выражения для определения этих поправок получают из следующих соображений.

Поправка за центрировку.

Пусть на схеме рис.7

С – центр пункта,

J – проекция вертикальной оси теодолита,

l – линейный элемент центрировки,

θ – угловой элемент центрировки

Рис.7. Схема определения поправки за центрировку

Если направление JА считать начальным, то измеренное направление на пункт В выразится измеренным на пункте углом МВ между начальным направлением на пункт А и направлением JA.

Приведенное направление СВ, выражаемое углом между начальным направлением СА и СВ, будет равно МВ + сВ. Величина сВ является поправкой в измеренное направление JB за центрировку.

Из треугольника JCB по теореме синусов запишем:

72

будет положительной (+), при М 1800 – отрицательной (–).

Поправки, вычисленные по элементам центрировки данного пункта, вводят в направления, измеренные с этого пункта на все наблюдаемые пункты, включая и начальное направление.

Поскольку для начального направления М=0, то для него

Поправка за редукцию.

На схеме рис.8 показаны:

V – проекция визирного цилиндра,

С – центр пункта,

l1 – линейный элемент редукции,

θ1 – угловой элемент редукции

Рис.8. Схема определения поправки за редукцию

При наблюдениях с пункта В на пункт С визирование производят на визирный цилиндр V, проекция которого не совпадает с центром пункта С.

Пусть на пункт С измерено направление МВ на пункт В. Из-за малости l1 и большого расстояния D можно принять BVA MB . Тогда из треугольника BVC

имеем:

73

или для любого направления

Следует учесть, что в отличие от поправок за центрировку поправки за редукцию, вычисленные по элементам l1, 1 , Мi пункта, вводятся в направления,

измеренные с окружающих пунктов на данный пункт.

Результаты вычисления поправок за центрировку и редукцию для рассматриваемого примера приведены в табл.7.

74

§29. Приведение измеренных направлений к центрам пунктов и оценка качества угловых измерений

После введения преобразованных поправок получают направления, приведенные к центрам пунктов (табл. 8).

Таблица 8.

Горизонтальные направления, приведенные к центрам пунктов

75

правки за центрировку ci берут из вычислений на исходном пункте (на котором произведены наблюдения), а поправки за редукцию ri – из вычислений на том

пункте, на который выполнялись наблюдения.

Приведенные направления выписывают на схему сети и вычисляют углы в треугольниках как разности соответствующих приведенных направлений. Полученные данные используют в дальнейшем при уравнивании сети.

В каждом треугольнике подсчитывают сумму углов и угловую не-

вязку

f 1800 .

Согласно инструкции для триангуляции 2 разряда допустимая угловая невязка

вых измерений отвечает требованиям, предъявляемым к сетям триангуляции 2 разряда.

76

Глава 7. УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ ТИПОВЫХ ФИГУР

ТРИАНГУЛЯЦИИ

§ 30. Принцип упрощенного уравнивания

Уравнивание геодезических измерений коррелатным способом подразумевает составление и решение нормальных уравнений коррелат (115), что вызывает трудности вычислительного порядка при ki 3 . При уравнивании геодезических

сетей невысокой точности, к которым можно отнести сети сгущения и съемочные сети, применяют способ упрощенного уравнивания, который позволяет существенно уменьшить объем вычислений и производить уравнивание в поле с использованием простейших вычислительных средств (микрокалькуляторов).

Идея упрощенного уравнивания состоит в разделении исходной системы условных уравнений поправок (111) на две или три группы, т.е. в каждой группе будет иметь место меньшее число условных уравнений и соответственно уменьшается число нормальных уравнений коррелат, составляемых для каждой группы.

В первую группу относят условные уравнения из системы (111) с коэффициентами при поправках, равными ±1, во вторую – полюсное и базисное условные уравнения с коэффициентами i , в третью – два условных уравнения координат

(абсцисс и ординат).

Как отмечалось в § 22, условные уравнения координат (третья группа) могут быть составлены только для несвободных сетей.

Решив систему уравнений первой группы, находят первичные поправки i

вично исправленные углы. Используя эти углы, находят новые невязки полюсных (или базисных) условных уравнений, которые отнесены ко второй группе. Решив систему уравнений второй группы, находят вторичные поправки под условием

2 min , которые также вводят в углы, т.е. получают уравненные значения уг-

лов. Таким образом, общая поправка в измеренное значение угла равна сумме первичной и вторичной поправок, т.е.

i i i .

Решая условные уравнения координат (абсцисс и ординат), находят поправки в приращения координат. В углы эти поправки не вводят.

Строго говоря, разделение условных уравнений на группы искажает значения суммарных находимых поправок, т.е. эти поправки лишь приближенно удовлетворяют условию

Однако эти искажения являются незначительными в сравнении с погрешностями самих измерений в сетях невысокой точности, что позволяет применять уп-

77

рощенный способ уравнивания в сетях сгущения 1 и 2 разрядов и съемочных сетях.

Рассмотрим упрощенное уравнивание типовых фигур триангуляции.

§31. Уравнивание центральной системы

Вцентральной системе (см. рис. 4, г) возникают следующие условные уравнения: N условных уравнений фигур (110), одно уравнение горизонта (122) и одно полюсное уравнение (127), т.е. всего (N+2) уравнений:

где свободные члены (невязки) вычисляются по формулам

В соответствии с принципом упрощенного уравнивания выделим из системы (149) условные уравнения первой группы с коэффициентами при поправках ± 1, т.е. N условных уравнений фигур (a, b, …, q) и условное уравнение го-

вой группе (a, b, …, r), найдем с помощью табл. 9.

Таблица 9.

Коэффициенты нормальных уравнений первой группы условных уравнений

78

Нормальные уравнения коррелат для первой группы условных уравнений имеют вид

где ki – коррелаты условных уравнений фигур (i = 1, 2, …, N); kГ – коррелата условного уравнения горизонта.

Умножив последнее уравнение в системе (151) на 3 и вычтя из него все предыдущие уравнения, получим

Произведя сокращения, имеем

N

2NkГ 3WГ Wi 0.

i 1

Перепишем это выражение в виде

79

здесь WГ – свободный член условного уравнения горизонта, вычисленный по углам Сi исправленным поправками, равными 31 Wi , т.е. по углам, предвари-

тельно исправленным за условные уравнения фигур. Из (152) найдем

Подставив kГ из выражения (154) в первые N уравнений системы (151), получим

Найденные по формулам (154) и (155) значения коррелат подставим в коррелатные уравнения поправок (114) и получим первичные поправки в измеренные углы:

по центральным углам Ci , исправленным ранее поправками iC I . Эту невязку распределяют поровну на центральные углы с противоположным знаком, т.е.

трального угла с противоположенным знаком, т.е.

80